Wie funktioniert eine Linearfaktorzerlegung mit komplexen Zahlen?

03.05.2010, 17:24

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie funktioniert eine Linearfaktorzerlegung mit komplexen Zahlen?

Hi Leute!

Ich hab folgende Aufgabe:

Bestimmen sie für folgendes Polynom die Linearfaktorzerlegung in $\begin{eqnarray*} \mathbb {C} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(z)=jz^2-(2-j)z+(1+3j) \end{eqnarray*}$

Ich weiß hier so gar nicht recht was ich machen soll.

Im reellen Zahlenbereich isses mir schon klarer. Ich muss die Nullstellen suchen und dann eben noch in den Linearfaktoren darstellen. Aber wie mach ich das jetzt im komplexen? Soll ich erstmal das z in die Klammer einmultiplizieren und dann soweit zusammenfassen, dass ich eine Art quadratische Funktion nur im komplexen Bereich dastehen hab?

03.05.2010, 17:27

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich muss die Nullstellen suchen und dann eben noch in den Linearfaktoren darstellen

Und genauso gehts hier auch. Die komplexen Nullstellen suchen und faktorisieren.

03.05.2010, 17:28

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie mache ich das am besten? Wie sucht man komplexe Nullstellen?

PS: Wenn ich die Klammer ausmultipliziere, dann mach ich es nur noch schwieriger...

03.05.2010, 17:28

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne mit den komplexen Größen genauso wie mit reellen. Multipliziere erstmal alles mit -j. Dann hast du keinen Faktor mehr vor dem z² stehen, so dass du die p-q-Formel anwenden kannst. Bei der dann auftretenden Wurzel kannst du erneut nachfragen.

03.05.2010, 17:31

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

was verbirgt sich eigentlich hinter z?

unter z verstehe ich ja eigentlich: z=a+bj

03.05.2010, 17:32

Mazze

Auf diesen Beitrag antworten »

z ist die Variable. Im Reellen schreibt man meist x für eine variable reelle Zahl. z ist nichts anderes als eine variable komplexe Zahl.

Anzeige

03.05.2010, 17:33

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

ah jetzt...

z ist ja quasi wie das x im reellen

03.05.2010, 17:42

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

03.05.2010, 17:49

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt soweit alles vereinfacht. Ich hab das jetzt allerdings nicht in die pq-Formel eingestzt, sondern in die normale Lösungsformel für komplexe Polynome.

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=\frac{z-j}{2j}\pm\sqrt{\frac{15-8j}{-4}} \end{eqnarray*}$

Ich weiß jetzt aber leider nicht mehr weiter; und zwar mit der Wurzel wie du gesagt hast.

Wir hab an der FH noch nichts anderes aufgeschrieben, deswegen hab ich in die Normalform eingesetzt... Ich hab allerdings in meiner Formelsammlung gelesen, dass die pq-Formel bei geradzahligem "b" vorteilhaft ist. Habe ich bei meiner gestellten Aufgabe überhaupt in geradezahliges "b"? Denn da steht ja (2-j); 2 wäre geradzahlig und das j hätte ja eine 1 vorneweg die aber nicht geradzahlig ist. Wie kann man das also bestimmen?

03.05.2010, 18:00

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weiß man eigentlich was man für p bzw. q in der pq-Formel einsetzen soll? Meine Formelsammlung (Bronstein) gibt dazu leider nix her. Bei der "normale" Lösungsformel kann man ja auf den "reellen" Fall zurückgreifen und dann rückschließen. Aber im komplexen?

03.05.2010, 18:01

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist so ziemlich sch...egal, welche Formel du nun anwendest. Du hast sie jedenfalls richtig angewandt, denn dein Ergebnis ist (bis auf das z auf der rechten Seite, was eine 2 sein sollte) richtig. Du musst jetzt nur noch die komplexen Zahlen w finden, für die

$\begin{eqnarray*} w^2 = \frac{15-8j}{-4} = \frac{-15+8j}{4} \end{eqnarray*}$

gilt. Wie man das macht, solltest du eigentlich wissen. Was sind dazu deine Gedanken?

03.05.2010, 18:10

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab nun das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=\frac{2-j}{2j}\pm\sqrt{\frac{15-8j}{-4}} \end{eqnarray*}$

Der Fehler war nur ein Abschreibfehler.

