Symmetr. pos. def. Bilinearform

02.05.2010, 17:56

Becca22

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Symmetr. pos. def. Bilinearform

Guten Abend, liebes Mathe-Board!

Ich habe folgenden Satz (leider eben ohne Beweis (dh, es wird auf ein nicht-existierendes File verwiesen..)) gelesen:
Sei V ein VR über C mit dim V > 1 und sei $\begin{eqnarray*} \phi: V \times V \to \mathbb C \end{eqnarray*}$ eine Bilinearform. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} v \in V \setminus \{ 0 \} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi (v, v) = 0 \end{eqnarray*}$

Meine Frage ist nun eigentlich relativ simpel: Wie / mit welchem Ansatz lässt sich das zeigen?
Kann ich für $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ annehmen, oder wie würdet ihr das zeigen?

Die eigentliche Aussage dieses Satzes ist doch, dass es keine symmetrischen positiv definiten Bilinearformen auf V gibt, oder?

Vielen Dank für die Hilfe und einen schönen Abend!

03.05.2010, 12:42

Reksilat

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RE: Symmetr. pos. def. Bilinearform
Hi Becca,

Hier ist es wirklich von Bedeutung, dass der zugrundeliegende Vektorraum ein $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ist. Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist ja zum Beispiel jedes Skalarprodukt eine Bilinearform und erfüllt somit die obige Behauptung nicht. Über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ist das aber anders.
Von positiver Definitheit zu reden, ist hier übrigens auch nicht sinnvoll, da die BLF nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ abbildet und in diesem Körper gibt es so was wie positiv/negativ ja erstmal nicht.

Als Idee:
Es reicht aus, diese Aussage für dim(V)=2 zu zeigen. (Nachvollziehen!)
Damit kannst Du Dir die BLF konkret hinschreiben...

Gruß,
Reksilat.

03.05.2010, 17:28

Beca22

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RE: Symmetr. pos. def. Bilinearform
Oke.

Definitheit überprüft man doch durch die Bilinearform erzeugte quadratische Form: Q(x) := B(x,x).

Man kann doch zB nun
$\begin{eqnarray*} Q ( \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix} ) = (1+i \ \ 1-i) \cdot \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

womit die Behauptung gezeigt wäre.
Nicht?

03.05.2010, 17:31

WebFritzi

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Nein. Hier nimmst du an, dass

$\begin{eqnarray*} B(x,y) = x^Ty \end{eqnarray*}$

ist. Das ist aber natürlich im Allgemeinen nicht der Fall. Allgemein sieht deine Bilinearform so aus:

$\begin{eqnarray*} B(x,y) = x^TAy \end{eqnarray*}$

mit einer quadratischen Matrix A.

03.05.2010, 19:25

Becca22

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Hmm..du hast Recht!
Wie könnte man mein Beispiel also erweitern? Mit einder beliebigen quadratischen Matrix, oder eignete sich dieses Beispiel gar nicht mehr?

03.05.2010, 19:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von Becca22
Wie könnte man mein Beispiel also erweitern? Mit einder beliebigen quadratischen Matrix [...]?

Ja, natürlich. Dann ist es halt kein Beispiel, sondern behandelt alle möglichen Fälle.

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03.05.2010, 19:46

Becca22

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Gut, für mein Beispiel müsste ich natürlich eine 2x2 Matrix nehmen:

$\begin{eqnarray*} Q ( \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix} ) = (1+i \ \ 1-i) \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix} = [(1+i) ((1+i)a + (1+i)c) + (1+i)((1+i)b + (1+i)d)] \end{eqnarray*}$

04.05.2010, 09:22

Reksilat

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Möchtest Du weitermachen oder war's das schon? verwirrt

verwirrt

Ich empfehle Dir allerdings, einen anderen Vektor zu untersuchen, denn es lässt sich problemlos eine BLF konsturieren, für die $\begin{eqnarray*} Q ( \begin{pmatrix} 1+i \\ 1-i \end{pmatrix} ) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Setze doch lieber zuerst einen allgemeinen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an.

04.05.2010, 11:17

pablosen

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Jo hallo liebes Forum

Ich schreib mal, wie weit ich bin:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = b(x^2+y^2)+ax^2+cy^2 = x^2(a+b) + y^2(b+c) \end{eqnarray*}$

Ich bin aber immer noch am rätseln, warum jetzt (a+b) bzw. (b+c) nie positiv sein können. Es muss ja für alle gelten. Und warum sollten diese 2 Ausdrücke nicht positiv sein können? Das heisst, gewisse Bilinearformen wären dann ja positiv definit...

Hmmm

04.05.2010, 12:08

pablosen

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Anhand diesem Ausdruck könnte man annehmen, dass es pos. def. BLF gibt und dann mit einem Beispiel zu einem Widerspruch führen (komplexe Zahlen im Quadrat können negative Zahlen ergeben):
$\begin{eqnarray*} b(x^2+y^2)+ax^2+cy^2 \end{eqnarray*}$

Aber das ist nicht gefragt, oder? Man sollte doch ein Beispiel finden $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} \phi(v,v)=0 \end{eqnarray*}$ ?

