Minimalpolynom

06.05.2010, 00:09	Ysmulc	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom Guten Abend, $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \lambda & & \\ & \lambda & \\ & & \lambda \end{matrix} \end{eqnarray}$ Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben wie ich bei dieser Matrix das charakteristische Polynom ausrechne und das Minimalpolynom ausrechne? Normalerweiße setze ich die Matrix $\begin{eqnarray} A-\lambda E \end{eqnarray}$ aber dann kommt ja $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \lambda-\lambda & & \\ & \lambda-\lambda & \\ & & \lambda-\lambda \end{matrix} \end{eqnarray}$ raus. Das Characteristische Polynom wäre dann $\begin{eqnarray} (\lambda-\lambda)^3 \end{eqnarray}$ und das macht meiner Meinung nach nicht wirklich Sinn. Liebe Grüße
06.05.2010, 00:18	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Unschönes Beispiel für die Doppelverwendung von Variablen: Stelle das char. Polynom als Determinante von $\begin{eqnarray} A - tE \end{eqnarray}$ dar, dann löst sich dein Problem in Luft auf. Gruß, Carsten
06.05.2010, 00:24	Ysmulc	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ja das habe ich mir auch schon überlegt. Dann ergibgt sich das charact. Polynom $\begin{eqnarray} (\lambda-t)^3 \end{eqnarray}$ Und die Eigenwerte wären $\begin{eqnarray} t1,2,3=\lambda \end{eqnarray}$ Aber das scheint mir ein bisschen zu einfach. Und vor allem war bei uns bis jetzt immer $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ der Wert für die Eigenwerte.
06.05.2010, 00:47	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Na ja, $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ musste in diesem Fall schon als Parameter den Kopf hinhalten, da sollte man für das char. Polynom eine andere Variable verwenden. Im Übrigen sollte es dich nicht verwundern, dass du dann als dreifachen Eigenwert gerade $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ rausbekommst - bei einer Diagonalmatrix (für solche Matrizen sind Mathestudenten ja bekanntlich ziemlich dankbar) sind die Eigenwerte gerade die Diagonaleinträge. Wie sieht denn dein Minimalpolynom aus? Das sollte ja ein Teiler des char. Polynoms sein.
06.05.2010, 01:26	Ysmulc	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist auch noch ein Problem. $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \lambda & & \\ & \lambda & \\ & & \lambda \end{matrix} - t \begin{matrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & 1 \end{matrix}=\begin{matrix} \lambda-t & & \\ & \lambda-t & \\ & & \lambda-t \end{matrix} \end{eqnarray}$ So nun suche ich ja das vielfache von $\begin{eqnarray} (\lambda-t) \end{eqnarray}$ sodass es einen Nullvektor ergibt. Jedoch bekomme ich nur folgende Gleichungheraus. Diese würde immer weiter steigen, je öfter ich sie mit sich selbst mal nehme. $\begin{eqnarray} \begin{matrix} \lambda-t & & \\ & \lambda-t & \\ & & \lambda-t \end{matrix}\begin{matrix} \lambda-t & & \\ & \lambda-t & \\ & & \lambda-t \end{matrix}=\begin{matrix} (\lambda-t)^2 & & \\ & (\lambda-t)^2 & \\ & &(\lambda-t)^2 \end{matrix} \end{eqnarray}$ Wo ist mein Denkfehler ...Das sieht so furchtbar aus ohne Klammern ...Ich hoffe man erkennt was gemeint ist!
06.05.2010, 03:52	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn $\begin{eqnarray} t - \lambda E \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t = M \end{eqnarray}$ , wobei M deine Matrix ist?
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06.05.2010, 10:38	Ysmulc	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso $\begin{eqnarray} t - \lambda E \end{eqnarray}$ ? Wieso zieh ich jetzt hier wieder lambda ab? Ich dachte Lambda hätten wir jetzt fix als die Einträge meiner Diagonalmatrix gesetzt? Sorry ich steh auf dem Schlauch. So wie du es schreibst wäre dann $\begin{eqnarray} (\lambda-t) \end{eqnarray}$ das Minimalpolynom. Wenn das so ist hab ich das System aber immer noch nicht verstanden Muss ich nicht eigentlich für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ meine Anfangsmatrix einsetzen?
06.05.2010, 21:09	akechi90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber t ist ja deine Variable, das $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ im Minimalpolynom ist ein durch deine Matrix M festgelegter Wert. Das heißt, dass die Variable, in die du deine Matrix einsetzen musst, t ist. Und wenn du deine Matrix in $\begin{eqnarray} t - \lambda := t - \lambda E \end{eqnarray}$ einsetzt, kommt gerade 0 raus.

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