Cos Funktion - lineare Unabhängigkeit

02.05.2010, 22:12

Zwerg Nase

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Cos Funktion - lineare Unabhängigkeit

Meine Frage:
Folgende Aufgabenstellung:
Zeigen Sie, dass die Funktionen {cos nx | n = 0,1,2,3} linear unabhängig sind, wie folgt:
Werten Sie eine Linearkombination an den vier Stellen pi/2, pi/3, pi/4, pi/6 aus.

Meine Ideen:
Jetzt sieht das für mich bisschen verwirrend aus.
Wie genau soll die Linearkombination aussehen? Besteht sie aus Skalaren und der cos Funktion oder simpler?
Ich wär für einen kleinen Ansatz dankbar.

02.05.2010, 22:21

tigerbine

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RE: Cos Funktion - lineare Unabhängigkeit
$\begin{eqnarray*} LK=\sum_{n=0}^3 a_n\cos(nx) \end{eqnarray*}$

Wenn lu, dann lassen sie sich nur trivial zur Nullfunktion kombinieren.

02.05.2010, 22:32

Zwerg Nase

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Also sollte ich erstma damit beginnen die Stellen in die cos Funkton einzusetzen und die Kombination darzustellen oder liege ich da falsch?

02.05.2010, 22:36

tigerbine

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Setze die Stellen ein, was stellst du dann für die Koeffizienten fest? Was muss gelten, damit an jeder Stelle 0 rauskommt? Das ist ja notwendig für eine LK zur Nulfunktion.

02.05.2010, 23:02

Zwerg Nase

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Wenn man die Werte einsetzt erhält man erstma böse Werte.
Ich hab mir das jetzt soweit zusammen gepfuscht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2}x_{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}x_{3} = 0 \end{eqnarray*}$

Als nächstes würde ich halt das Ganze mal 2 multiplizieren und dann weiterüberlegen, falls es erstma soweit richtig ist.

02.05.2010, 23:09

tigerbine

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Warumt steht da x? a war die LK Variabe. verwirrt

verwirrt

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02.05.2010, 23:10

tigerbine

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Warumt steht da x? a war die LK Variabe. verwirrt

verwirrt

Und böse wäre es, wenn du es gar nicht mit Wurzeln schreiben könntest. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.05.2010, 23:13

Zwerg Nase

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Ok stimmt a fehlt und ich hab das mit den x-en bisschen rumgemischt .. aber x bleibt doch auch zusätzlich zum a wegen der cos funktion?

02.05.2010, 23:18

Zwerg Nase

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Ok ich glaube ich komme langsam auf die Sache zu .. ich formulier eben meine neue Gleichung.

02.05.2010, 23:28

Zwerg Nase

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So eben kurz rewind und zur folgende halb aufgelöste Ausgangsgleichung:

$\begin{eqnarray*} a_{1}x + a_{2}\sqrt{2} x + a_{3}\sqrt{3} x = 0 \end{eqnarray*}$

zur Folgenden zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} (a_{1} + a_{2}+a_{3})x + a_{2}\sqrt{2}+a_{3}\sqrt{3} =0 \end{eqnarray*}$

korrigier und enttäusch mich bitte falls ich falsch liege.

02.05.2010, 23:32

tigerbine

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Es taucht kein x mehr auf. Du sollst 4 k aufstellen. Indem du

$\begin{eqnarray*} LK=\sum_{n=0}^3 a_n\cos(nx) \end{eqnarray*}$

nimmst und für x eben pi/2, pi/3, pi/4, pi/6 einsetzt. Dann hast du 4 Gleichungen für 4 Variablen, ein System, das hoffentlich eindeutig lösbar ist, sonst wären die Punkte pi/2, pi/3, pi/4, pi/6 schlecht gewählt.

02.05.2010, 23:43

Zwerg Nase

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Vier Gleichungen?
Also jeweils kurze Gleichungen bestehend aus dem Ergebniss des eingesetzten Wertes = 0 oder überseh ich hier irgendwas?

