Potenzreihe Konvergenz

11.05.2010, 21:04

andshow

Potenzreihe Konvergenz

Ich habe folgendes Problem: Sei $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller Zahlen, x soll aus R sein

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

Nun soll ich alle x bestimmen für die die Reihe in folgenden Fällen konvergiert.

i, Die Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R, a \neq 0 \end{eqnarray*}$
ii Die Folge $\begin{eqnarray*} (n^2a_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb R, a \neq 0 \end{eqnarray*}$
iii) $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ ist eine monoton fallende Nullfolge und für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_n \geq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

zu i) Ist klar folgt fast direkt aus definition mit ugr

zu ii, iii) Steh ich voll am Schlauch

12.05.2010, 02:48

gonnabphd

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Für ii) könnte man mal betrachten:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_nx^n = \sum\limits_{k=1}^\infty (n^2a_n) \frac{x^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

und davon den Konvergenzradius bestimmen. Ein weiterer Hinweis ist auch im Hinweis zu iii) versteckt. Augenzwinkern

Bei iii) gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^n}{n} \leq \sum\limits_{k=1}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ monoton fallende Nullfolge, damit ist $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ insbesondere beschränkt.

Mit der oberen Ungleichung kannst du auf das Verhalten für |x|>1, x=1 schliessen, mit der Beschränkheit für das Verhalten wenn $\begin{eqnarray*} -1<x<1 \end{eqnarray*}$ und mit der monotonen Konvergenz bei x=-1.

Wink

12.05.2010, 07:01

andshow

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zu ii) Den Ansatz von dir hatte ich auch schon im Sinn, aber ich kann ja den Radius nicht berechnen weil ich ja den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ nicht kenne das $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ kürzt sich ja bei der Betrachtung des Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \frac{n^2a_n}{n^2} \end{eqnarray*}$ raus. Also entweder ich hab in letzter Zeit zu viel gerechnet und kapier momentan die einfachsten Dinge nicht...

Nach meiner Interpretation der Angabe sind i) - iii) unterschiedliche Fälle wie kann da in iii) ein Hinweis zu ii) versteckt sein?

12.05.2010, 12:37

gonnabphd

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Zitat:

Nach meiner Interpretation der Angabe sind i) - iii) unterschiedliche Fälle wie kann da in iii) ein Hinweis zu ii) versteckt sein?

In meinem Hinweis zu iii) steht die Lösung zu deinem Problem drin. Ich schlage dir vor, erst iii) zu lösen und dann nochmal ii) zu versuchen.

Und übrigens:

Mit $\begin{eqnarray*} \frac{n^2a_n}{n^2} \end{eqnarray*}$ musst du natürlich etwas anderes anstellen als das Erweiterte gleich wieder zu kürzen... Big Laugh

12.05.2010, 12:43

andshow

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sag bloß ich wende nur l'Hospital für den grenzwert an und der ist dann a?

12.05.2010, 12:47

gonnabphd

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erklär' mir mal welche Voraussetzungen gegeben sein müssen, um l'Hospital anwenden zu können und ob das hier erfüllt ist.

12.05.2010, 13:19

andshow

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ja um den Satz von de l'hospital anwenden zu dürfen muss der Grenzwert von der bauart 0/0 oder unendlich/unendlich sein und ich brauche zweif diffbare funktionen.
Und das hab ich hier ja alles nicht gegeben. Sorry oh man ich glaub ich sollte die Aufgabe vielleicht mit etwas mehr abstand betrachten, aber ich wach immer nachts auf weil ich nicht drauf komm, und das nervt mich ungemein. Der Prof hat gemeint das ist alles ganz einfach, ich solle mich mal ordentlich betrinken dann komm ich drauf. Aber das nagt schon sehr an mir das ichs nicht hinbekomme

12.05.2010, 13:33

gonnabphd

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O.k. mal eine doofe Frage, um dich drauf zu bringen: Kann eine konvergente Folge unbeschränkt sein?

smile

12.05.2010, 13:39

andshow

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Nein natürlich nicht wenn sie konvergent ist dann ist beschränkt und monoton

