Äquivalenzrelation Beweis

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soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation Beweis
Meine Frage:
Hallo liebe Mitstudierenden, ich soll was beweisen, hab glaub ich den richtigen Gedanken, bin mir aber nicht wirklich sicher. Wir sollen beweisen:

Beweisen Sie, dass die auf IN0 x IN0 definierte Relation (a, b) ~(c, d) ? a + d = b + c
eine Äquivalenzrelation ist.

Danke für Hilfe.

Meine Ideen:
Ich habe mir den Ansatz mal ausgedacht...
es muss gelten:
(a;b) ~ (c;d) genau dann, wenn a-b = c-d gilt.

ich weiss aber nicht, ob das als Beweis ausreicht.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die Äquivalenzrelation umgeformt, aber das ist doch noch lange kein Beweis.

Was sind die Kriterin für eine Äq.relation?
soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »

reflexiv, transitiv und symmetrisch...wie geh ich am besten vor?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Eins nach dem anderen abarbeiten.

Was bedeutet reflexiv? Kannst du nachweisen dass diese reflexiv ist?
Was bedeutet transitiv? Kannst...
soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube, die ist nur transitiv...alles andere dürfe doch nicht in frage kommen oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In der Aufgabenstellung steht doch schon, dass es sich hier um eine Äquivalenzrelation handelt...fang mal mit der Reflexivität an.
 
 
soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe leider garkeine ahnung...da ich das nicht so ganz verstanden habe...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Eins nach dem anderen abarbeiten.

Was bedeutet reflexiv? Kannst du nachweisen dass diese reflexiv ist?
Was bedeutet transitiv? Kannst...


Dann wiederhole ich die Frage, was bedeuten diese Kriterien, wie habt ihr sie definiert?
soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »

reflexiv (für alle a " M ist (a, a) " R)
!! transitiv (für alle a,b,c " M gilt (a, b) " R , (b, c) " R => (a, c) " R)
!! symmetrisch ist. (für alle a, b " M gilt (a, b) " R => (b, a) " R)
soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »

oh sorry aus dem Element aus sind leider Gänsefüsschen geworden.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wende jetzt zuerst mal die Definition von reflexiv an, was heißt das also für deinen konkreten Fall?
soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »

reflexiv bedeutet doch, dass einem a genau ein a zugeordnet werden kann, da fehlt mir ja das verständnis...da gibts doch nur ein a....
soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »

ah moment a + d = b + c....das entspricht sich ja...also sind beide seiten ja reflexif...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es wird keinem a irgendetwas zugeordet. Du hast eine Menge M (welche Menge ist das in deiner konkreten Aufgabe?). Jetzt nimmst du ein beliebiges Element a € M, damit die auf M x M definierte Relation R reflexiv ist, muss (a,a) € R sein für alle a € M.
soccer089 Auf diesen Beitrag antworten »

die Menge der natürlichen Zahlen...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist nicht deine Menge. Deine Menge ist IN x IN...

Dann greif dir doch jetzt mal ein Element aus dieser Menge und überprüf, ob es € R ist.
lavidaloca Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ich habe eine ähnliche Aufgabe allerdings mit den Quadraten:
(x,y) ~ (u,v) <=>
die Relation ist in |R x |R definiert. Wie zeige ich denn hier, dass ein Element aus dieser Menge in der Relation reflexiv ist?
lavidaloca Auf diesen Beitrag antworten »

Ok mein Ansatz wäre jetzt für die Reflexivität:
da für alle (x,y) gilt
wär das eigentlich dann schon genug für die Reflexivität? Symmetrie wäre dann eigentlich auch klar. Bei der Transitivität bin ich mir aber net so ganz sicher, kann ich dann einfach ein weitere Paar nehmen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ansatz für die Reflexivität stimmt schonmal, Symmetrie ist auch relativ leicht zu machen.

Für die Transitivität musst du nur Elemente der Relation betrachten, d.h. das muss nicht mehr für alle gelten. Was muss denn für die Transitivität erfüllt sein?
Mx3 Auf diesen Beitrag antworten »
Weitere Aufgaben
Ich hol diesen Thread mal aus der Versenkung, weil ich zu eingangs genannter Äquivalenzrelation einige Aufgaben bekommen habe.

a) Zeige sie, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
b) Bestimmen sie die Äquivalenzklassen von (2,2) und (3,1).
c) Auf M/ ~ definiert man die Addition durch
[(a,b)]+[(c,d)] = [(a + c,b + d)]
Beweisen sie die Wohldefiniertheit dieser Addition.

a) Sollte ich mittlerweile gelöst haben.
b) Hatte ich zunächst so:
[(2,2)] = ((a,b) mit a=b, a,b Element N)
[(3,1)] = ((a,b) mit a=b+2, a,b Element N)
Allerdings bin ich mir da nicht mehr so sicher...
c) Bei c weiß ich, dass es nicht nur für a,b,c,d sondern auch für beliebig andere Äquivalenzpaare a',b',c',d' gelten soll. Allerdings weiß ich machen mir die Kommas Probleme bei der Formalen Umsetzung!
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