02.05.2010, 23:48

tigerbine

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Mensch, was ist denn so unklar? verwirrt

verwirrt

Du sollst zeigen dass man die cos-Funktionnen nur trivial zur Nullfunktion kombinieren kann. Das reduziert man durch geschickte Wahl von x auf 4 Stellen. Dort muss bei der LK ja auch jeweils 0 rauskommen. Wenn das nur trivial geht, ist man fertig. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 0=\sum_{n=0}^3 a_n\cos(n\cdot \frac{\pi}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\sum_{n=0}^3 a_n\cos(n\cdot \frac{\pi}{3}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\sum_{n=0}^3 a_n\cos(n\cdot \frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=\sum_{n=0}^3 a_n\cos(n\cdot \frac{\pi}{6}) \end{eqnarray*}$

Das ist ein LGS in (a0,a1,a2,a3). Das gilt es zu lösen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2010, 00:01

Zwerg Nase

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In dem Moment als du gepostet hast war ich genau auf diesem Weg Lehrer

Lehrer

Tatsächlich ist es viel einfacher als man es möchte, manchmal kann ich ziemlich hohl sein sobald Mathe Buchstaben bekommt.

Den Rest seh ich auch soweit schon vor meinen Augen und einen Teil auf Papier, is ja auch nur noch stumpf rechnen ab hier.

03.05.2010, 00:06

tigerbine

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Augenzwinkern

03.05.2010, 00:09

Zwerg Nase

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Bleibt nur noch zu sagen: Besten Dank TurboBine, war mir eine große Hilfe.

Aber gib zu manchmal würdest du einfach gerne Lösungen posten um weitere komische Fragen zu umgehen ... hast du ja jetzt gemacht ... böse

böse

Big Laugh

Obwohl du mir echt glauben kannst, dass ich zeitgleich den Richtigen Rechenweg gefunden habe Hammer

Hammer

03.05.2010, 00:19

tigerbine

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Wetterst du nun mit mir, weil ich den Ansatz hingeschrieben habe? verwirrt

verwirrt

Wie viele Versuche es zu umschreiben hätte ich denn noch machen sollen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es ist doch schön, dass du auch selbst drauf gekommen bist. Nächstes Mal lasse ich dich länger warten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2010, 00:27

Zwerg Nase

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Jetzt habe ich mir ein Eigentor geschossen geschockt

geschockt

Tatsächlich werd ich wahrscheinlich noch öfter vorbeischauen und dann wird das halt so sein ... das Leben ist auch kein Lösungsbuch.

Gute Nacht und viel Spaß noch.

03.05.2010, 00:28

tigerbine

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Gute Nacht. Wink

Wink

03.05.2010, 17:20

Zwerg Nase

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So, einmal muss ich noch .. Wink

Wink

Ich habe das Ganze heute jetzt von vorne bis hinten durchgerechnet und würde es gerne absichern.
Würde mich freuen, wenn jemand kurz drüberschauen könnte

Ich starte mit folgendem ausgewerteten Gleichungssystem:

(1) $\begin{eqnarray*} a_{0}-a_{2}=0 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} a_{0}+\frac{1}{2}a_{1}-\frac{1}{2}a_{2}-a_{3} =0 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} a_{0} +\frac{\sqrt{2}}{2}a_{1}-\frac{\sqrt{2} }{2}a_{3}=0 \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} a_{0}+\frac{\sqrt{3} }{2}a_{1}+ \frac{1}{2}a_{2}=0 \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} a_{0} =a_{2} \end{eqnarray*}$ ist, kann man folgern:

(2) $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}a_{1}+\frac{1}{2}a_{2}-a_{3}=0 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}}{2}a_{1}+a_{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}a_{3}=0 \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3} }{2} a_{1}+\frac{3}{2}a_{2}=0 \end{eqnarray*}$

diese drei Gleichungen dann jeweils mit zwei multiplizieren ergibt:

(2) $\begin{eqnarray*} a_{1}+a_{2}-2a_{3}=0 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}a_{1}+2a_{2}-\sqrt{2}a_{3}=0 \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} \sqrt{3}a_{1}+3a_{2}=0 \end{eqnarray*}$

anschließend Gleichung (3) und (4) quadrieren:

(3) $\begin{eqnarray*} 2a_{1}+4a_{2}-2a_{3}= 0 \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} 3a_{1}+9a_{2}=0 \end{eqnarray*}$

aus Gleichung (4) bekommt man:

$\begin{eqnarray*} a_{1}=-3a_{2} \end{eqnarray*}$

und damit kann man aus Gleichung (2) oder (3) abschließend folgern:

$\begin{eqnarray*} -a_{2}=a_{3} \end{eqnarray*}$

also:

$\begin{eqnarray*} (a_{0}=a_{2}=a_{3})!=a_{1} \end{eqnarray*}$

Die eine oder andere Umformung ist wahrscheinlich auch unnötig aber ich wollte so einfach Überblick behalten.

