Nilpotente Matrizen, Beweise |
| 07.05.2010, 15:13 | Anna(Wima) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Nilpotente Matrizen, Beweise ich habe folgende Aufgabe: Eine nxn-Matrix A heißt nilpotent, falls es eine Zahl mit gibt. Zeige: a) Für eine nilpotente nxn-Matrix A gilt ( mit gleichem n). b) Eine komplexe nxn-Matrix A ist genau dann nilpotent, wenn sie außer Null keine weiteren Eigenwerte besitzt. c) Zeigen Sie, dass jede nilpotente Matrix zu einer strikten oberen Dreiecksmatrix ähnlich ist. Also ich weiß über nilpotente Matrizen im Prinzip nur das, was gegeben ist, denn ich darf nur das benutzen, was wir in der Vorlesung schon hatten und das war nur der Einleitungssatz. Ich könnte mir vorstellen, dass ich bei der a) über das charakteristische Polynom argumentieren kann, komm da aber nicht wirklich voran. Zu der b) habe ich mit folgendes überlegt: , da folgt daraus ja auch . Nur bei der anderen Richtung fällt mir nichts ein. ja und zur c) habe ich eigentlich auch nicht viel. Ich würde mich über ein paar Denkanstöße freuen, möchte jedoch keine Lösungen vorgelegt bekommen 
Vielen Dank im Voraus, Grüße, Anna |
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| 08.05.2010, 10:33 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde mit der b) anfangen, da hast du ja schon einen guten Ansatz (nur ist mir nicht ganz klar was die Potenz eines Vektors sein soll 
), nur würde ich statt n k nehmen, solange du die a) noch nicht gezeigt hast.Die Hinrichtung reicht dann schon aus um die c) zu zeigen. Wenn du das hast, siehst du vielleicht was du für die Rückrichtung in der b) machen kannst. (Kleiner Tipp: Was passiert beim Potenzieren von Dreiecksmatrizen) Damit erledigst du dann ganz nebenbei sogar die a). Es gibt sicher auch Möglichkeiten das der Reihe nach zu zeigen, bei Äquivalenzbeweisen kann es aber durchaus leichter sein, wild herum zu springen, solange man aufpasst auch jede Richtung zu beweisen. |
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| 08.05.2010, 17:09 | Anna(Wima) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, dann schaue ich mir das so nochmal an und versuche es zu lösen, danke. (das sollte eigentlich die Potenz von A und lamda sein, hab es wohl irgendwie falsch eingegeben, kenne mich da noch nicht so gut aus
) |
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| 08.05.2010, 21:17 | Anna(Wima) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, also von der b) die eine Richtung habe ich ja, aber weiß nicht, was sie mir für die c) brigen soll. bei der c habe ich jetzt folgendes: aber wie schließe ich davon auf eine strikte obere Dreiecksmatrix? D könnte doch jede beliebige nilpotente Matrix sein. |
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| 08.05.2010, 22:50 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die b sagt dir ja, welche Eigenwerte deine Matrix hat, falls sie nilpotent ist. Welche Form hat denn eine dazu ähnliche obere Dreiecksmatrix? (Stichwort: Trigonalisieren) |
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| 09.05.2010, 00:30 | Anna(Wima) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube ich mache es mir gerade viel zu schwer. Also ich weiß zum einen, dass es Transformationsmatrizen gibt, so das D eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist, was in dem Fall die Nullmatrix wäre. Und ich weiß, dass jede Matrix zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich ist. Nun muss ich das im Prinzip alles miteinander verbinden und sollte so zur Lösung kommen, aber ich steh im mom total auf dem Schlauch und sehe den nächsten Schritt einfach nicht. 
Ich meine ich weiß ja auch nicht wie viele Eigenvektoren existieren, sonst könnte ich die Eigenvektoren zu einer Basis ergänzen. Kannst du mir noch einen kleinen Tipp geben, der die Lösung nicht direkt enthält? |
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| 09.05.2010, 00:43 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das mit der Diagonalmatrix funktioniert ja nicht unbedingt, du weißt ja nichts über die geometrische Vielfachheit deiner Eigenvektoren. Was in jedem Fall funktioniert ist eine Dreiecksmatrix zu erhalten mit den (komplexen) Eigenwerten auf der Diagonale, ich bin mir sicher, das habt ihr schon einmal kennengelernt (ansonsten ist das nicht schwer zu zeigen mit Induktion). Damit sollte es ja dann weiter gehen. |
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| 09.05.2010, 22:10 | Anna(Wima) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, super. Ich habe jetzt alles bis auf die eine Richtung von der b) Ich meine, ich weiß, dass der EW 0 ist und muss zeigen, dass die Matrix dann nilpotent sein muss. Aber so einfach wie es sich anhört ist es ja nicht : für und zugehörigem Eigenvektor gilt: A(v)=0, also muss doch eigentlich auch gelten , woraus man schließen könnte, dass A nilpotent ist. Wobei ich dann das Porblem hätte, dass ich v als EV gesehen habe und es somit das "gezeigte" nicht für alle Werte gelten würde. Ist das wenigstens der richtige Ansatz oder gehe ich hier komplett falsch heran? |
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| 09.05.2010, 22:18 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn alle deine Eigenwerte 0 sind, dann ist deine Matrix ähnlich zu einer strikten oberen Dreiecksmatrix. Was passiert denn, wenn du eine strikte obere Dreiecksmatrix mit sich selbst multiplizierst? |
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| 10.05.2010, 08:50 | Anna(Wima) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
irgendwann habe ich nur noch die Nullmatrix, das habe ich aber schon für die a) benutzt. |
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| 10.05.2010, 08:56 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, und was passiert dann mit deiner Original Matrix A beim potenzieren wenn eine dazu ähnliche Matrix irgendwann zu 0 wird? |
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| 10.05.2010, 15:26 | Anna(Wima) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja die wird auch 0
ich weiß worauf du hinaus willst, stand nur irgendwie auf dem schlauch. Ich könnte jedoch auch so argunmentieren : für gilt ja und da das charakteristische Poynom die Matrix annulliert, muss gelten, dh die Matrix A wäre nilpotent. |
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| 10.05.2010, 18:39 | LLCoolDave | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist durchaus eleganter, daran hatte ich gar nicht gedacht. |
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| 10.05.2010, 19:25 | Anna(Wima) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok super, dann habe ich ja jetzt alles. Vielen Dank für deine Hilfe. |
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