Homomorphismus finden |
| 02.05.2010, 19:30 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Homomorphismus finden Hallo ihr, ich versuche schon die ganze zeit einen homomorphismus für die Symmetrien eines quadrats Q4 zu finden. Meine Ideen: Die Ordnung der Gruppe beträgt ja 8. also die id, 3 Drehungen und 4 spiegelungen. Ich müsste ja einen Normalteiler finden, aber ich finde einfach keinen. ich wäre euch sehr dankbar wenn ihr es einfach erklärt. so eine kleine anleitung wäre hilfreich 
Danke shcon mal |
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| 02.05.2010, 20:27 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einen Homomorphismus wohin suchst du? |
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| 02.05.2010, 20:38 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also in der aufgabe steht nur das der homomorphismus f von Q auf eine Gruppe (M,*) gesucht wird. ICh muss ja eine Untergruppe von Q finden die als normalteiler in frage kommt, weiß nur nich wie ich das anstellen soll.... die definitionen kenn ich ja aber kann es nciht praktisch anwenden, weil wir auch kein bsp haben und ich online nichts einfaches erklärtes gefunden habe! will es aber unbedingt auch praktishc verstehen anhand des beispieles des quadrats... hoffe mir kann hier auch noch irgendwer helfen^^ |
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| 02.05.2010, 20:40 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und jetzt nochmal die genaue Aufgabenstellung! Warum willst du einen Normalteiler finden? Meinst du mit Q die rationalen Zahlen mit +? Dort ist jede Untergruppe ein Normalteiler! |
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| 02.05.2010, 20:51 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
^^ also vlt hab ich ja auch was falsch verstanden Aus verschiedenen Aufgaben kennst du die Symmetriegruppe des Quadrats (Q,°). Gesucht ist ein Homomorphismus f von Q auf eine Gruppe (M,*). Q ist also nur die Symmetriegruppe des Quadrats, hat also 8 elemente, id, 3 Drehungen und 4 Spiegelungen wir sollen den Homomrphismus mit hilfe des natürlichen Homomorphismus bestimmen... Daher der Normalteiler... |
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| 03.05.2010, 15:43 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne zu wissen, was M sein soll, wird es wohl weiter unklar bleiben, was zu tun ist. 
Gruß, Reksilat. |
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| 03.05.2010, 16:22 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
JA das finde ich auch komisch, ich weiß was ich tun soll kann es aber nicht anwenden, also erst muss ich einen Normalteiler finden z.B. die untergruppe von D4 mit id, und den 3 Drehungen, und dann mithilfe des iso auf eine gruppe (M,*) schließen, sagt ja der Hom.Satz aus... Und die einzige Eigenschaft die man von (M,*) weiß, ist das sie hom. zu (D4,°) sein soll... aber mir kann anscheinend keiner helfen^^ |
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| 03.05.2010, 16:32 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das hast Du zuvor nicht für erwähnenswert befunden? 
btw.: "hom." bedeutet isomorph? Und mit D4 meinst Du was? Die Diedergruppe mit 4 Elementen, also die Kleinsche Vierergruppe? Komische Bezeichnungen habt Ihr, wenn Ihr die Symmetriegruppe des Quadrats mit Q bezeichnet, die Vierergruppe dagegen als D4. 
Schau Dir doch mal die Ordnungen der beteiligten Gruppen an. Welche Aussage kannst Du denn über den gesuchten Normalteiler treffen? |
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| 03.05.2010, 16:39 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So mom alles von vorne
HAtte mich bei der genannten Q Gruppe verlesen! Also die Aufgabe: Gesucht ist der Homomorphismus f von D4 auf eine Gruppe (M,*). Zuerst sollen einige Informationen über f und M gesammelt werden. a) Wenn es einen Hom. f gibt, ist Kern(f) ein Normalteiler von D4. Welche Untergruppe U von D4 kommt als Normalteiler in Frage? Normalteiler wäre doch id, und 3 Drehungen (90°, 180°, 270°) b) Welche Ordnung hat die zugehörige Faktorgruppe D4/U? Wäre ja 8/4 also ord 2 c) nach dem Hom. satz kannst du aus b) auf die Ordnung von M schließen. ord(M) = ? und das kann ich nich |
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| 03.05.2010, 16:46 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das erklärt zumindest einiges. 
