Parametrisierung bei Wegintegralen

03.05.2010, 15:59

Azzrael

Parametrisierung bei Wegintegralen

Meine Frage:
Hi,
Ich sitze gerade im Rahmen von Physik an Wegintegralen und mir ist nicht so ganz klar wie ich auf die Parametrisierung komme. Ich habe auch schon längere Zeit rumgesurft, aber leider keine für mich schlüssige Methode bekommen.
Als Übung für die Wegintegrale haben wir folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} I_{a}=\int_a^b \! f(r) \, dr \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex zerschießt meine Grenzen: a= (0,1), b=(1,2).

dabei ist

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=(x²-y,y²+x) \in \mathbb R² \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir ist bewusst, dass man Wegintegrale über
$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! f(x) \, ds = \int_a^b \! f(\gamma (t)) \|| \frac{d}{dt}\gamma||_{2} , dx <br /> \end{eqnarray*}$
berechnet.

Wie ich jetzt $\begin{eqnarray*} \gamma\ \end{eqnarray*}$ bestimme entzieht sich mir etwas.

Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen.

Grüße

Azzrael

03.05.2010, 16:05

WebFritzi

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RE: Parametrisierung bei Wegintegralen

Zitat:

Original von Azzrael
Mir ist bewusst, dass man Wegintegrale über
$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! f(x) \, ds = \int_a^b \! f(\gamma (t)) \|| \frac{d}{dt}\gamma||_{2} , dx <br /> \end{eqnarray*}$
berechnet.

Dann ist dir etwas falsches bewusst.

03.05.2010, 16:08

Azzrael

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RE: Parametrisierung bei Wegintegralen
Oh,

Das könnte ein Problem darstellen.

Kannst du mir dann vielleicht helfen? Wo liegt mein Fehler?

03.05.2010, 16:13

Azzrael

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RE: Parametrisierung bei Wegintegralen
Ist es im Integral nicht die p2-Norm sondern p1?

Ich muss zugeben, dass ich jetzt endgültig etwas verwirrt bin.

Ich hoffe ihr könnt mir da raushelfen. Ich würde es wirklich gern verstehen.

Grüße

Azzrael

03.05.2010, 16:14

WebFritzi

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Was gibt es da zu verstehen? Du musst nur die Formel richtig abschreiben. unglücklich

03.05.2010, 16:26

Azzrael

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Ok ich habe etwas geschmiert, als ich mitgeschrieben habe, allerdings habe ich jetzt das Problem.

Was verwirrend ist, dass ich jetzt mit Literatur folgendes Integral habe:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! f(r)\frac{dr}{dt} \, dt \end{eqnarray*}$

Sowohl Gamma, als auch r bezeichnen, so wie es sich mir darstellt, die Kurven.
Allerdings habe ich in meinem Skript eben eine nicht näher indentifizierbare Norm und jetzt bekomme ich das nicht mehr unter einem Hut, da wir in letzter Zeit häufiger mit der P2 Norm rumgerechnet haben, bin ich eben von ihr ausgegangen.

Meine Frage wäre ja ersteinmal, wie ich auf r/Gamma komme, dass liegt nämlich nicht an meiner Schrift, dass ich das nicht verstehe..

03.05.2010, 16:40

WebFritzi

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Es ist nicht klar, von was für einem gamma du da redest. Überhaupt ist alles ziemlich wirr. Das scheint deine Maxime zu sein. Das geht aber in der Mathematik nicht.

Formuliere also klar, was du meinst und willst, und lies dir deinen fertigen Beitrag auch immer noch einmal durch, um festzustellen, ob er auch verständlich ist.

03.05.2010, 16:54

Azzrael

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Ok,

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ ist die Kurve, über die Integriert werden soll.

Gefragt ist nach dem Kurvenintegral.

Du hattest mich verbessert und somit ist meine Formel für die Kurvenintegralsberechnung nun:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma \! f(x) \, ds = \int_a^b \! f(x)| \frac{d\gamma }{dt} | \, dt \end{eqnarray*}$

Ist das nun korrekt? Wenn nein, könntest du mir vielleicht die Korrekte Formel posten?

03.05.2010, 17:00

WebFritzi

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Das macht doch keinen Sinn. Was soll denn x sein? In beiden Integralen steht es ohne Bedeutung da. Die Definition lautet:

$\begin{eqnarray*} \int_\gamma\,f\,ds := \int_a^b\,f(\gamma(t))\,|\dot\gamma(t)|\,dt. \end{eqnarray*}$

Das hättest du aber auch über Wikipedia rausfinden können.

03.05.2010, 17:08

Azzrael

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Ok tut mir leid das x war ein Tippfehler, der noch aus latex stammt.

