Konvergenzradius bestimmen

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ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius bestimmen
Meine Frage:
Hallo,

ich muss von folgender Potenzreihe den Konvergenzradius bestimmen:



Meine Ideen:
Ich habe jetzt erstmal das Quotientenkriterium verwendet und bin dann nach etwas umformen auf folgendes gekommen:

Folgendes sollte dann ja gegen 1 gehen:

Dann bleibt noch folgendes übrig:

Für |x|>1 ist die Reihe somit divergent und für |x|<1 ist die Reihe konvergent.
Also ist der Konvergenzradius 1?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der Konvergenzradius ist 1 Freude

Edit:

Man sieht auch leicht, dass die Reihe auch für |x| = 1 (absolut) konvergiert.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein das stimmt nicht.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kiste
Nein das stimmt nicht.

Was stimmt nicht? Ist der Konvergenzradius nicht 1?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau das stimmt nicht, da habe ich Mist gebaut. Der Konvergenzradius ist 2. Mittelpunkt dabei ist -1
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, könntest du mir vielleicht erklären warum, bzw. was ich falsch gemacht habe?
 
 
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn der Koeffizient bei deiner Reihe?
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du damit jetzt genau? Mehr Angaben habe ich nicht.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir sonst keiner erklären wie ich diese Aufgabe lösen muss?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Naja a_n kannst du ja aus deiner Reihe ablesen. Allgemein hat eine Potenzreihe die Form:




Der Mittelpunkt ist dabei .

Der Konvergenzradius ist jetzt beispielsweise durch:



gegeben.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Form würde dann so aussehen:
(\frac{1}{2}) ^{n}*(n-1)^2*(x+1)^n

Also wäre hier a_n = (\frac{1}{2}) ^{n}*(n-1)^2

Der Mittelpunkt ist also -1.

Wenn ich jetzt die Formel für den Konvergenzradius anwende erhalte ich:
\frac{1}{\lim_{n \to \infty } (\frac{\frac{1}{2}*n^2*(x+1) }{(n-1)^2} )}

Daraus erhalte ich dann: \frac{2}{x+1}
Und der Konvergenzradius ist wieder 1.

An welcher Stelle mache ich was falsch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
Wenn ich jetzt die Formel für den Konvergenzradius anwende erhalte ich:
\frac{1}{\lim_{n \to \infty } (\frac{\frac{1}{2}*n^2*(x+1) }{(n-1)^2} )}

Wieso taucht hier der Ausdruck "(x+1)" auf? Schau dir nochmal bei Felix die Formel für den Konvergenzradius an.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Also soll ich x+1 einfach weglassen? Dann erhalte ich \frac{1}{\lim_{n \to \infty } (\frac{\frac{1}{2}*n^2 }{(n-1)^2} )}
Für n= \infty kommt dann 2 raus?
Somit ist der Radius 2. Habe ich das so richtig gemacht?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Vom Ergebnis her ja, formal eher nicht. Man kann nicht für n unendlich einsetzen, sondern nur den Grenzwert



bilden.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Ja war nicht ganz richtig ausgedrückt. Augenzwinkern

Also muss ich jetzt immer die allgemeine Form bilden und dann (x+t)^n weglassen und a_n in die Gleichung einsetzen und den Grenzwert bilden.

Komisch das ich diese Formel in meinen Aufzeichnung nicht habe...

Was mache ich denn wenn ich die Fleichung nicht in die allgemeine Form bekomme oder nach dem kürzen nur noch n stehen bleibt? Ist dann der Radius unendlich?

Vielen Dank auf alle Fälle schonmal für die Hilfe. smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
Also muss ich jetzt immer die allgemeine Form bilden und dann (x+t)^n weglassen und a_n in die Gleichung einsetzen und den Grenzwert bilden.

Ja. Beachte, daß x = -t der Miitelpunkt des Konvergenzintervalls ist.

Zitat:
Original von ll_ll
Was mache ich denn wenn ich die Fleichung nicht in die allgemeine Form bekomme?

Wende eins der üblichen Konvergenzkriterien (beispielsweise Quotientenkriterium) auf den gesamten Ausdruck an.

Zitat:
Original von ll_ll
Was mache ich denn wenn nach dem kürzen nur noch n stehen bleibt? Ist dann der Radius unendlich?