12.05.2010, 13:59

andshow

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Würde jetzt zur iii) sagen:
Divergent wenn |x|<1 , x=1 (Minorantenkriterium mit Minorante Harmonische Reihe)

12.05.2010, 14:06

andshow

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konvergent für x=-1 nach Leibnitzkriterium

12.05.2010, 19:15

gonnabphd

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Zitat:

Würde jetzt zur iii) sagen:
Divergent wenn |x|>1 , x=1 (Minorantenkriterium mit Minorante Harmonische Reihe)

konvergent für x=-1 nach Leibnitzkriterium

Wäre schonmal richtig. Augenzwinkern

Zitat:

Nein natürlich nicht wenn sie konvergent ist dann ist beschränkt und monoton

Eieiei... Beschränkt muss sie schon sein, aber wieso willst du denn $\begin{eqnarray*} a_n:=\frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ verbieten zu konvergieren? Was hat dir die Folge nur getan, dass du sie so behandelst? unglücklich

(Die Frage nach der Beschränktheit läuft natürlich darauf hinaus, dass man eine schöne Abschätzung nach oben machen kann bei ii) )

Wink

13.05.2010, 14:05

andshow

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So ich werd mir jetzt papier und bleistift schnappen und es nochmal versuche, mir ist auch grad aufgefallen das ich bei der i) auch nen denkfehler drin hab. Naja das positive daran ist ja das ich hoffentlich was lerne dabei

13.05.2010, 16:21

andshow

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Irgendwie habe ich glaub ich ne abneigung gegen die Aufgabe entwickelt ich komm und komm nicht drauf, hab mittlerweile schon drei andere gelöst welche mit Zahlen Ergebnis mit maple überprüft passt. aber bei der hier komm und komm ich nicht drau

13.05.2010, 17:21

gonnabphd

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Na gut, dann geb' ich dir mal die Lösung:

ii)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_nx^n = \sum\limits_{k=1}^\infty (n^2a_n) \frac{x^n}{n^2} \end{eqnarray*}$

Da die Folge $\begin{eqnarray*} n^2a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert, ist sie insbesondere beschränkt. Sei also $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine obere Schränke. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_nx^n = \sum\limits_{k=1}^\infty (n^2a_n) \frac{x^n}{n^2} \leq M \cdot \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Der rechte Term konvergiert für $\begin{eqnarray*} |x| \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Also konvergiert auch die Reihe für diese Werte.

Sei nun $\begin{eqnarray*} x_0>1, \quad fest \end{eqnarray*}$ : Wir betrachten die Folge $\begin{eqnarray*} a_nx_0^n \end{eqnarray*}$ . Wäre diese konvergent mit Grenzwert b, so würde folgen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_0^n}{n^2} = \frac{a_nx_0^n}{a_nn^2} \overset{n \to \infty}{\rightarrow} \frac{b}{a} \end{eqnarray*}$ .

Das kann jedoch nicht sein, da $\begin{eqnarray*} \frac{x_0^n}{n^2} \end{eqnarray*}$ in jedem Falle divergent ist.
Also ist auch $\begin{eqnarray*} a_nx_0^n \end{eqnarray*}$ nicht konvergent und insbesondere keine Nullfolge.

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ divergiert und für $\begin{eqnarray*} |x|\leq 1 \end{eqnarray*}$ konvergiert.

13.05.2010, 18:40

andshow

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oh wow danke,
geht das bei der i) auch so

also $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ beschränkt daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n \leq M \sum\limits_{n=1}^\infty x^n \end{eqnarray*}$

und die rechte seite ist genau dann konvergent für |x| <= 1

für |x|>1 ist die Folge $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ divergent daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} (a_nx^n) \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist daraus folgt das die Reihe divergent ist.

13.05.2010, 19:13

gonnabphd

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Zitat:

und die rechte seite ist genau dann konvergent für |x| < 1

So würde das stimmen.

Ja, die zweite Argumentation funktioniert für |x| >= 1.

(Vielleicht sollte man noch ein bisschen besser rüberbringen, dass das so ist, weil $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist.)

13.05.2010, 19:28

andshow

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Wie sieht mein Lösungsvorschlag jetzt aus hoffe das hat geklappt mit dem pdf anhängen

13.05.2010, 20:08

gonnabphd

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Jo, bis auf ein oder zwei Tippfehler sieht's ganz o.k. aus.