Gut, aber jetzt sind wir da wieder auf einem Stand vor allem, da es eigentlich meine Frage war.

Meine ursprüngliche Frage war, wie ich an Gamma komme.

Die Grenzen sind mit a=(0,1) und b=(1,2) auf der X-Y Ebene gegeben und die Funktion f(x,y) = (x²-y,y²+x).

Ich weiß, dass das Integral entlang der direkten Strecke von a nach b gehen soll.

Wie komme ich nun an Gamma?

03.05.2010, 17:23

WebFritzi

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Zitat:

Original von Azzrael
Ok tut mir leid das x war ein Tippfehler, der noch aus latex stammt.

Das kommt davon, wenn man sich seine Beiträge nicht nochmal anschaut. Dabei habe ich dich vorher darum gebeten. unglücklich

Zitat:

Original von Azzrael
Wie komme ich nun an Gamma?

So:

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) = a + t(b-a). \end{eqnarray*}$

03.05.2010, 17:32

Azzrael

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Ok gilt diese Beziehung immer oder nur bei Geraden Wegen?

03.05.2010, 17:42

WebFritzi

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Das beantworte ich dir nicht, weil das trivial ist und du auch mal selber ein wenig nachdenken sollst.

03.05.2010, 17:48

Azzrael

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Es tut mir leid, dass es für mich nicht so trivial ist.
Das ist genau die Frage wesgen ich hier her gekommen bin.
Ich weiß nicht wie du darauf gekommen bist.

Es tut mir leid, du hast mir leider im Verständnis nicht weitergeholfen

Danke das du die Zeit für meine Frage geopfert hast

Azzrael

03.05.2010, 17:52

WebFritzi

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Zitat:

Original von Azzrael
Es tut mir leid, du hast mir leider im Verständnis nicht weitergeholfen

Und das ist deine eigene Schuld. Wenn du dir wenigstens mal an Beispielen das obige Gamma klarmachen würdest, dann würdest du sofort verstehen, dass das immer eine grade Strecke ergibt. Du hattest dies aber nicht verstanden. Daraus folgere ich, dass du dich mit der Sache nicht wirklich beschäftigt, sondern nur darauf gewartet hast, dass ich dir den Kram reinstopfe. Du bist da nicht der einzige. Wenn du so in Mathe vorankommen willst, dann gute Nacht, denn das funktioniert so nicht.

03.05.2010, 18:01

Azzrael

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Es freut mich, dass du mich so gut zu kennen scheinst und anhand einer kleinen Frage, die mich beschäftigt meine gesamtes Lernverhalten zu charakterisieren weißt.

Was mir weitergeholfen hätte, wären zum Beispiel eine Herleitung von Gamma gewesen, da mir das Grundprinzip nicht ganz klar ist.

Ok, ich sehe das ich hier nicht an der richtigen Adresse bin und ich werde weiterhin in der Literatur suchen.

Trotzdem noch einen schönen Abend

Azzrael

03.05.2010, 18:08

WebFritzi

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Zitat:

Original von Azzrael
Es freut mich, dass du mich so gut zu kennen scheinst und anhand einer kleinen Frage, die mich beschäftigt meine gesamtes Lernverhalten zu charakterisieren weißt.

Wenn du dir meinen Text nochmal gründlich durchliest, wirst du feststellen, dass ich lediglich dein hiesiges Verhalten kritisiert habe. Zu deinem allgemeinen Lernverhalten habe ich ein "wenn" vorangestellt. Ich hasse diesen Spruch eigentlich, aber "wer lesen kann, ist klar im Vorteil".

Zitat:

Original von Azzrael
Was mir weitergeholfen hätte, wären zum Beispiel eine Herleitung von Gamma gewesen, da mir das Grundprinzip nicht ganz klar ist.

Sowas simples kann man eigentlich nicht herleiten. Entweder es ist einem gleich klar, wie das zu machen ist, oder man sieht es einmal (wie du jetzt) und vergisst es nicht. Übrigens kann man gamma auch anders parametrisieren:

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) = a + t^2(b-a). \end{eqnarray*}$

Das ist der gleiche Weg. Nur, dass er für kleine t langsamer, und dann schneller als der erste durchlaufen wird.

Zitat:

Original von Azzrael
Ok, ich sehe das ich hier nicht an der richtigen Adresse bin und ich werde weiterhin in der Literatur suchen.

Mach das. Wenn du das gleich gemacht hättest, hättest du auch nicht so ein falsches Kurvenintegral hier reingeschrieben.

Zitat:

Original von Azzrael
Trotzdem noch einen schönen Abend

Danke. Gleichfalls. smile

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