Im rellen Bereich bin ich es gewohnt, dasa man jetzt die Wurzel ausrechnet und mit Vorfaktor (Bruch) einmal subtrahiert und einmal addiert.

Du schreibst aber: $\begin{eqnarray*} w^2 = \frac{15-8j}{-4} = \frac{-15+8j}{4} \end{eqnarray*}$

Das heißt, du hast den Bruch erstmal aussen vor gelassen, oder wie? Ich muss jetzt quasi nach der komplexen Zahl w auflösen, was mir aber wieder Wurzel bringt, oder?

03.05.2010, 18:13

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich könnte noch so sagen:

$\begin{eqnarray*} 4w^2=-15+8j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2w=\sqrt{-15+8j} \end{eqnarray*}$

bringt mir das was?

03.05.2010, 18:17

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

EDIT: Ja ich denke so geht's; aber ich jetzt Probleme die Wurzel zu ziehen...

für eine Wurzel kann ich so schreiben:

$\begin{eqnarray*} 2w=(-15+8j)^{0,5} \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt etwa die komplexe Zahl innerhalb der Klammer jetzt in die Exponentialform überführen?

03.05.2010, 18:30

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Ergebnis für w:

$\begin{eqnarray*} w=0,5+2j \end{eqnarray*}$

Das heißt jetzt, ich hab das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} z_{1/2}=\frac{2-j}{2j}\pm\overbrace{\sqrt{\frac{15-8j}{-4}}}^{=w=0,5+2j} \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt soweit richtig?

03.05.2010, 18:48

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt meine endgültigen Ergebnisse:

$\begin{eqnarray*} z_1=j \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2=-1-3j \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe!

03.05.2010, 19:05

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ergebnisse stimmen. Freude

Freude

03.05.2010, 20:13

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich jetzt aus meinen beiden berechneten Nullstellen die Linearfaktoren angeben?

Im Reellen geht's ja so:

Nehmen wir mal an ich hab x1=-2 und x2=5 als Nullstellen dann ist ja die Linearfaktorzerlegung folgende:

(x+2)(x-5)

Wie geht das jetzt im Komplexen?

EDIT: VIelleicht so: (z-j)(z+(1+3j))

03.05.2010, 20:21

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab jetzt noch eine neue Aufgabe. Die dürfte zwar eigentlich nicht besonders anders funktionieren, dennoch haut sie mich aus der Bahn.

$\begin{eqnarray*} p(z)=z^3-jz^2+(1-j)z-2+2j \end{eqnarray*}$

Ich hab jetzt eine Funktion dritten Grades. Im Reellen hätte ich da jetzt probiert ob man eine Variable ausklammern kann. Denn dann hat man ja schon eine Nst. Was ich allerdings hier jetzt zu machen habe, weiß ich nicht. Ausklammern geht jedenfalls nicht.

Kannst du mir nochmal weiterhelfen?

03.05.2010, 21:02

bandchef

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Weiterem eingehendem ansehen der Funktion, folgt dass ich hier um Nullstellen erraten nicht herumkomme. Ich hab dann die 1 als eine mögliche Nst. erraten. Jetzt kann ich doch mit Polynomdivision weitermachen, oder?

Dann sieht das so aus:

$\begin{eqnarray*} (z^3-jz^2+(1-j)z-2+2j) : (z-1) \end{eqnarray*}$

(z-1) deswegen, weil ja meine Nst. +1 war...

04.05.2010, 16:37

WebFritzi

Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso sieht das aus, ja. Jetzt machst du das genau wie im Reellen. Nur, dass du jetzt mit komplexen Zahlen rechnest.

Zu deiner vorigen Frage:

Zitat:

Original von bandchef
Wie geht das jetzt im Komplexen?

EDIT: VIelleicht so: (z-j)(z+(1+3j))

Jepp.

22.08.2016, 14:54

jcombe

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey wie kommst du eig auf:

w=0,5+2j

22.08.2016, 15:18

Steffen Bühler

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine der Lösungen für $\begin{align*} w^2 = \frac{-15+8j}{4} \end{align*}$ .

Viele Grüße
Steffen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »