Integral X * e^x^2

10.05.2010, 19:04

Kalakala

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Integral X * e^x^2

Hallo!

Ich stehe ein wenig auf dem Schlauch! Ich habe hier diese Aufgabe:

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

Integral von -2 bis 2 von folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} x * e^x \end{eqnarray*}$ ²

Ich habe sogar eine komplette Lösung zu dieser Aufgabe, aber selbst damit verstehe ich die Aufgabe nicht.
Kann mir vielleicht jemand zeigen, wie sie/er die Aufgabe lösen würde? Vielleicht verstehe ich es dann.

Als Ergebnis kommt übrigens 0 raus ...

10.05.2010, 19:17

AD

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E: Integral X * e^x^2
$\begin{eqnarray*} \int\limits_{-a}^a ~ f(x) ~ \dd x = 0 \end{eqnarray*}$

gilt für jede ungerade Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , sofern sie auf diesem Integral überhaupt Riemannintegrierbar ist - was für eine stetige Funktion wie das vorliegende $\begin{eqnarray*} f(x) = xe^{x^2} \end{eqnarray*}$ ja der Fall ist. Da kann man sich dann auch die Suche nach der Stammfunktion sparen, obwohl das hier über eine naheliegende Substitution auch kein Problem wäre.

10.05.2010, 19:20

Physinetz

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meinst du als Substitution x²=u zum Beispiel?

10.05.2010, 19:20

AD

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Ja.

10.05.2010, 20:04

Physinetz

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dann muss man ja über den ln gehen und Produktregel anwenden, richtig? mehr will ich nicht wissen ^^ wollte nur mal überprüfen ob ich das noch kann

10.05.2010, 20:12

Mulder

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Zitat:

Original von Physinetz
dann muss man ja über den ln gehen und Produktregel anwenden, richtig?

Nein, falscher geht's nicht.

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10.05.2010, 20:28

Physinetz

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oooh, ja dann verrat mir doch wie dann^^

10.05.2010, 20:30

Stefan03

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Was wäre denn dein Vorschlag? Ich würde 2 Mal Substituieren...

10.05.2010, 21:07

Mulder

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Zitat:

Original von Physinetz
oooh, ja dann verrat mir doch wie dann

Indem man substituiert. Diese Idee war ja durchaus richtig. Nur deine weiteren Ausführungen...

Zitat:

Original von Physinetz
dann muss man ja über den ln gehen und Produktregel anwenden

...hatten mit der weiteren Vorgehensweise nichts zu tun. Du hättest genauso gut "Elefant" schreiben können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie sieht das Integral denn aus, wenn du bei

$\begin{eqnarray*} \int x\cdot e^{x^2} \, \dx \end{eqnarray*}$

die von dir vorgeschlagene Substitution durchführst?

10.05.2010, 21:20

Kalakala

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Also da hört es bei mir schon auf! geschockt

geschockt

Was ist denn davon die äußere und welche die innere Funktion?
Wenn ich das weiß, dann krieg ich es vielleicht hin! traurig

traurig

10.05.2010, 22:02

Mulder

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Zitat:

Original von Kalakala
Was ist denn davon die äußere und welche die innere Funktion?

Beim zweiten Term ist die e-Funktion die äußere Funktion und der Exponent (also x²) die innere Funktion, wenn dir das hilft.

10.05.2010, 22:09

Physinetz

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hups mit ln habe ich mich wohl vertan seh ich grad

die Substitution ist dann:

$\begin{eqnarray*} \int \sqrt{u} \cdot e^{u} \, \dx \end{eqnarray*}$

hinten muss eben dann "du" stehen anstatt "dx"

ok dann nun aber Produktregel:

$\begin{eqnarray*} F(x)=\left[e^u*u^{\frac{1}{2} }+e^u*\frac{1}{2\sqrt{u} } \right]_{}^{} \end{eqnarray*}$

besser?Nun noch resubstituieren...

