Dreieicksproblem

29.10.2006, 10:00	mandarine_1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreieicksproblem Hallo Leute. Ich hab da ein Problem mit einer Aufgabe, aber vielleicht stehe ich enfach nur auf dem Schlauch. Zur Aufgabe: Ich hab drei gleichseitige Dreiecke OAuBu in der komplexen Zahlenebene, die einen gemeinsamen Punkt im Ursprung haben. M1 ist Mittelpunkt von B1A2, M2 von B2A3 und M3 von B3A1. Ich muss nun zeigen, dass M1M2M3 auch gleichseitig ist. Hab das Ding mal gezeichnet und es ist gleichseitig. Ebenso han ich mal die Vektoren M1, M2, M3 und m1, m2, m3 aufgestellt. Und jetzt häng ich. Kann mir da einer helfen?
29.10.2006, 10:12	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab mal vor ca. 1.5 Jahren eine ähnliche Aufgabe gelöst. Bin mir nicht mehr ganz sicher: Wenn du die Punkte $\begin{eqnarray} A_uB_u \end{eqnarray}$ als Eckpunkte hast dann kannst du diese ja gerade als Vektoren in der komplexen Ebene darstellen (sie haben ja alle eine Kante zum Nullpunkt, der gemeinsamer Eckpunkt ist). Durch diese Vektoren kannst du dann die Vektoren für $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ ausdrücken. Und dann kannst du die Vektoren der $\begin{eqnarray} M_i \end{eqnarray}$ vergleichen und musst nur für alle 3 Paare testen, ob sie einen 60° Winkel einschliessen. Klingt jetzt kompliziert, aber eigentlich ists gar nicht so schwierig. Auch das mit den 60 Grad ist nicht so schwer, denn eine Drehung um 60 Grad eines Vektors in der komplexen Ebene ist eine Multiplikation (korrigiert mich, wenn ich hier einen falschen Wert angebe) mit $\begin{eqnarray} \frac{i}{3} \end{eqnarray}$ . Hoffe, ich konnte dir etwas helfen. Ansonsten frag und ich werd versuchen etwas mehr ins Detail zu gehen.
29.10.2006, 15:50	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschoben (eindeutig Geometrie)
29.10.2006, 19:38	mandarine_1985	Auf diesen Beitrag antworten »
bisher richtig? hab die Vektoren alle schon ausgerechnet: au und bu sind x + iy das ist soweit klar. Dann: M1 = 0.5 (a2 + b1) usw. m1 = M1 - M2 = 0.5 (a2 - a3 + b1 - b2) m2 = 0.5 (a3 - a1 + b2 - b3) und m3 = 0.5 (a1 - a2 + b3 - b1)
29.10.2006, 19:44	mandarine_1985	Auf diesen Beitrag antworten »
das mit $\begin{eqnarray} \frac{i}{3} \end{eqnarray}$ ich dachte das wäre $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{3} \end{eqnarray}$ .
29.10.2006, 20:04	mandarine_1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab da ein Verständnisproblem bei dem Winkelbeweis. Es gilt ja: cos( $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ )= (\|\| M1M2\|\|) / (\|\|M1\|\| \|\|M2\|\|) Wenn das in der komplexen Ebebe nicht gilt. Kann mir da einer die richtige Formel nennen?
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29.10.2006, 23:44	Steve_FL	Auf diesen Beitrag antworten »
dochdoch, diese Formel gilt in der komplexen Ebene auch. Aber es geht hier auch anders. Du musst ja nur rausfinden, ob der eine Vektor multipliziert mit den 60° in den anderen übergeht. Und es ist nicht i/3, da hab ich Mist erzählt. Es müsste folgendes sein (was ich jetzt versuche etwas herzuleiten. Falls es falsch ist, bitte ich um Korrektur): $\begin{eqnarray} i \ldots 90° \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i^2 = -1 \ldots 180° \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i^3 = -i \ldots 270° \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i^4 = 1 \ldots 300° \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} i^{\frac{2}{3}} \ldots 60° \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} i^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{-1} \end{eqnarray}$ . Lösungen davon sind Die 3 dritten Wurzeln von -1 sind: -1 $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray}$ eine Drehung um 60 Grad lässt sich also durch eine Multiplikation mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \end{eqnarray}$ ausdrücken. war das verständlich?
30.10.2006, 06:16	mandarine_1985	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, danke

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