Punkte auf Geraden

09.05.2010, 19:00	Karna	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkte auf Geraden Meine Frage: Beweise: Drei Punkte a,b,c liegen genau dann auf einer Geraden, wenn es ?, ?, ? aus IR gäbe mit ?a+?b+c?=0 und ?+?+c=0, (?,?,?)=(0,0,0). Meine Ideen: Hallo, ich weiß leider nicht, wie ich das mathematisch korrkekt beweisen soll - vermutlich geht es um l. a., aber könnte mir da bitte jemnad bei helfen?
09.05.2010, 20:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muß man erst einmal ordentlich hinschreiben. Identifizieren wir die Punkte mit ihren Ortsvektoren und schreiben wir $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ dafür, dann ist vermutlich das Folgende gemeint: $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ liegen genau dann auf einer Geraden, wenn reelle Zahlen $\begin{eqnarray} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray}$ existieren mit $\begin{eqnarray} \alpha a + \beta b + \gamma c = 0 \, , \ \ \alpha + \beta + \gamma = 0 \, , \ \ \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 > 0 \end{eqnarray}$ Und der Beweis geht in der Tat über die lineare Abhängigkeit von zum Beispiel $\begin{eqnarray} b-a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c-a \end{eqnarray}$ .
09.05.2010, 21:12	Karna	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh ja - war mir garnicht aufgefallen - danke. Also - wie beginne ich am sinnvollsten?
09.05.2010, 21:21	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a,b,c \ \text{auf einer Geraden} \ \ \Leftrightarrow \ \ \exists \ \lambda, \mu: \ \lambda (b-a) + \mu (c-a) = 0 \, , \ \lambda^2 + \mu^2 > 1 \end{eqnarray}$ Jetzt multipliziere aus und ordne nach $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ . Eigentlich ist es nur eine Umbenennung.
10.05.2010, 00:09	Karna	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber warum gilt denn schon diese erste Äquivalenz und was besagt sie? Wie kann ich mir das vorstellen?
10.05.2010, 21:29	Karna	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich versteh es leider immernoch nicht!?
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12.05.2010, 23:44	Karna	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß einfach nicht, wie ich daran gehen sollte, kann nicht noch einmal jemand bitte versuchen mir das zu erklären!!??
13.05.2010, 13:20	Karna	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaah...mir ist gerade ein Licht aufgegangen - ich habe die Lösung jetzt, wenn ich die erste Äquivalenz verstehenn würde, warum können wir davon ausgehen, dass das gleich Null ist und warum die Ungleichung mit dem <1, woher kommt die?!
13.05.2010, 13:28	Karna	Auf diesen Beitrag antworten »
Egal - habs kapiert - danke!

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