10.05.2010, 22:14

Mulder

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Ehrlich gesagt: Das ist eine Katastrophe, was du da schreibst. Erstmal hast du falsch substituiert. Du hast völlig vernachlässigt, dass das dx auch mitsubstituiert werden muss. Zum zweiten hat die Produktregel nichts mit Integrieren zu tun. Das ist eine Differentiationsregel. Vielleicht meinst du wohl eher partielle Integration. Diese ist in gewisser Weise die Umkehrung der Produktregel, aber man sollte die Begriffe eben schon richtig zuordnen können. Und zur Krönung hast du die partielle Integration dann auch noch falsch gemacht. Aber dein Zwischenresultat nach dem Substituieren war ohnehin schon Unfug. Hier braucht man nirgends partielle Integration, wenn man es richtig macht.

10.05.2010, 22:23

Kalakala

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Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Kalakala
Was ist denn davon die äußere und welche die innere Funktion?

Beim zweiten Term ist die e-Funktion die äußere Funktion und der Exponent (also x²) die innere Funktion, wenn dir das hilft.

Wäre es dann:

$\begin{eqnarray*} \int x\cdot e^{x^2} \, \dx \end{eqnarray*}$ ................... x² = u

$\begin{eqnarray*} \int x\cdot e^u \, \dx \end{eqnarray*}$ ................ du/dx = 2x => dx = du/2x

=> $\begin{eqnarray*} \int x\cdot e^u \, \end{eqnarray*}$ (du/2x)

Stimmt das soweit??? Und wenn ja, was muss ich jetzt machen?

10.05.2010, 22:25

Mulder

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Zitat:

Original von Kalakala
Stimmt das soweit??? Und wenn ja, was muss ich jetzt machen?

Das ist in Ordnung, ja. Jetzt noch kürzen (sieh mal genau hin) und dann kannst du integrieren.

10.05.2010, 22:34

Kalakala

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Also ich könnte jetzt x kürzen, dann ergäbe das

$\begin{eqnarray*} \int e^u \, \end{eqnarray*}$ (du/x)

Nur wie bringt mich das weiter? verwirrt

verwirrt

10.05.2010, 22:38

Mulder

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Immer wieder faszinierend. Wenn Schüler sich mit Oberstufenmathematik beschäftigen müssen, können sie auf einmal die Sachen aus der Grundschule nicht mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2x} \end{eqnarray*}$ ergibt gekürzt ganz bestimmt nicht $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$

10.05.2010, 22:42

Physinetz

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Zitat:

Ehrlich gesagt: Das ist eine Katastrophe, was du da schreibst.

Haha genial :-D

10.05.2010, 22:50

Kalakala

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Zitat:

Original von Mulder
Immer wieder faszinierend. Wenn Schüler sich mit Oberstufenmathematik beschäftigen müssen, können sie auf einmal die Sachen aus der Grundschule nicht mehr. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{2x} \end{eqnarray*}$ ergibt gekürzt ganz bestimmt nicht $\begin{eqnarray*} \frac 1x \end{eqnarray*}$

hoppsala

Hammer

Also:

$\begin{eqnarray*} \int 0,5\cdot e^u \, \end{eqnarray*}$ du

Und daraus dann? Ich bin jetzt total verwirrt ...
e^u integrieren?

10.05.2010, 22:53

Mulder

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Den konstanten Vorfaktor kann man ja erst mal vor das Integral ziehen.

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \int e^u \, \dd u \end{eqnarray*}$

Und ja, das nun einfach integrieren. Das ist ein Grundintegral, das weiß man einfach. Anschließend rücksubstituieren und du hast eine Stammfunktion gefunden.

10.05.2010, 23:05

Kalakala

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Ahh ... dann also:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \int e^u \, \dd u \end{eqnarray*}$
F = $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \ e^u \, \dd u \end{eqnarray*}$ ......( weil e^u ja e^u bleibt)

= $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \ e^{x^2} \, \dd u \end{eqnarray*}$ ...... u = x^2
= $\begin{eqnarray*} \frac {1}{2} \ e^{x^2} * 2x \end{eqnarray*}$ ........ denn du = Ableitung von x^2

???

