[Artikel] Längstmögliche Leiter |
12.05.2010, 20:40 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
[Artikel] Längstmögliche Leiter In das Erdgeschoß einer Halle soll durch das Tor eine möglichst lange Leiter gebracht werden. Das wird erschwert bzw. eingegrenzt durch folgende Gegebenheiten: Das Tor ist 3.20m hoch, seine Breite ist höchstens gleich groß, spielt aber weiter keine Rolle; der Raum hat eine Tiefe von 6.00m, seine Breite ist wie die Torbreite ebenfalls nicht von Belang. Auch ist er höher als die längstmögliche Leiter lang sein kann. [attach]14644[/attach] Es ergibt sich also die vertikale Ebene als einziger Bewegungsspielraum. |
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12.05.2010, 20:50 | Gualtiero | Auf diesen Beitrag antworten » |
[Artikel] RE: Längstmögliche Leiter Allgemeine Überlegung: Die optimale Art, die Leiter in den Raum zu bringen, sieht so aus: die Leiter wird - parallel zur Schnitt-Ebene der Zeichnung - auf den Platz vor dem Tor gelegt. Dann wird das vordere Ende angehoben, bis es bei Punkt P anliegt, und die Leiter in den Raum gezogen, wobei sie einerseits immer an P entlangschleift, und das hintere Ende am Boden entlanggleitet. Nach kurzer Zeit wird sie mit dem vorderen Ende an der Innenwand anstehen, diese aber gerade nur berühren und - wenn sie die richtige Länge hat - sich bei weiterem Ziehen ohne Widerstand an der Rückwand des Raumes aufstellen lassen. Siehe dazu die Skizze. Ergänzung: Um die Aufgabe etwas zu vereinfachen, soll die Stärke der Leiterholme vernachlässigt werden, so dass wir es mit Strecken zu tun haben. Ansatz: Erstellen einer Funktion, die die Menge aller Strecken beschreibt, die folgende Bedingungen erfüllen:
Indem den definierten Bereich durchläuft, werden alle längsten Strecken erzeugt, die möglich sind. Die kürzeste dieser Strecken ist die gesuchte Länge für die Leiter. Die Strecke wird durch Punkt P in zwei Teilstrecken geteilt, für die gilt: Teilstück im Raum: restliches Teilstück: Wir erhalten als Funktion: Zur Ableitung benötigen wir die Quotientenregel: Und als Ableitung bekommen wir: Um sie 0 zu setzen, genügt es, den Zähler zu betrachten: Dritte Wurzel bilden, quadrieren, und mithilfe von substituieren ergibt: und letzlich erhalten wir: Um sicher zu gehen, dass der gefundene Extrempunkt ein Minimum ist, genügt ein Blick auf den Graphen (Winkelmaß Radiant!) . . . oder die Feststellung, dass an dieser Stelle größer als 0 ist. Da der gefundene Winkel im ersten Quadranten liegt, sind alle Sinus- und Cosinus-Werte und auch deren Potenzen positiv, und da kein negatives Vorzeichen vorkommt, muss das Ergebnis positiv sein. Damit ergibt sich als Lösung eine 12.81 m lange Leiter (gerundet). Mit Dank an riwe soll noch eine zweite, schnellere Möglichkeit ab dem Null-Setzen der ersten Ableitung gezeigt werden: Edit: Thalesman hat einen Formfehler entdeckt, den ich hiermit hoffentlich zur Gänze beseitigt habe. Danke für die Mitteilung. |
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