Kann jemand diese Eigenschaft der Primzahlen beweisen oder widerlegen?

08.05.2010, 15:01

Wasabi

Kann jemand diese Eigenschaft der Primzahlen beweisen oder widerlegen?

Meine Frage:
Ich stelle mir gerade folgende Frage,

Es ist klar, dass für eine Primzahl p > 3 gilt:

1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/(p-1) $\begin{eqnarray*} \equiv \end{eqnarray*}$ 0 mod p

Ich wüsste gerne ob sich auch folgende Vermutung einfach beweisen lässt, oder widerlegt werden kann:

Sei p eine Primzahl der Form 4k + 1, Dann ist der Zähler von:

( 1/2 + 1/3 )+( 1/6 + 1/7 )+( 1/10 + 1/11 )+...+( 1/(p-3) + 1/(p-2) )

durch p teilbar.

Beispiel:

1/2 + 1/3 + 1/6 + 1/7 + 1/10 + 1/11 = ( 13*79 )/(2*5*7*11)
-> Zähler teilbar durch 13

Meine Ideen:
Mir fällt gerade nicht ein wie diese Vermutung bewiesen werden kann.
Ich bin aber sicher, falls der Satz wahr ist, ist der Beweis wahrscheinlich einfach zu finden. Da ich allerdings gerade ein Brett vorm Kopf habe möchte ich diese Frage gerne hier in die Runde stellen.
Ich habe die Vermutung nach Prüfung bis zur Zahl 101 aufgestellt, hoffe
allerdings, dass sie falsch ist. Wie gesagt, falls ich einen einfachen Beweis für diesen Satz übersehen habe, oder dieser Satz in einer Formelsammlung zu finden ist, würde ich mich über einen Hinweis freuen.

08.05.2010, 15:43

Dummling

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RE: Kann jemand diese Eigenschaft der Primzahlen beweisen oder widerlegen?

Zitat:

Original von Wasabi
Meine Frage:
Ich stelle mir gerade folgende Frage,

Es ist klar, dass für eine Primzahl p > 3 gilt:

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{p-1} \equiv 0\, mod \, p \end{eqnarray*}$

Das ist überhaupt nicht klar, denn 0 mod p = 0, oder?

Dummling

08.05.2010, 15:49

wasabi

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es gilt doch ebenfalls:

1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/(p-1) mod p = 0

also somit

1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/(p-1) = 0 (modulo p)

sorry ich deinen Post falsch verstanden haben solte

Wasabi

08.05.2010, 16:14

Dummling

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Hallo,

dann wäre doch:
$\begin{eqnarray*} 0 < 1 + \frac{1}{2} \leq 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{p-1} \equiv 0\, mod \, p = 0 \end{eqnarray*}$
ein Widerspruch. Oder steh ich grad völlig auf dem Schlau?

Dummling

08.05.2010, 16:21

wasabi

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Ja tut mir leid, stehst du.
Ich formuliere das einfach mal um, dass man es leichter versteht:
im Grunde genommen bedeutet der Ausdruck:

Wenn man

1 + 1/2 + 1/3 + ..... + 1/(p-1)

zusammenrechnet, bekommt man am Ende
ein Bruch der Form a/b raus, mit natürlichen Zahlen a und b.

Es ist sehr bekannt, dass die zahl a ein Vielfaches von p sein muss.
Natürlich müsste das erst bewiesen werden. Klar bedeutet halt nur,
dass diese Tatsache vielen Leuten schon bekannt ist.

08.05.2010, 16:24

Dummling

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Zitat:

Original von wasabi
es gilt doch ebenfalls:

1 + 1/2 + 1/3 + .... + 1/(p-1) mod p = 0

Sicherlicht hast du zwei Klammern vergessen?

p=5 ist prim. Du behauptest:
$\begin{eqnarray*} <br /> (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}) mod \, 5 = \frac{25}{12} mod \, 5 = \frac{25}{12}= 0<br /> \end{eqnarray*}$

Woher hast du denn dein "es ist klar"?