Ja.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, jetzt habe ich nur noch ein Problem, was mache ich wenn ich z.B. sowas stehen habe: a_n*(x+1)^3, sowas bekomme ich ja nicht in die allgemeine Form?
Durch Substitution soll ich t für (x+1)^3 einsetzen, wenn ich dann aber den Grenzwert von a_n bilde kürzt sich das komplett weg.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
was mache ich wenn ich z.B. sowas stehen habe: a_n*(x+1)^3, sowas bekomme ich ja nicht in die allgemeine Form?

Wenn sowas da steht, handelt es sich nicht um eine Potenzreihe, sondern um eine gewöhnliche Reihe. Das (x+1)³ kann man als konstanten Faktor vor die Summe ziehen.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich soll es laut Aufgabenstellung eine Potenzreihe sein.
Die Reihe ist gegeben: \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2x-1)^{(3n+2)}}{n*3^n}
(Substitution: t:=(x-\frac{1}{2})^{3})
Habe alle versucht aber irgendwie bekomme ich die allgemeine Form nicht hin. Habe auch versucht die Konvergenzkriterien auf den gesamten Ausdruck anzuwenden, aber dann kürze ich nur das n weg.
Hast du vielleicht ne Idee?
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Keiner sonst ne Idee? Was stört ist dieses +2 in der Potenz, das bekomme ich irgendwie nicht weg.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
Die Reihe ist gegeben: \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(2x-1)^{(3n+2)}}{n*3^n}

Latexcode hilft nur, wenn man es auch zwischen die Latextags stellt:



Zitat:
Original von ll_ll
Keiner sonst ne Idee? Was stört ist dieses +2 in der Potenz, das bekomme ich irgendwie nicht weg.

Potenzgesetze anwenden: Augenzwinkern
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dachte schon nur bei mir wird das falsch angezeigt...

Potenzgesetz ist klar, habe ich auch verwendet, aber auf die Allgemeine Form komme ich trotzdem nicht.
Verwende ich das Quotientenkriterium kürzt sich das ^n weg.
Und es bleibt das hier übrig:
Also insgesamt sieht das dann so aus:
Umgeformt:
Nach Substitution sieht es dann wie folgt aus:
Aber auf die allgemeine Form komme ich so nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
Verwende ich das Quotientenkriterium kürzt sich das ^n weg.

Irgendwas geht hier jetzt durcheinander. Entweder willst du die Reihe auf die allgemeine Form bringen oder das Quotientenkriterium anwenden. Aber beides gleichzeitig geht nicht.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Die allgemeine Form bekomme ich ja nicht hin, und du hattest ja geschrieben das ich die Konvergenzkriterien auch auf den ganzen Ausdruck anwenden kann?

Kannst du mir vielleicht sagen wie ich auf die allgemeine Form komme?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Wir doch jetzt gar nicht so weit davon entfernt:



Jetzt mußt du noch substituieren und fertig ist die Laube.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich soll t für substituieren.
Also erhalte ich
Nach Umformung:
Kann ich jetzt tatsächlich einfach als nehmen?

Nehme ich den Rest dann als a_n und verwende das Quotientenkriterium dann erhalte ich .
Jetzt muss ich das ganze noch Rücksubstizieren, also nach x auflösen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
Ok, ich soll t für substituieren.

Das habe ich zwar nicht gesagt, aber von mir aus auch das.

Zitat:
Original von ll_ll
Nach Umformung:

Jetzt hatten wir doch extra das (2x-1)² rausgezogen, damit man eine simple Substitution hat, und jetzt packst du es nach der Substitution wieder rein. Laß das doch einfach mit stehen. Das ziehst du als Konstante vor die Summe und ... voilà.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Das habe ich zwar nicht gesagt, aber von mir aus auch das.

Steht so in der Aufgabenstellung. Augenzwinkern

Zitat:
Original von klarsoweit
Jetzt hatten wir doch extra das (2x-1)² rausgezogen, damit man eine simple Substitution hat, und jetzt packst du es nach der Substitution wieder rein. Laß das doch einfach mit stehen. Das ziehst du als Konstante vor die Summe und ... voilà.

Ok also kann ich einfach ignorieren?
Rücksubstitution muss ich aber trotzdem durchführen. Dann ist also , das löse ich dann nach x auf und damit ist der Radius ?
Was nehme ich dann als Mittelpunkt, 0?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
Ok also kann ich einfach ignorieren?

Ja was den Konvergenzradius angeht.

Zitat:
Original von ll_ll
das löse ich dann nach x auf und damit ist der Radius ?

Nein. Denk nochmal genau drüber nach. Für welche t konvergiert die Reihe?
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Nein. Denk nochmal genau drüber nach. Für welche t konvergiert die Reihe?