13.05.2010, 20:41

andshow

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ich hoffe doch mal die Tippfehler beziehen sich nur auf die Deutsche sprache zur iii) habe ich jetzt auch was gemacht
aber irgendwie habe ich bei |x|<1 nen hänger habs auch mal angehängt.

14.05.2010, 00:24

gonnabphd

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Bei i) und ii) hast du glaube ich einmal x^2 anstatt x^n geschrieben, das meinte ich mit Tippfehler.

Zu iii) du sagst, du nimmst die harmonische Reihe als Minorante, aber für x < -1 kannst du so nicht argumentieren. Du kannst jedoch einfach diese Abschätzung machen:

$\begin{eqnarray*} \sum a_nx^n \geq \sum \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$

und die rechte Seite divergiert sicher für |x|>1, da der Konvergenzradius höchstens 1 sein kann ** (und ist).

Den Fall |x|<1 kannst du bei den vorhergehenden Aufgaben abschauen!

** das sieht man z.B. an der harmonischen Reihe.

14.05.2010, 12:42

andshow

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Da hast du recht für das Minorantenkriterium genügt ja die Betragsmäßige abschätzung nicht, ich brauche ja echt größer gleich.

aber ist es nicht so, dass bei
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$
der konvergenzradius nicht nur höchstens zwei ist sondern immer zwei nach Euler wurzelkriterium.

14.05.2010, 13:39

andshow

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Ich mein natürlich Euler Quotientenkriterium

14.05.2010, 15:15

gonnabphd

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Ohh... Warte mal

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum a_nx^n \geq \sum \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$

Da hab ich dir nun Mist erzählt... Denn so geht das gar nicht, bzw. diese Ungleichung stimmt nicht unbedingt für negative x.

Am besten argumentierst du wieder, dass für |x|>1 die Folge nicht gegen Null konvergiert...

smile

14.05.2010, 18:39

andshow

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Habs jetzt nochmal überarbeitet und angehät ich denke jetzt sollte es gut sein oder

14.05.2010, 19:05

gonnabphd

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wieso nimmst du denn immernoch die harmonische Reihe als Minorante für negative x < -1??

Das stimmt nicht!

Und auch die andere Abschätzung stimmt nicht ganz. Denn die Folge $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{10}{n} \end{eqnarray*}$ ist eine monoton fallende Nullfolge, aber für beispielsweise x=0.5

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_n \frac{1}{2^n} > 10 > 2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

... unglücklich

lies' dir doch bitte nochmal alle Beiträge durch, bevor du die korrigierte Version postest. Denn auf alle diese Fehler habe ich dich schon (versucht) aufmerksam zu machen.

Und die Lösungen aller Aufgaben, bzw. die Gedankengänge die du machen musst, um sie lösen zu können stehen in diesem Thread.

14.05.2010, 19:43

andshow

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Also ich sehe meinen Fehler nicht ich sag ja

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_nx^n \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty |\frac{x^n}{n}| \geq \sum\limits_{n=1}^\infty \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$

Und das Minorantenkriterium sagt, dass wenn die Summe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty c_n \end{eqnarray*}$
divergent und wenn
$\begin{eqnarray*} |a_n| \geq c_n \end{eqnarray*}$
gilt; dann folgt das die Summe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_n \end{eqnarray*}$
divergent ist.

Oder ist in meiner Überlegung hier schon der Hund begraben. Oder liegt der Fehler darin, dass ich für Minorantenkriterium nicht mit dem Betrag arbeiten darf?

14.05.2010, 21:00

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n} \geq \sum\limits_{n=1}^\infty |\frac{x^n}{n}| \end{eqnarray*}$

Aufgabe: Zeig mir mit einem Gegenbeispiel, dass deine obige Ungleichung Schwachsinn ist.

Zitat:

Und auch die andere Abschätzung stimmt nicht ganz. Denn die Folge $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{10}{n} \end{eqnarray*}$ ist eine monoton fallende Nullfolge, aber für beispielsweise x=0.5

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_n \frac{1}{2^n} > 10 > 2 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$

Das hier bezieht sich auf die andere Abschätzung, die bei dir vorkommt...

