Elementarmathematik |
| 03.05.2010, 20:36 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Elementarmathematik Gegeben sei die Folge aller Zahlen 1, 2,....,4n-1. Ein Zug bestehe darin, zwei beliebige Zahlen durch ihre Differenz zu ersetzen. Zeigen Sie, dass die Zahl, die nach 4n-2 Zügen übrigbleibt, gerade ist. Meine Ideen: Betrachten wir mal die Zahlen für n=1, so sind es 1,2 und 3. Also meine Idee ist es erst mal zu sagen wie viele gerade und ungerade Zahen auftreten. Bei n=1 sind es eine gerade und 2 ungerade Zahlen. Wenn man zwei ungerade Zahlen durch ihre Differenz ersetzt, dann ist das Ergebniss eine gerade Zahl und die Differenz von 2 geraden Zahlen ist wieder gerade. (Man kann auch anders vorgehen und zwar: die Differenz von einer ungeraden und einer geraden Zahl ist ungerade, dann ist die Differenz zweier ungeraden Zahlen gerade.) Mir fehlt der Ansatz. Wie muss ich überhaup anfangen? Danke |
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| 03.05.2010, 20:55 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau dir die Summe aller Zahlen an. Welche Eigenschaft dieser Summe ändert sich unter den Zügen nicht? Gruß, Carsten |
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| 03.05.2010, 21:48 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Carsten, die Summe der Zahlen bei jedem Zug ist eine gerade Zahl.....? Was nun? |
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| 03.05.2010, 21:55 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK jetzt habe ich es. Die Summe ist immer eine gerade Zahl. Am Ende bleibt nämlich nur eine Zahl übrig und dass ist eine gerade Zahl. Nun wie könnte ich das beweisen? |
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| 03.05.2010, 22:57 | Abakus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Elementarmathematik
Hallo! Gut beobachtet, nun ziehe daraus Schlussfolgerungen oder schreibe die Fälle auch erstmal systematisch auf. Grüße Abakus 
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| 04.05.2010, 04:18 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
EDIT: Entfernt, da ich im Grunde gerade nur Abakus' Aussage wiederholt hatte |
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| 04.05.2010, 18:46 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, danke für die Antworten. Also ich habe dann folgendermaßen weitergemacht: n=1: 1+2+3 =0+6 n=2: 1+2+3+4+5+6+7 =6+22 n=3: 1+2+3+.................+10+11 =22+44 n=4: ...... so, dann habe ich festgestellt: n=1: (n+1)*(4n-1)+0 =6 n=2: (n+1)*(4n-1)+1 =22 n=3: (n+1)*(4n-1)+0 =44 n=4: (n+1)*(4n-1)+1 =76 so, jetzt komme ich nicht weiter, weil ich nicht weiß wie ich [ (n+1)*(4n-1)+0 ] [ (n+1)*(4n-1)+1 ] als Summe schreiben kann. Danke |
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| 05.05.2010, 17:08 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hat keiner dazu eine Idee? |
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| 05.05.2010, 20:41 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was passiert, wenn du zwei ungerade Zahlen entfernst? Was passiert, wenn du zwei gerade Zahlen entfernst? Was passiert, wenn du eine gerade und eine ungerade Zahl entfernst? War das Hinweis genug? 
Gruß, Carsten |
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| 06.05.2010, 16:05 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe die Fälle ausprobiert. Entferne 2 ungerade => Summe gerade Entferne 2 gerade => Summe gerade Entferne 1 gerade 1 ungerade => Summe gerade Man kann nur diese 3 Kombinationen durchführen, das Prinzip habe ich verstanden. Wie geht es weiter? |
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| 06.05.2010, 21:12 | akechi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na ja, wenn du das mit der "neuen" Zahlenmenge erneut machst, bekommst du wieder eine gerade Summe. Die Summe deiner Zahlen modulo 2 ist eine Invariante unter der besagten Operation, d.h. die Summe bleibt auch unter wiederholter Anwendung dieser Operation gerade, folglich auch dann, wenn nur noch eine Zahl übrig ist. |
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| 07.05.2010, 14:53 | edi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut
vielen Dank an euch! |
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