Konvergenzradius

11.05.2010, 19:32

Nik88

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Konvergenzradius

Ich habe von der Fkt $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{3x-7}{x²-5x+6} \end{eqnarray*}$ erstmal die Taylor-Reihe zum Entwicklungspunkt x_0 = 1 entwickelt:

Da habe ich rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{3}\right)^{n}+\left(\frac{x}{2} \right)^{n} \end{eqnarray*}$

so dann sollten wir die ersten 3 Glieder der Taylorreihe expliziet angeben:

T1 = -1,25
T2 = -2,167
T3 = -6,563

so dannach sollen wir den Konvergenzradius angeben....

habe das einzeln betrachtet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{\left(\frac{x}{3} \right)^{n} }{\left(\frac{x}{3} \right)^{n+1} } |= \frac{x^{n}}{3^{n}}* \frac{3^{n}*3^{1}}{x^{n}*x^{1}} = \frac{3}{x} \end{eqnarray*}$

wenn ich da jez n --> unendlich laufen lasse bringt das ja irgendwie nichts oder?

mfg

Nik

11.05.2010, 19:48

Kühlkiste

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RE: Konvergenzradius
Da passt leider so gut wie gar nichts zusammen.

Das fängt schon damit an, dass die Reihe ja um 1 und nicht um 0 entwickelt werden soll...

12.05.2010, 17:15

Ich_

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Ich bins Nik88....bin an einem anderen PC und habe die Zugangsdaten jez nicht...!

Kann ich das dann nicht einfach verschieben auf K=0.....also sowas in der art:

also mal etwas langsamer...

1. Partialbruch: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{x-3}= \frac{-2}{3-x}= -\frac{2}{3}*\frac{1}{\left(1-\frac{x}{3} \right) }=-\frac{2}{3}\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{3} \right)^{k}-1 \end{eqnarray*}$

2. Partialbruch: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x-2}= \frac{-1}{2-x}= -\frac{1}{2}*\frac{1}{\left(1-\frac{x}{2} \right) }=-\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{2} \right)^{k}-1 \end{eqnarray*}$

ist das bis dahin richtig?

ich würde dann vorne die Brüche auf einen nenner bringen um das ganze zusammenzufassen....

12.05.2010, 17:40

Kühlkiste

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Nochmal: Du sollst laut eigener Angaben um den Punkt 1 in eine Potenzreihe entwickeln!

Die PBZ stimmt schon mal. Betrachte dann:

$\begin{eqnarray*} \frac 1{x-2}=-\frac 1{1-(x-1)}=-\sum_{n=0}^\infty (x-1)^n \end{eqnarray*}$

bzw.:

$\begin{eqnarray*} \frac 2{x-3}=-\frac 1{1-\frac{x-1}2}=-\sum_{n=0}^\infty\left(\frac 12\right)^n(x-1)^n \end{eqnarray*}$

Der Rest sollte nun wirklich kein Problem mehr sein.

12.05.2010, 20:14

Ich_

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$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\sum\limits_{k=0}^\infty \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^{n} \right)\left(x-1\right)^{n} \end{eqnarray*}$

richtig?

Wäre dann
T1 = - (0)
T2 = - (1/2 x + 1/2)
T3 = - (1/4 x² + 1/4)

???

13.05.2010, 09:26

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Ich_
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\sum\limits_{k=0}^\infty \left(1-\left(\frac{1}{2} \right)^{n} \right)\left(x-1\right)^{n} \end{eqnarray*}$

richtig?

Wäre dann
T1 = - (0)
T2 = - (1/2 x + 1/2)
T3 = - (1/4 x² + 1/4)

???

Etwas mehr Konzentration bitte!

Besser wäre:

$\begin{eqnarray*} -\sum_{k=0}^\infty \left(1+\left(\frac 12 \right)^n\right)(x-1)^n= -\sum_{k=0}^\infty \frac{2^n+1}{2^n}(x-1)^n \end{eqnarray*}$

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13.05.2010, 10:16

Ich_

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achso.....

wäre dann
T1= 0
T2 = -3/2 x + 3/2
T3 = -5/4 x² + 5/4

13.05.2010, 10:27

Ich_

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wie gehe ich dann weiter für die bestimmung den konvergenzradius vor?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{\frac{2k+1}{2k}*(x-1)^{k}}{\frac{2(k+1)+1}{2(k+1)}*(x-1)^{k+1} } | = \frac{2k+1}{2k}*(x-1)^{k} * \frac{2k+2}{2k+2+1}*(x-1)^{k+1}=\frac{2k+1}{2k} * \frac{2k+2}{2k+3}*(x-1)^{2k+1} = \frac{k}{k} * \frac{2+\frac{1}{k} }{2} * \frac{2+\frac{2}{k} }{2+\frac{3}{k} }*(x-1)^{2k+1} = 1 * (x-1)^{2k+1} \end{eqnarray*}$

läuft das dann gegen unendlich ?

