Durchschnittlicher Zins bei kontinuierlicher Einzahlung [Zinsrechnung]

09.05.2010, 18:24	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
Durchschnittlicher Zins bei kontinuierlicher Einzahlung [Zinsrechnung] Hallo alle z'sammen Grübel hier an einem Problem an dem ich nicht weiterkomme. Ich suche den Zinssatz pro Periode bei regelmäßiger Einzahlung und Zinsesversinsung. Zuerst der Hinweg: gesucht ist das Kapital $\begin{eqnarray} K_n \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Jahren. Gegeben sind Jahre: $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Beitrag pro Periode: $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ und zinssatz pro Periode: $\begin{eqnarray} p% \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1+p%=P \end{eqnarray}$ Dann gilt die Formel: $\begin{eqnarray} K_n=B\cdot\left(1+p%\right)\frac{1-\left(1+p%\right)^n}{1-\left(1+p%\right)} \end{eqnarray}$ oder einfacher geschrieben: $\begin{eqnarray} K_n=B\cdot P\frac{1-P^n}{1-P} \end{eqnarray}$ soweit so gut. Nun zur eigentlichen Fragestellung gesucht ist der zinssatz pro Periode: $\begin{eqnarray} p% \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} P=1+p% \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Jahren. Gegeben sind Jahre: $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , das Endkapital $\begin{eqnarray} K_n \end{eqnarray}$ , der Beitrag pro Periode: $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ Ich bekomme einfach keine Formel der Form $\begin{eqnarray} P=\cdots \end{eqnarray}$ auf die Reihe, das Beste, was ich geschafft habe ist: $\begin{eqnarray} 0=-BP^{n+1}+\left(B+K_n\right)P-K_n \end{eqnarray}$ was ich aber nicht lösen kann. In OOo konnte ich die Gleichung mittels der "Zielwertsuche" lösen, das ist aber ein Näherungsverfahren - gibt es auch eine "exakte" also direkte Lösung? Jan
09.05.2010, 23:42	wover	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Durchschnittlicher Zins bei kontinuierlicher Einzahlung [Zinsrechnung] bin mir nicht sicher, ob es das ist, was du suchst, aber wenn ich da jetzt nichts überlesen habe, müsste es passen http://de.wikipedia.org/wiki/Zinsrechnung
10.05.2010, 07:31	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
Nöp, die Formeln und Zahlen kenne ich. Hier geht es um Zinsen die auflaufen, wenn regelmäßig bespart wird, wie bei einer Rentenversicherung oder Bausparen.
10.05.2010, 08:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichung ist algebraisch nicht lösbar. Die Überlegung ist eigentlich ganz einfach: Der Bruch lässt sich (nach einem binomischen Satz) durch den Nenner (1 - P) kürzen und so entsteht eine Gleichung (n-1)ten Grades in P. Und für diese gibt es kein exaktes Lösungsverfahren. Übrigens, in Excel funktioniert die Zielwertsuche ebenso gut mY+
10.05.2010, 10:25	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
Jaja, mein alter Windowsfreund. Ok, dann muss ich mal einen rekursiven Algorithmus finden, der iterativ funzt, denn die Zielwertsuche ist immer manuell zu starten Jemand da, der mir dabei helfen will? Also ich suche eine Formel für $\begin{eqnarray} P_i=f(K_i) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K_i=-BP_i^{n+1}+\left(B+K_n\right)P_i-K_n \end{eqnarray}$ so, dass $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ sich mit jeder Iteration $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ nähert und $\begin{eqnarray} K_i\to 0 \end{eqnarray}$ n-te Wurzel von K_i? hmm
10.05.2010, 13:17	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es mit Newton oder Regula Falsi? Übrigens ist 1 immer eine Lösung der ausmultiplizierten Gleichung, nicht aber der Ansatzgleichung, dort muss ja $\begin{eqnarray} \rm P \neq 1 \end{eqnarray}$ sein. Da P > 1 und ziemlich nahe an 1 liegt, muss man bei Newton einen Startwert in der Nähe von 1 plus dem halben zu erwartenden Prozentsatz wählen. Das Newton-Verfahren ist deswegen problematisch, weil es erst dann konvergiert, wenn man sich beim Start hinreichend nahe an der Nullstelle befindet. Bei P = 1,04 z.B. muss der Startwert mindestens 1,025 betragen. Unproblematischer ist die Regula Falsi (Intervall-Bisektionsverfahren), denn diese konvergiert - bei richtiger Wahl des Intervalles - jedenfalls, wenn auch langsamer. Was aber bei bei einem CAS nicht so schwer ins Gewicht fällt. [attach]14605[/attach][attach]14606[/attach] mY+
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17.05.2010, 08:57	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe bei keiner der beiden Methoden eine Lösung gefunden, die nur zwei Zellen involviert und über die integrierte iterative Lösung funktioniert. Da ich bereits eine Tabelle habe un der Prozent wert für jede Zeile ausgerechnet werden soll, kann (oder will) ich nicht für jede Zeile eine neue Tabelle öffnen. Was ich an Werten zur Verfügung habe ist das korrekte Zielergebnis also $\begin{eqnarray} K_n \end{eqnarray}$ In einem Feld ( $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ )soll am Ende $\begin{eqnarray} P_n \end{eqnarray}$ stehen, nun dachte ich, ich nehme ein weiteres Feld in dem ich diese Formel eingebe: $\begin{eqnarray} K_i=-BP_i^{n+1}+\left(B+K_n\right)P_i-K_n \end{eqnarray}$ Jetzt gehts es manuell per Zielwertsuche. Ich hätte aber viel lieber eine Formel in $\begin{eqnarray} P_i=f(K_i) \end{eqnarray}$ so, dass sich $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ sich mit jeder Iteration $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P \end{eqnarray}$ nähert während $\begin{eqnarray} K_i\to 0 \end{eqnarray}$ . Soweit sind meine Überlegungen schon: Die Formel muss prüfen, ob sich 1 ergeben würde und dementsprechend einen größeren Sprung weg von der 1 machen Ich brauche wahrscheinlich ein drittes Feld, dass P_i zwischenspeichert

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