Beweis endliche abelsche Gruppe mit neutralem Element e...

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11.05.2010, 16:28	Wraith720	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis endliche abelsche Gruppe mit neutralem Element e... Moin moin ihr Leute, Kann mir bitte jemand bei folgendem Beweis unter die Arme greifen? Aufgabe: $\begin{eqnarray} (H,\cdot) \end{eqnarray}$ sei eine endliche abelsche Gruppe mit neutralem Element e. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \prod_{a\in H} a^2=e \end{eqnarray}$ gilt. Danke schon mal im Voraus!!! SG Wraith
11.05.2010, 16:33	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis endliche abelsche Gruppe mit neutralem Element e... Tipp: Zu jedem Element $\begin{eqnarray} a\in H \end{eqnarray}$ existiert ein (nicht notwendigerweise verschiedenes) Inverses $\begin{eqnarray} a^{-1}\in H \end{eqnarray}$ Gruß, Reksilat.
11.05.2010, 16:43	Wraith720	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis endliche abelsche Gruppe mit neutralem Element e... Ja, das hab ich mir auch schon gedacht, aber ich komm trotzdem nicht weiter... Ich komm einfach nicht drauf wie man dann auf $\begin{eqnarray} \prod_{a\in H} a^2=e \end{eqnarray}$ kommen soll... SG Wraith
11.05.2010, 16:52	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis endliche abelsche Gruppe mit neutralem Element e... Nimm Dir mal als Beispiel eine Gruppe G mit drei Elementen. $\begin{eqnarray} G=\langle a\rangle=\{e,a,a^2\} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} a^3=e \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} a^{-1}=a^2 \end{eqnarray}$ . Nun betrachte mal das Produkt. Stimmt die Rechnung? Kann man das verallgemeinern?
11.05.2010, 16:57	Wraith720	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man bestimmt verallgemeinern, aber ich weiß beim besten Willen nicht wie...
11.05.2010, 17:06	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte vielleicht erst mal $\begin{eqnarray} \prod_{a\in H}a \end{eqnarray}$ , also ohne das Quadrat. Für Gruppen ungerader Ordnung wird das nämlich auch schon zur eins. Schau Dir da vielleicht auch noch mal das Beispiel einer zyklischen Gruppe der Ordnung 5 oder 7 an.
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11.05.2010, 18:03	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde die Gruppenelemente in zwei Klassen einteilen: - solche, die zu sich selbst invers sind: für die ist $\begin{eqnarray} a^2 = e \end{eqnarray}$ - solche, die nicht zu sich selbst invers sind: Sind $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ solche und invers zueinander, was ist dann mit $\begin{eqnarray} a^2 b^2 \end{eqnarray}$ ?
11.05.2010, 18:16	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kann natürlich die Grundidee einfach hinschreiben und dem Fragesteller (welcher noch keine eigene Idee angebracht hat, aber trotzdem immer sofort schwuppdiwupp "Keine Ahnung" posten konnte) den banalen Rest überlassen. Ich bin vorerst bedient!
11.05.2010, 19:20	Wraith720	Auf diesen Beitrag antworten »
So Leute, danke für eure Hilfe! Ich denke ich hab es jetzt... Stand einfach ein wenig auf dem Schlauch. Nach 6 Stunden Vorlesung am Stück ist das bestimmt auch mal gestattet, oder? Der entscheidende Tipp war übrigens der hier: "Nimm Dir mal als Beispiel eine Gruppe G mit drei Elementen. $\begin{eqnarray} G=\langle a\rangle=\{e,a,a^2\} \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} a^3=e \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} a^{-1}=a^2 \end{eqnarray}$ ." Danke dafür lieber Reksilat! Und nicht böse sein ;-) SG
11.05.2010, 20:28	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
War da auch nur grad gestresst und hätte vielleicht auch die Finger von der Tastatur lassen können. Sorry, Leopold. @Wraith: Die meisten Tipps hier benötigen eben auch eine gewisse Zeit. Wenn der Fragesteller nach fünf Minuten gleich antwortet, ohne das sacken zu lassen, dann ist man als Helfer eben manchmal etwas genervt. Nichts für ungut. Gruß, Reksilat.

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