Und Du hast recht, die Menge der Drehungen ist ein Normalteiler der D4. Allerdings nicht der einzige, es gibt noch zwei weitere der Ordnung 4 und einen der Ordnung 2. Zu c): f bildet doch von D4 auf M=Bild(f) ab. U ist der Kern. Was sagt der Homomorphiesatz nun genau aus? |
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| 03.05.2010, 16:58 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die def ist: Wenn f:M1->M2 ein surjektiver Hom von der Gruppe (M1,') auf dei Gruppe (M2,* ist, dann ist a) (M2,*) isomorph zu der Faktorgruppe (M1/Kern f, ') vermittels des Iso. f^: (M1/Kern f,') -> M2 mit f^:[a]Kern f->f(a) b) f: M1->M2 die HAF des nat. Hom. f Schlange: M1->(M1/Kern f, ') und des Iso. f^. f Schlange ° f^: M1->M2 der hom von (M1,') auf (M2,*) M1 ist ja D4 M2 ist gesucht Kern f ist ja unser Normalteiler aber wie gesagt weiß es einfach ncih weiter :/ Welche Gruppen gibt es noch? welche normalteiler gibt es denn noch? id und eine Spiegelung... |
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| 03.05.2010, 17:14 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wäre D4/U nicht unser normalteiler verknüpft mit einem Element aus D4??? |
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| 03.05.2010, 17:20 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab es jetzt so verstanden, dass M das Bild sein soll, also M=M2. Außerdem ist U=kern (f) der Normalteiler. Dann sagt der Homomorphiesatz: Kannst Du jetzt was über die Ordung von M sagen?
Das ergibt leider überhaupt keinen Sinn. Bezüglich weiterer Normalteiler: - Jede Untergruppe vom Index 2 ist ein Normalteiler (das ist immer so). - Weiterhin gibt es mehrere Untergruppen der Form {id., g}, aber nur eine davon ist ein Normalteiler. Eine Möglichkeit wäre nun, einfach alle 5 durchzuprobieren. |
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| 03.05.2010, 17:22 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ord M müsste dann doch auch 2 betragen, da die ja bijektiv sind oder? |
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| 03.05.2010, 17:23 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da die bijektiv sein sollen wegen ISo. mein ich^^ |
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| 03.05.2010, 17:26 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, für diesen Normalteiler ist die Ordnung von M gerade 2. |
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| 03.05.2010, 17:30 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und dann bin ich fertig? das nächste wäre dann d) wir wollen für (M,*) eine Gruppe (Zn,+) wählen. Welche kommt in Frage? Dann müsste ich ja auch eine der ord 2 nehmen wäre es dann Z2?? |
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| 03.05.2010, 17:36 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das oben eigentlich die korrekte Aufgabenstellung? Diese suggeriert nämlich irgendwie, dass es nur einen möglichen nichttrivialen Normalteiler in D4 gibt und dem ist definitiv nicht so. |
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| 03.05.2010, 17:38 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jop genazso steht es da |
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| 03.05.2010, 17:40 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
muss ma eben für ne stunde zum sport, hoffe du antwortest mir trotzdem, weil du hast mir echt total geholfen... daanke danke danke
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| 03.05.2010, 17:45 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was soll ich denn jetzt noch schreiben? Dir ist schon klar, dass Du für die Bestätigung des Schlusses hat Ordnung 2 => eigentlich keine Hilfe aus dem MB benötigen solltest? Sport frei! |
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| 03.05.2010, 19:34 | Studentin85 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mir wars schon klar aber wollte nur ne bestätigung... naja danke für die hilfe |
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