Hauptachsentransformation (HAT)

10.05.2010, 21:40

axiom_09

Hauptachsentransformation (HAT)

Hallo, könnte mir vielleicht jemand bei der folgenden Aufgabe behilflich sein. Ich selber bin neu beim Thema "HAT" und deshalb wäre es nett, wenn mir jemand helfen könnte.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Gegeben ist die Ellipsengleichung mit gemischtem Term $\begin{eqnarray*} 4 x^2 + 4y^2 - 4xy - 6 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Substituieren Sie $\begin{eqnarray*} x = u cos(\alpha) - v sin(\alpha) ; y = u sin(\alpha) + v cos(\alpha) \end{eqnarray*}$ und wähle $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ so, dass in $\begin{eqnarray*} u, v \end{eqnarray*}$ Koordinaten eine Ellipse ohne gemischten Term entsteht. Geben Sie die Ellipsengleichung in $\begin{eqnarray*} u, v \end{eqnarray*}$ sowie die entsprechende Drehmatrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ an.

Substituition habe ich schon durchgeführt, aber weiss nicht wie ich danach fortfahren soll.

Müsste ich den hier zuerst die Gleichung in Matrixform umschreiben, um dann die Eigenwerte und Eigenvektoren zu bestimmen? Anschließend dann die Matrix diagonalisieren, um $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ danach ermitteln zu können.

MfG
axiom_09

11.05.2010, 10:07

Ehos

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In Matrixform lautet deine Ellipse

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$

Hätte diese Ellipse bereits Normalform, würden keine Nichtdiagonalelemente -2 auftreten. Dann lägen die kleine bzw. große Hauptachse der Ellipse genau auf der x- bzw. y-Achse des Koordinatensystems. Das Vorhandensein von Nichtdiagonalelementen -2 deutet jedoch darauf hin, dass die obige Ellipse gegenüber dem Koordinatensystem verdreht ist.

Man sucht also eine Drehmatrix C, um die Ellipse wieder auf Normalform zurück zu drehen, damit die Nichtdiagonalelemente -2 verschwinden. Zu diesem Zwecke führen wir per Substitution neue, "gedrehte Koordinaten" ein, welche wir mit einem Strich kennzeichnen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end {pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\phi) & \sin(\phi) \\ -\sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in die Ellipsengleichung liefert

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \underbrace{\begin{pmatrix} \cos(\phi) & -\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos(\phi) & \sin(\phi) \\ -\sin(\phi) & \cos(\phi) \end{pmatrix}}_{neue Matrix A'=C^TAC}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$

Wir fordern jetzt, dass die neue Matrix A' diagonal sein soll. Multipliziere also die Matrix $\begin{eqnarray*} A'=C^TAC \end{eqnarray*}$ einfach aus und stelle die Forderung

$\begin{eqnarray*} A'_{12}=A_{21}=0 \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich der Drehwinkel phi.

11.05.2010, 13:19

axiom_09

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Hallo, Vielen Dank erstmal für die aufschlussreiche Antwort.

Wäre denn die Rechnung für $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ denn so richtig:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 cos^2(\alpha) + 2sin(\alpha)cos(\alpha) & 2sin(\alpha)cos(\alpha) + 4sin^2(\alpha) \\ 4sin^2(\alpha)-2sin(\alpha)cos(\alpha) & -2sin(\alpha)cos(\alpha)+4cos^2(\alpha) \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} -6 = 0 \end{eqnarray*}$

Ausserdem weiss ich jetzt leider direkt auch nicht wie ich jetzt den Winkel ermitteln soll.

MfG
axiom_09

11.05.2010, 15:02

axiom_09

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Könnte mir vielleicht jemand hierbei behilflich sein?

MfG
axiom_09

11.05.2010, 16:31

Reksilat

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Echt prima! Dein Beitrag stand an fünfter Stelle in der Uni-Algebra und war drauf und dran in Vergessenheit zu geraten. Da muss man natürlich sofort pushen. unglücklich

Dein Rechnung für $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ ist übrigens falsch!
Es ist zum Beispiel: $\begin{eqnarray*} A'_{11}=4\cos(\alpha)^2+4\cos(\alpha)\sin(\alpha)+4\sin(\alpha)^2 \end{eqnarray*}$
Versuch das mal nachzuvollziehen, dann kannst Du die anderen Einträge auch ausrechnen.
Wenn Du es nicht hinbekommst, dann poste die Zwischenrechnungen.

Und die Frage nach dem Weitermachen hättest Du Dir auch sparen können. Wie Ehos oben geschrieben hat, ist das Ziel doch:
$\begin{eqnarray*} A'_{12}=A'_{21}=0 \end{eqnarray*}$
Wenn Du die Form für $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ hast, wo liegt da das Problem?

Gruß,
Reksilat.

11.05.2010, 17:36

axiom_09

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Hallo, ich wollte kein Druck machen. Sorry falls ich Missverständnisse erweckt habe.

Ausserdem, ja habe die Matrizenprodukte falsch gerechnet.

Für $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} A' = \begin{pmatrix} (2(sin(\alpha)+cos(\alpha))^2 & 2(sin^2(\alpha)-cos^2(\alpha)) \\ 2(sin^2(\alpha)-cos^2(\alpha)) & (2(sin^2(\alpha)-cos(\alpha))^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was jetzt den Winkel angeht, so müsste ich ja noch die beiden Vektoren mit x' und y' dazu multiplizieren. Die Frage ist ja dann, was mache ich denn mit den beiden Variablen in der Gleichung?