Für , also ist der Radius .
Wie siehts dann mit dem Mittelpunkt aus, ist der 0?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Unfug. Nochmal die Frage: für welche t konvergiert die Reihe?
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

muss erfüllt sein, damit die Reihe konvergent ist.
Also für konvergiert die Reihe.
Wenn das nicht stimmt weiß ich nicht weiter.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
muss erfüllt sein, damit die Reihe konvergent ist.

Ich weiß nicht, wie du darauf kommst. Deswegen auch meine Frage nach dem Konvergenzradius bzw. wie du den berechnet hast.
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
muss erfüllt sein, damit die Reihe konvergent ist.
Also für konvergiert die Reihe.
Wenn das nicht stimmt weiß ich nicht weiter.


Du hast da irgendwie einen 'Dreher' reingerechnet.
Das kannst Du auch schnell einsehen, wenn Du z.B. mal t=1 einsetzt.

Der tatsächliche Konvergenzradius lautet:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, daß du da reinfunkst. Genau diese Hirnleistung hätte ich von ||_|| erwartet.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Na ich habe vor die Summe gezogen, sodass x_n=t^n und a_n=
Dann habe ich auf a_n das Quotientenkriterium angewedet und n gegen Unendlich gehen lasse, daraufhin bleibt dann übrig.

t konvergiert dann für .

Dann habe ich einfach das ganze wieder Rücksubstituiert, also gesagt das
t entspricht doch genau
Dann habe ich das ganze nach x aufgelöst. Dann erhalte ich wieder das was ich vorhin geschrieben habe.
Muss ich das nicht noch nach x auflösen, sondern kann als Konvergenzradius einfach nehmen?
Kühlkiste Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Schade, daß du da reinfunkst. Genau diese Hirnleistung hätte ich von ||_|| erwartet.


Ja, hast Recht. Sorry.

Ich hatte Deinen Beitrag von 14:49h nicht mitbekommen und durch die Zeile: "dann weiß ich nicht weiter" fühlte ich mich zum Handeln bewogen - nicht dass ||_|| sich noch was antut... Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
Dann habe ich auf a_n das Quotientenkriterium angewedet

Warum eigentlich, da du die Reihe mühsam auf die allgemeine Form für Potenzreihen gebracht hast?

Zitat:
Original von ll_ll
t konvergiert dann für .

unglücklich Die Reihe konvergiert für .

Zitat:
Original von ll_ll
Muss ich das nicht noch nach x auflösen, sondern kann als Konvergenzradius einfach nehmen?

Diese Ungleichung mußt du nach x auflösen. Dann bekommt du den Konvergenzradius für x und den Mittelpunkt.
ll_ll Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Warum eigentlich, da du die Reihe mühsam auf die allgemeine Form für Potenzreihen gebracht hast?

Ich muss doch die Konvergenzkriterien auf die Reihe anwenden, hatte ich doch am Anfang auch gemacht, ich könnte hierbei natürlich auch das Wurzelkriterium verwenden, wobei es irgendwie überflüssig ist...

Zitat:
Original von klarsoweit
unglücklich Die Reihe konvergiert für .

Ja tut mit leid, habe da etwas abgekürzt, vorhin hatte ich ausversehen erst noch 1 durch das ganze geteilt, weshalb es verdreht war.

Zitat:
Original von klarsoweit
Diese Ungleichung mußt du nach x auflösen. Dann bekommt du den Konvergenzradius für x und den Mittelpunkt.

Hatte ich doch vorhin schon gemacht? Der Radius ist dann Ist der Mittelpunkt dann -1/2?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ll_ll
Ich muss doch die Konvergenzkriterien auf die Reihe anwenden, hatte ich doch am Anfang auch gemacht, ich könnte hierbei natürlich auch das Wurzelkriterium verwenden, wobei es irgendwie überflüssig ist...

Du mußt dich entscheiden (und ich glaube da wiederhole ich mich), ob du Konvergenzkriterien anwenden willst oder ob du die Reihe auf die allgemeine Form für Potenzreihen bringst, um dann die Formel für den Konvergenzradius anwenden zu können. Aus dem letzteren ergibt sich automatisch die Konvergenz, wenn der Konvergenzradius > 0 ist.

Zitat:
Original von ll_ll
Hatte ich doch vorhin schon gemacht? Der Radius ist dann Ist der Mittelpunkt dann -1/2?

Weder noch. Du rechnest irgendwie wild drauf los und kommst dann immer zu falschen Ergebnissen.
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