15.05.2010, 10:56

andshow

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oh man bin ich blöde da find ich nicht nur 1 Gegenbeispiel das der schwachsinn von mir nicht stimmt sonder unendlich viele.

Tut mir echt leid das ich im großen und ganzen eigentlich nur Schwasin hier schreib hier werden sich auch alle ihren Teil denken die das lesen

15.05.2010, 11:38

andshow

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So den ersten Teil der iii habe ich jetz hinbekommen hab unterschieden zwischen den fällen größer eins und kleiner -1 den fall -1 hatt ich schon jetzt bleiben nur noch die fälle |x|<1

16.05.2010, 00:10

gonnabphd

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Entweder erklär' ich so schlecht oder die Aufgabe liegt dir nicht...

Es fängt bei deiner Lösung schon falsch an:

$\begin{eqnarray*} a_nx^n \geq \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$

Stimmt nur für positive x und gerade n. Die Divergenz auf $\begin{eqnarray*} [1, \infty) \end{eqnarray*}$ hast du dann richtig gezeigt.

Danach zeigst du, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum \frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$ für alle x<-1 divergiert, aber danach machst du die Abschätzung

$\begin{eqnarray*} \sum \frac{x^n}{n} \leq \sum a_nx^n \end{eqnarray*}$

indem du das Linke als Minorante für des Rechte nimmst, das ist jedoch im Allgemeinen nicht unbedingt richtig - wie schon oben angedeutet. Mein Vorschlag:

$\begin{eqnarray*} \text{Für $|x|>1$ ist $|a_nx^n| \geq \frac{|x|^n}{n} \rightarrow \infty$} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} a_nx^n \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge und die Reihe für diese x sicher divergent.

Für x<1 ist die Reihe sogar absolut konvergent, denn es gibt ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} a_n < 1 \quad \forall n>N \end{eqnarray*}$ und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n |x|^n = \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n |x|^n < \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=1}^{\infty} |x|^n \end{eqnarray*}$

16.05.2010, 11:54

andshow

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Ist vielleicht mein Lernstil schon falsch?
Also ich versuche immer die Beweise und so in der Vorlesung nach zu vollziehen, Defis Sätze und wichtige Folgerungen und so schreib ich mir auf Karteikarten und versuchs sie auswendig zu lernen. Sollte ich vielleicht da was ändern, aber deine Lösung ist ja eigentlich wenn mans so sieht recht kurz einleuchtend also super, aber warum komm ich nicht da drauf?

Zitat:

Original von gonnabphd
Tränen

Für x<1 ist die Reihe sogar absolut konvergent, denn es gibt ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} a_n < 1 \quad \forall n>N \end{eqnarray*}$ und daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n |x|^n = \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n |x|^n < \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=1}^{\infty} |x|^n \end{eqnarray*}$

So meinst du das oder
$\begin{eqnarray*} < \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=N+1}^{\infty} |x|^n < \sum_{n=N+1}^{\infty} |x|^n \end{eqnarray*}$
und dann Argumentation über Majorantenkriterium

16.05.2010, 13:47

gonnabphd

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Sach' ma... wiedermal darfst du mir ein Gegenbeispiel für deine Ungleichung geben.

Das

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} a_n |x|^n = \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=N+1}^{\infty} a_n |x|^n < \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=1}^{\infty} |x|^n \end{eqnarray*}$

meine ich genau so, wie es dasteht. Wenn du's noch formaler haben willst:

Sei m>N beliebig, dann

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{m} a_n |x|^n = \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=N+1}^{m} a_n |x|^n < \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=N+1}^{m} |x|^n \end{eqnarray*}$

Damit haben wir durch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{N} a_n |x|^n + \sum_{n=N+1}^{\infty} |x|^n \end{eqnarray*}$ eine obere Schranke für (die monoton wachsende Summe) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{m} a_n |x|^n \end{eqnarray*}$

Also existiert $\begin{eqnarray*} \lim_{m \to \infty} \sum_{n=1}^{m} a_n |x|^n = \sum_{n=1}^{\infty} a_n |x|^n \end{eqnarray*}$

So war das gemeint...

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