Operatornorm berechnen

11.05.2010, 18:23	hydendyden	Auf diesen Beitrag antworten »
Operatornorm berechnen Hallo, zu berechnen ist die Operatornorm der linearen Abbildung $\begin{eqnarray} (x,y,z) \mapsto (3y,7z,9x) \end{eqnarray}$ bezüglich der Euklidischen Norm. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich alles richtig gemacht habe. $\begin{eqnarray} \left\Vert f \right\Vert=sup\{\left\Vert f(x) \right\Vert \| \left\Vert x \right\Vert=1\} \end{eqnarray}$ . Es gilt also: $\begin{eqnarray} x^2+y^2+z^2=1 \Rightarrow z^2=1-x^2-y^2 und \|x\|,\|y\|,\|z\| \le1.\\ \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \left\Vert f \right\Vert=sup\{\sqrt{9y^2+49z^2+81x^2}\}=sup\{\sqrt{9y^2+49(1-x^2-y^2)+81x^2}\}=sup\{\sqrt{32x^2-40y^2+49}\}\\ \end{eqnarray}$ Dieser Ausdruck wird maximal für x=1 und y=0. Daraus folgt dann: $\begin{eqnarray} \left\Vert f \right\Vert=\sqrt{32+49}=9\\ \end{eqnarray}$ Ich würd mich freuen wenn mir jemand sagen kann ob mein Vorgehen richtig ist? Gruß hydendyden
12.05.2010, 13:53	hydendyden	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Operatornorm berechnen Kann mir denn niemand sagen, ob ich richtig gerechnet habe?
13.05.2010, 13:17	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre cool wenn einer wüsste ob das richtig ist. Muss nämlich zufällig die gleiche Aufgabe rechnen ;-)
13.05.2010, 14:44	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm 9 ist richtig, dein Vorgehen ist aber leicht fehlerhaft. Wenn überhaupt gilt die Ungleichung $\begin{eqnarray} \\|f\\| = \sup_{\\|x\\| = 1}\sqrt{9y^2 + 49z^2 + 81x^2} \leq \sup_{\|x\| < 1, \|y\| < 1}\sqrt{9y^2 + 49(1 - x^2 - y^2) + 81x^2} \end{eqnarray}$ Ausserdem solltest Du immer dazu schreiben über was Du das Supremum bildest. Im Prinzip könntest Du einfach die Matrixdarstellung der Abbildung bestimmen und dann die üblichen Matrixnormen verwenden (die entsprechend Induzierten). Alternativ, wäre der allgemein Weg zu zeigen das $\begin{eqnarray} \\|fx\\| \leq 9 ~ \forall x ~ \\|x\\| = 1 \end{eqnarray}$ gilt, was trivial ist, und dann ein x mit $\begin{eqnarray} \\|x\\| = 1 \end{eqnarray}$ zu finden so dass $\begin{eqnarray} \\|fx\\| = 9 \end{eqnarray}$ gilt, was auch trivial ist. Dann würde sofort $\begin{eqnarray} \\|f\\| = 9 \end{eqnarray}$ folgen. Beides hast Du implizit gemacht.

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