Also ein $\begin{eqnarray*} v:=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \neq 0 \end{eqnarray*}$

so dass $\begin{eqnarray*} x^2(a+b) + y^2(b+c) = 0 \end{eqnarray*}$

Bin ich auf dem Holzweg?
Grüsse

04.05.2010, 14:06

Reksilat

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Zitat:

Original von pablosen
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = b(x^2+y^2)+ax^2+cy^2 \end{eqnarray*}$

Diese Umformung ist falsch!
$\begin{eqnarray*} ...=ax^2+2bxy+cy^2 \end{eqnarray*}$ ist wäre hier korrekt. Außerdem war nirgendwo von einer symmetrischen BLF die Rede, was in diesem Fall allerdings nicht relevant ist.

Gruß,
Reksilat.

05.05.2010, 00:15

Becca22

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Hmm..das Problem ist ja, dass $\begin{eqnarray*} ax^2+2bxy+cy^2 \end{eqnarray*}$ gar nie = 0 sein kann (wenn x und y nicht 0 sind), denn ein a,b und c sind immer vorhanden.
Seh ich das falsch?

Wie kann man also geschickt ein solches v finden?
Ich hab mal mit den komplexen Zahlen (i) rumprobiert, aber eben, halt ohne Erfolg..

05.05.2010, 10:17

Reksilat

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Doch, es kann 0 sein! Du kannst $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ doch beliebig aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ wählen. Setze zum Beispiel mal $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.05.2010, 10:21

pablosen

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Reksilat: Ähm sorry, Umformung falsch. Kann ich als Beispiel also
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

nehmen? Korrekt so, oder?

05.05.2010, 10:24

Reksilat

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Nein, die Aussage ist für JEDE beliebige Bilinearform zu zeigen. EIN Beispiel reicht da nicht aus!

05.05.2010, 10:43

pablosen

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = ax^2 + 2bxy + cy^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Per Diskriminante y:

$\begin{eqnarray*} y:=\frac{-2bx^+_-2x\sqrt{b^2-ac}}{2c} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ergibt immer null ...? Ists jetzt gut? Also wenn ich das jetzt noch in einen schönen Beweis packe formal undso?

05.05.2010, 10:55

Reksilat

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = ax^2 + 2bxy + cy^2 = 0 \end{eqnarray*}$
Das ist falsch! Wo ist das d hin? verwirrt

verwirrt

Die Idee ist aber soweit ganz gut - aber verwende lieber die Matrix mit den vier freien Parametern a,b,c,d, da ja nirgendwo von einer symmetrischen BLF die Rede war. Wenn Du dann noch erklären kannst, warum dieses y immer definiert ist, geht das in Ordnung. Allerdings solltest Du noch das x irgendwie festlegen, siehe dazu auch in meinen Beitrag von 10:17 Uhr.
Und wenn Du durch irgendetwas dividierst: immer sicherstellen, dass das nicht Null wird, bzw. den Fall separat betrachten.

Gruß,
Reksilat.

05.05.2010, 10:59

pablosen

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Zitat:

Original von Reksilat
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = ax^2 + 2bxy + cy^2 = 0 \end{eqnarray*}$
Das ist falsch! Wo ist das d hin? verwirrt

verwirrt

Die Idee ist aber soweit ganz gut - aber verwende lieber die Matrix mit den vier freien Parametern a,b,c,d, da ja nirgendwo von einer symmetrischen BLF die Rede war. Wenn Du dann noch erklären kannst, warum dieses y immer definiert ist, geht das in Ordnung. Allerdings solltest Du noch das x irgendwie festlegen, siehe dazu auch in meinen Beitrag von 10:17 Uhr.
Und wenn Du durch irgendetwas dividierst: immer sicherstellen, dass das nicht Null wird, bzw. den Fall separat betrachten.

Okay danke, werde heute Nachmittag dazu kommen.

( $\begin{eqnarray*} ax^2 + bxy + cxy + dy^2 = 0 \end{eqnarray*}$ )

06.05.2010, 10:39

Becca22

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Zitat:

Original von Reksilat
Wenn Du dann noch erklären kannst, warum dieses y immer definiert ist, geht das in Ordnung.

Ja, das würde mich auch noch wunder nehmen: Wieso ist dieses y immer definiert?
..und wieso nimmt man y, und nicht bspw. x ? ..weil man x als fest gewählt annimmt?

Beste Grüsse,
Becca

06.05.2010, 19:45

Reksilat

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Man muss ja nur einen Vektor angeben können. Es müssen also x und y so gewählt werden können, dass $\begin{eqnarray*} ax^2+(b+c)xy+dy^2=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Nun kann man x (bzw. y) einen festen Wert zuweisen und muss dann nur noch zeigen, dass y (bzw.x) anschließend so wählbar ist, dass die Gleichung stimmt. Hierzu ist es von Bedeutung, dass wir uns in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ befinden.

Gruß,
Reksilat.

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