Aber stimmt meine Rechnung so oder hab ich irgendwo irgendwas verbotenes gemacht oder einfach nur was übersehen?

03.05.2010, 22:35

tigerbine

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code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:

A=[cos(0), cos(pi/2), cos(2*pi/2), cos(3*pi/2);cos(0), cos(pi/3), cos(2*pi/3), cos(3*pi/3);cos(0), cos(pi/4), cos(2*pi/4), cos(3*pi/4);cos(0), cos(pi/6), cos(2*pi/6), cos(3*pi/6)]

A =

   1.00000000000000   0.00000000000000  -1.00000000000000  -0.00000000000000
   1.00000000000000   0.50000000000000  -0.50000000000000  -1.00000000000000
   1.00000000000000   0.70710678118655   0.00000000000000  -0.70710678118655
   1.00000000000000   0.86602540378444   0.50000000000000   0.00000000000000

>> rank(A)

ans =

     4

>>

Damit das Prinzip deutlicher wird. Mit den Teilösen bekommt man in mehr Dimensionen Probleme. Man kann Aa=0 mit Gauss machen und sehen, dass man eine Dreiecksmatrix mit keiner 0 auf der Diagonalen enthält oder die Determinante von A bestimmen. Da voller Rang, muss a=0, also der Nullvektor sein.

Quadrieren sollte man nicht benutzen, da es keine Äquivalenzumformung ist und hier auch völlig unnötig. Und du hast es auch noch falsch gemacht. Binomische Formeln sagen dir schon was, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2010, 22:48

Zwerg Nase

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Ok, ja .. Binmoische Formeln .. hab ich auf den ersten Blick nicht gesehen.

Aber .. wär mein Rechenweg in Ordnung wenn ich ihn korrekt durchführe oder wäre es besser bzw. sinvoller einen anderen Lösungsweg zu gehen?

03.05.2010, 22:48

tigerbine

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Sinnvoller ist der andere. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.05.2010, 23:36

Zwerg Nase

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So ... abippen ist anstrengend.
Ich hoffe, dass das jetzt das richtige Muster ist:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0,5 & 0 & 0 \\ 1 & 0,707106781 & 0,292893218 & 0 \\ 1 & 0,866025403 & 0,633974596 & -0,194634768 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.05.2010, 00:38

Zwerg Nase

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Jetzt habe ich auch eine halbe Ewigkeit mit der Determinantenrechnung gekämpft und
0,029509099 als Ergebnis und ich lass es erstmal dabei, keine Ahnung was für einen Salat ich hier wieder fabriziert habe.

Deine Hilfestellung war trotzdem hilfreich, danke.

04.05.2010, 18:06

tigerbine

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Determinante nach erster Zeile mit Lapace. Dannach Sarrus. Das ist machbar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.05.2010, 18:15

Zwerg Nase

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Ich hab wie bekloppt die Determinate des unveränderten Gleichungsystems berechnet.
Welche soll man denn? Die der Zeilen- bzw. Spaltenstufenform?

04.05.2010, 18:18

tigerbine

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Wovon sprichst du? Uns interessiert ja nur, dass nicht 0 raus kommt. 2 Ideen:

1. ursprüngliche Matrix mit Laplace.

2. ursprüngliche Matrix mit Gauss umformen und dann Produkt der Diagonaleinträge.

04.05.2010, 18:22

Zwerg Nase

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Ja da bin ich auf die Determinante 0,029509099 gekommen, ist das verkehrt?

04.05.2010, 20:14

tigerbine

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Nein, ich bin nur auf das "so lange gedauert" eingegangen. Ungleich 0, die Matrix ist regulär, wie gewünscht.

04.05.2010, 21:43

Zwerg Nase

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Ja, ich habe die Regel von Sarrus nicht benutzt deswegen hat sich das etwas hingezogen, mit Absicht um bisschen die Rechenweise zu üben.

Aber letztendlich hab ich die Aufgabe jetzt verstanden.
Das war am Ende ein unnötiges Rumgesuche, obwohl ich selber hätte schnell draufkommen müssen.
War wahrscheinlich die ungewohnte Aufgabenstellung, manchmal denke ich zu komplex und stelle mir selber ein Bein.

Naja, der Spuk hat jetzt ein Ende.

Vielen Dank für die Hilfe und Geduld.

04.05.2010, 21:45

tigerbine

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Bitte. Dinge sind immer leichter, wenn man schon weiß wie sie gehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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