Untervektorräume

05.05.2010, 21:43

Katja2107

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Untervektorräume

Meine Frage:
Sind die Mengen Untervektorräume von V?
Ich habe hier mehrere gegeben, würde aber nur gern mal an einem Beispiel sehen wie das funktioniert!
Also
a) U= Menge von x1-x2=x3 für allex element V V=R³

Meine Ideen:
Ich muss ja jetzt nachweisen, dass U keine leere Menge ist, dann noch, dass u,v element U daraus folgt: u+v element U
und
u element U ,r element K daraus folgt u*r element U

aber ich weiß nicht, wie ich da nun ansetzte bzgl aufschreiben usw.

05.05.2010, 21:45

Iorek

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Fangen wir an mit $\begin{eqnarray*} U\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ , was wäre wohl die einfachste Methode um das zu zeigen?

05.05.2010, 21:51

Katja2107

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ja, das weiß ich ja nicht so wirklich,
vielleicht sollte ich irgendein beispiel für x1-x2=x3 angeben, so dass die Menge dann nicht mehr leer sein könnt.
nur was bloß für eins?
steh auf dem schlauch. sorry...

05.05.2010, 21:54

Iorek

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Äquivalent könntest du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} 0\in U \end{eqnarray*}$ , ansonsten ist es nämlich auch kein UVR. Und wenn der Nullvektor enthalten ist, kann die Menge dann leer sein?

05.05.2010, 21:59

Katja2107

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nein, dann kann die menge natürlich nicht leer sein.
aber wie zeig ich an der gleichung x1-x2=x3, dass der nullvektor enthalten ist?
0-0=0 oder wie?

05.05.2010, 22:03

Iorek

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Wenn der Nullvektor diese Bedingung erfüllt, ist er enthalten, ja. Und offensichtlich erfüllt er diese ja, also...

Wie gehst du den nächsten Schritt an?

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05.05.2010, 22:10

Katja2107

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ok...
wenn ich annehme, dass x1 und x2 element von U sind, dann ist auch x1+(-x2)=x3 element U.
Kann man das so einfach sagen?

05.05.2010, 22:16

Iorek

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Was meinst du jetzt mit $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ ? Sind das Vektoren oder entsprechende Einträge der Vektoren? Bitte vermeide solche Doppelbelegungen.

Und nein, es reicht nicht das einfach zu sagen, das musst du zeigen.

05.05.2010, 22:56

Katja2107

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gut sorry, ich meinte natürlich vektoren(u,v) damit.
gut, aber wie zeige ich, dass das mit u=(a1,b1,c1) und v=(a2,b2,c2) geht?

05.05.2010, 23:04

Iorek

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Ok, alles klar.

Also: Seien $\begin{eqnarray*} u,v\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ , dann soll auch $\begin{eqnarray*} u+v\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ sein. Welche Forderungen erfüllen denn diese beiden Vektoren wenn sie in $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ liegen, wie können wir überprüfen, ob $\begin{eqnarray*} u+v \end{eqnarray*}$ ebenfalls diese Forderungen erfüllt?

05.05.2010, 23:16

Katja2107

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oh..., ich weiß es wirklich nicht...
vielleicht muss ich so argumentieren, dass u+v das gleiche neutrale element (nullvektor) haben?

05.05.2010, 23:18

Katja2107

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also, dass u+v dasselbe wie u und v hat

05.05.2010, 23:20

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek

Also: Seien $\begin{eqnarray*} u,v\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ , dann soll auch $\begin{eqnarray*} u+v\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ sein. Welche Forderungen erfüllen denn diese beiden Vektoren wenn sie in $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ liegen

Fangen wir damit an.

Seien $\begin{eqnarray*} u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{pmatrix}, v=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} \in\mathcal U \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} u_1-u_2=u_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1-v_2=v_3 \end{eqnarray*}$ , wie sieht dann der Vektor $\begin{eqnarray*} w=u+v \end{eqnarray*}$ aus? Erfüllt er auch diese Gleichung?

05.05.2010, 23:31

Katja2107

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Also w=(u1+v1, u2+v2, u3+v3)
und dann u1-u2+v1-v2=u3+v3
und dann u3+v3=u3+v3
so, und das ist eine wahre aussage...joa...

05.05.2010, 23:34

Iorek

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Im Prinzip richtig, allerdings würd ich das noch etwas formaler aufschreiben wenn du das als Übungsaufgabe abgibst.

Was haben wir jetzt damit also nachgewiesen?

05.05.2010, 23:44

Katja2107

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Ok danke.
gut das Formale mach ich noch, ich komm mit dem formeleditor nicht so klar.
also ich habe jetzt die abgeschlossenheit der addition von vektoren nachgewiesen, wolltest du das jetzt hören?
und beim letzten:
(u1,u2,u3)*r= (ru1,ru2,ru3)
=> ru1-ru2=ru3
=> r(u1-u2)=u3
=> ru3=ru3
und das ist dann die abgeschlossenheit der skalarmultiplikation.

05.05.2010, 23:46

Katja2107

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die vorletzte zeit muss nach dem ist gleich ru3 stehen

05.05.2010, 23:55

Iorek

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Zitat:

also ich habe jetzt die abgeschlossenheit der addition von vektoren nachgewiesen, wolltest du das jetzt hören?

Irgendwas in diese Richtung, ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zum zweiten Teil: du musst einen Schritt langsamer machen.

Sei $\begin{eqnarray*} u\in\mathcal, r\in \mathbb R^3,r\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} r\cdot u = \begin{pmatrix} ru_1 \\ ru_2 \\ ru_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Bis hier hin ist alles klar, dass aber $\begin{eqnarray*} ru_1-ru_2=ru_3 \end{eqnarray*}$ kannst du nicht direkt folgern, das wollen wir ja gerade zeigen. Im Prinzip musst du aber nur einen Zwischenschritt einschieben, $\begin{eqnarray*} ru_1-ru_2=r\underbrace{(u_1-u_2)}_{=u_3,~\text{da}~u\in\mathcal U}=ru_3\Rightarrow r\cdot u \in\mathcal U \end{eqnarray*}$ . Der Unterschied ist klein, aber wichtig, da du ja sonst direkt deine Behauptung folgern würdest, ohne diese zu beweisen.

06.05.2010, 00:14

Katja2107

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ich danke dir für deine große geduld mit mir smile

smile

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