13.05.2010, 10:53

Ich_

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T1 ist falsch...Sry habe schon wiedr nicht aufgepasst

also T1 = 2x - 2

13.05.2010, 10:55

Ich_

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Zitat:

Original von Ich_
wie gehe ich dann weiter für die bestimmung den konvergenzradius vor?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } | \frac{\frac{2k+1}{2k}*(x-1)^{k}}{\frac{2(k+1)+1}{2(k+1)}*(x-1)^{k+1} } | = \frac{2k+1}{2k}*(x-1)^{k} * \frac{2k+2}{2k+2+1}*(x-1)^{k+1}=\frac{2k+1}{2k} * \frac{2k+2}{2k+3}*(x-1)^{2k+1} = \frac{k}{k} * \frac{2+\frac{1}{k} }{2} * \frac{2+\frac{2}{k} }{2+\frac{3}{k} }*(x-1)^{2k+1} = 1 * (x-1)^{2k+1} \end{eqnarray*}$

läuft das dann gegen unendlich ?

das ist dann auch alles falsch....verdammt ich machs nochmal gerade richtig

13.05.2010, 11:03

Ich_

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also für den konvergenzradius habe ich jez das raus

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{1}{2}\left(x-1\right)^{2k+1} \end{eqnarray*}$

13.05.2010, 11:19

Ich_

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Zitat:

Original von Ich_
T1 ist falsch...Sry habe schon wiedr nicht aufgepasst

also T1 = 2x - 2

T1 = -2x+2

so sollte es stimmen

13.05.2010, 12:56

Kühlkiste

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Oh Mann... unglücklich

unglücklich

Für die ersten drei Summanden ist doch nichts weiter zu tun als:

$\begin{eqnarray*} -\sum_{n=0}^2\frac{2^n+1}{2^n}(x-1)^n \end{eqnarray*}$

mal explizit hinzuschreiben.
(Tipp: Erstmal nix rechnen und wirklich einfach nur hinschreiben.)

Was den Konvergenzradius angeht:
Du solltest, bevor Du mit irgendwelchen Rechnereien anfängst, mal in Deinen Unterlagen oder bei Wikipedia nachschauen wie der definiert ist.

13.05.2010, 14:45

Ich_

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Sowas in der art dann?

$\begin{eqnarray*} -(\left(\frac{2^{0}+1}{2^{0}} \right) * (x-1)^{0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(\left(\frac{2^{1}+1}{2^{1}} \right) * (x-1)^{1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(\left(\frac{2^{2}+1}{2^{2}} \right) * (x-1)^{2}) \end{eqnarray*}$

13.05.2010, 15:03

Ich_

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und zum Konvergenzradius hab ich sowas gefunden....
aber das hatte ich ja auch angewandt...

$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n\rightarrow{\infty}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vert{\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert} \end{eqnarray*}$

13.05.2010, 19:21

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Ich_
Sowas in der art dann?

$\begin{eqnarray*} -(\left(\frac{2^{0}+1}{2^{0}} \right) * (x-1)^{0}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(\left(\frac{2^{1}+1}{2^{1}} \right) * (x-1)^{1}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(\left(\frac{2^{2}+1}{2^{2}} \right) * (x-1)^{2}) \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal richtig. Wenn Du Lust und Laune hast, dann könntest jetzt mal versuchen das Ganze etwas zu vereinfachen.

13.05.2010, 19:27

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Ich_
und zum Konvergenzradius hab ich sowas gefunden....
aber das hatte ich ja auch angewandt...

$\begin{eqnarray*} R=\lim_{n\rightarrow{\infty}} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \vert{\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert} \end{eqnarray*}$

Es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{(2^n+1)2^{n+1}}{2^n(2^{n+1}+1)}=\frac{2^{n+1}+2}{2^{n+1}+1} \end{eqnarray*}$

Ich kann nicht erkennen wo Du das angewendet haben willst.

14.05.2010, 09:02

Ich_

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noch jemand da?

14.05.2010, 09:34

kiste

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Wie wärs wenn du den letzten Tipp von Kühlkiste auch ausführst?

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