MfG
axiom_09

11.05.2010, 17:50

Reksilat

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Das Ziel ist:
$\begin{eqnarray*} A'_{12}=A'_{21}=0 \end{eqnarray*}$
damit A' zur Diagonalmatrix wird.

Deutlicher kann ich es nicht sagen, was zu tun ist. Suche $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ so, dass die Bedingung oben erfüllt ist.

btw.: Die Matrix A' sieht jetzt immerhin besser aus. smile

Gruß,
Reksilat.

11.05.2010, 17:58

axiom_09

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Meinst du etwa mit $\begin{eqnarray*} \alpha = 90° \end{eqnarray*}$ , da

=> $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4x^2 & 2y^2 \\ 2x^2 & 4y^2 \end{pmatrix} = 6<br /> \end{eqnarray*}$

11.05.2010, 18:03

Reksilat

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Wo kommen denn plötzlich x und y her? In Deiner Matrix A' stehen diese Variablen nicht. Ehe Du hier wild rumrätselst, sage lieber genau, was Du an den Ausführungen von Ehos und mir nicht verstehst. Du sollst kapieren, was wir hier tippen und nicht zufällig aufs richtige Ergebnis kommen.

Btw.: Folgendes war oben nicht ganz richtig:

Zitat:

Original von Ehos
In Matrixform lautet deine Ellipse
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$

Es muss heißen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$

Gruß,
Reksilat.
Vorerst ab.

11.05.2010, 18:13

axiom_09

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Ich hatte die Vektoren mit x' und y' hineinmultipliziert gehabt.
Wenn ich also den Winkel 90° wähle dann stimmen die Vorzeichen bei 2 nicht.

sin(90°) = 1 ; cos(90°) = 0.

11.05.2010, 19:41

axiom_09

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Könnte mir bitte jemand sagen, wie sich der Winkel alpha ausrechnen lässt? Da muss ja bzgl. Spur der Hauptdiagonalelemente der Drehmatrix addiert werden.
Ich komme irgendwie nicht auf ein sinnvolles Ergebnis.

Sp(C) = 2 cos(alpha) und dann...?

11.05.2010, 20:32

Reksilat

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Himmelherrgottnochmal! böse

Da steht eine Matrix $\begin{eqnarray*} A' \end{eqnarray*}$ - die Einträge oberhalb und unterhalb der Diagonale sollen Null sein.
Also schreibt man das hin, was an der Stelle $\begin{eqnarray*} A'_{12} \end{eqnarray*}$ steht und dahinter "...=0"
Das gleiche macht man mit der Stelle $\begin{eqnarray*} A'_{21} \end{eqnarray*}$
Dann sucht men eine Lösung für diese beiden Gleichungen.

Hier ist noch mal die Matrix:
$\begin{eqnarray*} A' = \begin{pmatrix} (2(sin(\alpha)+cos(\alpha))^2 & 2(sin^2(\alpha)-cos^2(\alpha)) \\ 2(sin^2(\alpha)-cos^2(\alpha)) & (2(sin^2(\alpha)-cos(\alpha))^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Schreib bitte wenigstens mal die Gleichungen hin, damit wir überhaupt vorwärts kommen. Die Spur ist hier völlig nebensächlich.

11.05.2010, 21:04

axiom_09

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Ok.

1. Gleichung: $\begin{eqnarray*} 2sin^2(\alpha)-2cos^2(\alpha) = 0 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} tan^2(\alpha) = 1 \to \alpha = 45° \end{eqnarray*}$

D.h. die Ellipse wurde im 1. Quadranten um den Winkel alpha gedreht.

Sorry, ich habe den Ansatz missverstanden gehabt, jetzt weiss ich was du meintest. Ist ja auch klar Diagonalmatrix. Hammer

Vielen Dank für die Mühe und Antworten.

MfG
axiom_09

12.05.2010, 02:37

Aucheinefrage

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Zitat:

Original von Ehos
In Matrixform lautet deine Ellipse

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$

Blöde Frage. Wie kommt man darauf? Zumal man, wenn das links vom Gleichheitszeichen 3 Matrizen sind, die 1. und 2. gar nicht multiplizieren kann? verwirrt

12.05.2010, 07:37

jester.

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Zitat:

Original von Aucheinefrage

Zitat:

Original von Ehos
In Matrixform lautet deine Ellipse

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$

Blöde Frage. Wie kommt man darauf? Zumal man, wenn das links vom Gleichheitszeichen 3 Matrizen sind, die 1. und 2. gar nicht multiplizieren kann? verwirrt

Gemeint ist natürlich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=6 \end{eqnarray*}$

Für diese Darstellung schreibt man die Koeffizienten der quadratischen Terme auf die Diagonale, die Koeffizienten der gemischten Terme werden jeweils zur Hälfte auf die Positionen neben den Diagonalen geschrieben; und zwar genau so, dass beispielsweise der Eintrag zu xy auf die Positionen $\begin{eqnarray*} A_{1,2},A_{2,1} \end{eqnarray*}$ aufgeteilt wird.

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