Dummling

08.05.2010, 16:28

Dummling

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Zitat:

Original von wasabi
Ja tut mir leid, stehst du.
Ich formuliere das einfach mal um, dass man es leichter versteht:
im Grunde genommen bedeutet der Ausdruck:

Wenn man

1 + 1/2 + 1/3 + ..... + 1/(p-1)

zusammenrechnet, bekommt man am Ende
ein Bruch der Form a/b raus, mit natürlichen Zahlen a und b.

Es ist sehr bekannt, dass die zahl a ein Vielfaches von p sein muss.
Natürlich müsste das erst bewiesen werden. Klar bedeutet halt nur,
dass diese Tatsache vielen Leuten schon bekannt ist.

Okay, das sieht doch schon logischer aus. Das hast du so aber nicht aufgeschrieben Teufel

Frage zu deiner Behauptung:
In welchen Schritten sollen deine Summanden ( 1/(a-3) + 1/(a-2) ) wachsen?

Dummling

08.05.2010, 16:34

wasabi

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Was ich aufgeschrieben haben bedeutet genau das.
Über die Klammern kann man sich unterhalten, ich denke dass man
die Formel auch ohne Klammern versteht.

Aber ich will nicht von der eigentlichen Frage ablenken.

In viererschritten wachsten die Summanden:

1/2 + 1/3 +
1/(2 + 4) + 1/(3+4) +
1/(2+4+4) + 1/(3+4+4 )+
..........

08.05.2010, 16:35

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@Dummling

Es wird hier im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gerechnet, da sind deine von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ herrührenden Ordnungsbetrachtungen < > usw. völlig unpassend.

@wasabi

Fasse die Terme folgendermaßen zusammen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1} + \frac{1}{p-1} = \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} + \frac{1}{p-2} = \cdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} + \frac{1}{p-3} = \cdots \end{eqnarray*}$

...

dann sollte Licht in die Sache kommen.

EDIT: Sorry, das hast du ja schon bewiesen (oder zumindest gekannt) - da hab ich deinen Beitrag nicht ganz zu Ende gelesen. Augenzwinkern

Aber die Idee passt auch auf dein modifiziertes Problem.

08.05.2010, 16:52

Dummling

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Zitat:

Original von Arthur Dent
@Dummling

Es wird hier im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gerechnet, da sind deine von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ herrührenden Ordnungsbetrachtungen < > usw. völlig unpassend.

Danke für die Klarstellung - ich sollte mir abgewöhnen, immer - wenn nichts anderes gesagt ist - im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ zu denken Big Laugh

Lese ich also noch einmal:

Zitat:

Es ist klar, dass für eine Primzahl p > 3 im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt:

08.05.2010, 16:54

wasabi

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@Arthur Dent

eben die Frage die ich stelle ist vermutlich leider etwas schwieriger Augenzwinkern

Da die multiplikativen Inversen im Z/Zp , soweit ich weis nicht sehr
vorhersehbar verteilt sind (abhängig von p), fällt mir nicht ein wie
man Zeigen soll, welches Ergebnis herauskommt, wenn man nur einen
Teil der Inversen aufsummiert.

Allerdings bestätigen zumindest sämtliche kleinere Primzahlen diese Vermutung.
Ich fänd's super wenn der Satz für große Zahlen nicht stimmen würde, da könnte
ich echt was mit anfangen.
Allerdings denke ich nicht das es Zufall ist das die ersten Primzahlen alle den Satz erfüllen.

08.05.2010, 16:55

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Aber die Idee passt auch auf dein modifiziertes Problem.

08.05.2010, 17:02

wasabi

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Lol da hätte ich mal zuende lesen sollen :-)

Das war wohl das größte Brett das ich in diesem Jahr vorm Kopf hatte !

Hab allerdings heute nacht wenig geschlafen wenn das ne Entschuldigung ist :-)

08.05.2010, 17:02

Mystic

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Arthurs Beweis läßt sich schwer noch vereinfachen, aber eine andere Idee wäre einfach die Bildung der Gaußschen Summe

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{p-1} k = \frac {p(p-1)}2 \end{eqnarray*}$

denn um diese Summe geht es ja hier, da die Abbildung $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^{-1} \end{eqnarray*}$ in jeder Gruppe ein Antiautomorphismus, insbesondere also eine Bijektion, ist...

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