10.05.2010, 23:14

Mulder

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Ist das denn das allererste Integral überhaupt, das du lösen musst? Eine Stammfunktion ist einfach nur

$\begin{eqnarray*} F(x) =\frac {1}{2} \ e^u \end{eqnarray*}$

Da muss doch das du nicht mehr dahinter geschrieben werden. Das du ist das Differential. Das gibt an, über welche Variable integriert wird (in diesem Fall eben über u). Sonst nichts. Nach dem Integrieren verschwindet das natürlich.

Jetzt rücksubstituieren, das solltest du schaffen. Und dann bist du fertig.

10.05.2010, 23:26

Kalakala

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Zitat:

Original von Mulder
Ist das denn das allererste Integral überhaupt, das du lösen musst? Eine Stammfunktion ist einfach nur

$\begin{eqnarray*} F(x) =\frac {1}{2} \ e^u \end{eqnarray*}$

Da muss doch das du nicht mehr dahinter geschrieben werden. Das du ist das Differential. Das gibt an, über welche Variable integriert wird (in diesem Fall eben über u). Sonst nichts. Nach dem Integrieren verschwindet das natürlich. Klaro !!!l

Jetzt rücksubstituieren, das solltest du schaffen. Und dann bist du fertig.

Naja da muss ich dann doch nur noch für das u ein x² einsetzen oder nicht?
$\begin{eqnarray*} F(x) =\frac {1}{2} \ e^{x^2} \end{eqnarray*}$

10.05.2010, 23:28

Mulder

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Ganz genau, das ist schon alles.

10.05.2010, 23:36

Kalakala

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Zitat:

Original von Mulder
Ganz genau, das ist schon alles.

"schon"

Big Laugh

Und jetzt rechne ich das bestimmte Integral von -2 bis 2 einfach aus indem ich diese Grenzen dort einsetze ( F(b) - F(a) )
Und da kommt dann natürlich 0 raus!!!

Mensch ich danke dir vielmals! Ich habe den ganzen Tag versucht die Lösung, die ich hier vor mir liegen habe zu verstehen, aber dein Rechenweg ist um vieles einfacher!!
Und ich werde das auch so in der Klausur anwenden!!!

Vielen, vielen, vielen Dank!!!!

10.05.2010, 23:39

Mulder

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Eine Anmerkung noch: bei einem bestimmten Integral (also bei einem, bei dem du Grenzen gegeben hast, wie hier) kannst du natürlich auch die Grenzen mitsubstituieren. Wenn du das machst, musst du nach dem Integrieren nicht mehr rücksubstituieren. Wir haben es hier nun anders gemacht: Wir haben die Grenzen erstmal beiseite gelegt und das unbestimmte Integral betrachtet. Das haben wir bestimmt und anschließend rücksubstituiert und dann mit den alten Grenzen das Ganze zuende gerechnet. Beide Vorgehensweisen sind in Ordnung, sie führen zum gleichen Ergebnis. Wofür du dich (auch in der Klausur) entscheidest, ist dir überlassen.

Wenn deine Lösung von dem Weg, den wir hier eingeschlagen haben, abweicht, dann werden in der Lösung wohl die Grenzen mitsubstituiert worden sein. Wie gesagt: Geht natürlich auch.

10.05.2010, 23:48

Kalakala

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Ahh .. Mensch jetzt hab ich das auch verstanden!
Jetzt ergibt das Ganze auch einen Sinn! ... Mathe ist ja doch logisch! Gott

Gott

Jetzt mal Scherz bei Seite: Ohne deine Hilfe wäre ich echt aufgeschmissen gewesen!
Ich weiß gar nicht wie ich dir danken soll!!!

10.05.2010, 23:53

Mulder

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RE: Integral X * e^x^2
Schon gut. Schön, wenn's dadurch etwas klarer geworden ist. smile

smile

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