Darstellende Matrix

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08.05.2010, 15:04	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellende Matrix Meine Frage: Wir betrachten die Abbildung L : R3 ? R4 gegeben durch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 3x & -y & -z \\ 2x & & \\ x & +y & +z\\ & y & +z \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (i) Zeige, dass die Abbildung linear ist. (ii) Berechne die darstellende Matrix der Abbildung L bez¨uglich (a) der Standardbasis B0 des R3; (b) der Basis B1= $\begin{eqnarray} \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: i) eine Abbildung ist linear, wenn 1. q(v+w)=q(v)+q(w) 2. q(av)=aq(v) gilt. für mein Bsp gilt: 1. $\begin{eqnarray} f(x+y+z)= \begin{pmatrix} 3x & -y & -z \\ 2x & & \\ x & +y & +z\\ & y & +z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3x \\ 2x \\ x \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -y \\ 0 \\ y \\ y\end{pmatrix} +\begin{pmatrix} -z \\ 0 \\ z\\ z \end{pmatrix}= f(x)+f(y)+f(z) \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} f(a(x+y+z))=a\begin{pmatrix} 3x & -y & -z \\ 2x & & \\ x & +y & +z\\ & y & +z \end{pmatrix}= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a\begin{pmatrix} 3x \\ 2x \\ x \\ 0 \end{pmatrix} + a\begin{pmatrix} -y \\ 0 \\ y \\ y\end{pmatrix} +a\begin{pmatrix} -z \\ 0 \\ z\\ z \end{pmatrix}= a(f(x)+f(y)+f(z)) \end{eqnarray}$ das gilt. D.h. die Abbildung ist linear. Stimmt das??? ii) Abbildungsmatrix (AM): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 2 & 0 &0 \\ 1 & +1 & +1\\ 0& 1 & +1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ (a) hier komm ich nicht weiter... kann man sagen, dass das gilt: $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} 1 \\0 \\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 1\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} 0 \\1 \\0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f\begin{pmatrix} o \\0 \\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dann??? ii) (b) so ich habe dann die erste basis genommen und mit AM mutipliziert: $\begin{eqnarray} b1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ 2 & 0 &0 \\ 1 & +1 & +1\\ 0& 1 & +1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für b2 und b3 bekomm ich analog: $\begin{eqnarray} b2=\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2\\2 \end{pmatrix}, b3=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2\\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ lautet diese dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 2\\1&2&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist es so richtig???? ich würde mich freuen wenn ich unterstützung bekäme... thx edit: Zeilenumbruch für bessere Lesbarkeit eingefügt. LG sulo
08.05.2010, 15:10	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
ich bin der selbe, hatte vergessen mich anzumelden....^^
08.05.2010, 15:59	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir jmd helfen???? ich versuchs und komm nicht auf eine gescheite lsg....
08.05.2010, 16:10	Stefan03	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, also ich bin mir nicht sicher, aber wenn die Spaltenvektoren deiner darstellenden Matrix AM auch die Basisvektoren sind, dann musst du Bilder von der Standardbasis B0 des R^3 als Linearkombinationen der Basisvektoren von AM darstellen. Die Koeff. sind dann die Spaltenvektoren der darstellenden Matrix. So sollte das gehen. Siehe auch http://www.matheplanet.com/matheplanet/n...cle.php?sid=368 "Berechnung der Darstellenden Matrix am Beispiel"
08.05.2010, 16:46	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
@StefanB den link den du mir gegeben hast; ich habe ihn schon an meinem obigen beispiel angewendet, allerdings komme ich in einigen stellen nicht ganz klar... zu deinem post: wie meist du das, dass meine spaltenvektoren gleichzietig die basisvektoren sind`?? sry kann nicht ganz folgen, wieso es so ist...
08.05.2010, 23:02	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
brauche dringend rat pls...
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09.05.2010, 15:04	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
ich weiß immernoch nicht wie ich weitermachen soll.... ist es überhaupt richtig was ich bisher bemacht hab???
09.05.2010, 18:33	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
weiß jmd vielleicht wie es geht???
10.05.2010, 19:16	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir keiner einen tip geben????

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