Schnittgerade zweier Ebenen |
| 13.05.2010, 17:25 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Schnittgerade zweier Ebenen ich soll von den Ebenen E1: (0/0/1)x - 3 = 0 und E2: (1/2/-2)x - 4 = 0 die Schnittgerade berechnen. Dazu habe ich zunächst E2 in die Parameterform gebracht, um diese dann in E1 einzusetzen: E2: x = (4/2/2) + r (0/-2/-2) + s (2/-1/0) Nach dem Einsetzen in E1 ergab sich für r = -0.5 Diesen Wert habe ich dann in E2 in Parameterform eingesetzt und erhalte nach dem Vereinfachen des Terms die Schnittgerade= (4/1/1) + s(2/-1/0). Der Richtungsvektor scheint - laut Lösung - zu stimmen. Nur der Stützvektor nicht. Ich vermute, dass ich den Stützvektor der Ebene (4/2/2) falsch gewählt habe. Es ist ja so, dass der Stützvektor orthogonal zum Normalenvektor sein muss. Wenn ich also die -4 aus der Gleichung weglasse, könnte ich z.B. (4/2/3) wählen, aber auch das wäre - laut Lösung - falsch. Die Lösung gibt (10/0/3) an. Vielleicht könnt ihr mir ja helfen! |
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| 13.05.2010, 17:31 | Klingi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
bist du dir sicher das deinen Ebene so angegeben sind? weil ich kenne nur paramterform bzw normalvektorform, das ist aber keine von beiden, muss dazu sagen das ich in der Abiklasse bin, also entweder nie gelernt oder man lernt das erst auf der Uni! lg |
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| 13.05.2010, 17:55 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich bin mir sicher. Das ist die Normalenform, nur eben ausmultipliziert. |
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| 13.05.2010, 18:09 | Klingi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aha jz kenn ich mich aus X( x,y,z) gemeint! okay alles klar hab mir gedacht du rechnest den vektor nur mal koordinate x! aber wenn das wäre: dann hast du keine ebene mehr für e1 sondern eine Gerade weil ja z=3 herauskommt! dann kann es keine schnittgerdae geben! also entweder ich versteh da was ganz und gar nicht oder irgendwas stimmt bei dir nicht! |
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| 13.05.2010, 18:26 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mmm... jetzt bin ich verwirrt. Vielleicht kann sich jemand anderes die Aufgabe auch noch mal anschauen... Ich habe sie so abgeschrieben wie ich sie habe. Komisch. |
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| 13.05.2010, 18:31 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine Umformung zu E2: x = (4/2/2) + r (0/-2/-2) + s (2/-1/0) ist richtig. 
Wenn man weiterrechnet, kommt in der Tat die angegebene Lösung raus. x = (10/0/3) + s(2/-1/0). Vermutlich hast du dich unterwegs irgendwo verrechnet. 
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| 13.05.2010, 18:54 | Klingi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@sulo warum ist eine ebene mit z=3 eine ebene?? bin verwirrt wäre nett wenn ihr mir das erklären könntet! |
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| 13.05.2010, 18:57 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Ortsvektor liegt halt bei (0|0|3). Darf er das nicht?
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| 13.05.2010, 18:57 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das ist mein Problem. Ich verrechne mich immer - bei fast jeder Aufgabe. Ich habe noch mal rüber geguckt und r=0.5 scheint zu stimmen. Ich finde meinen Fehler einfach nicht 
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| 13.05.2010, 18:59 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@chell Tja, dann wird es schwer, dir konkret zu helfen...
Oder möchtest du den ganzen Rechenweg aufschreiben? Ich habe das Ganze mal nur mit den Ebenengleichungen in der Normalenform durchgerechnet (was recht schnell geht wegen der schönen E1) und komme auch auf die Lösung. |
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| 13.05.2010, 19:45 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Welche Methode hast Du denn dafür verwendet? Ich finde dieses "Eine Ebene in die Parameterform bringen und die andere einsetzen" umständlich. LGS möchte ich aber eher vermeiden, da ich das Gauß Verfahren nicht beherrsche... |
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| 13.05.2010, 20:01 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
E1 ergibt schon gleich x3 = 3 Für E2 kann man schreiben: x1 + 2x2 - 2x3 - 4 = 0 x1 + 2x2 - 6 - 4 = 0 x1 + 2x2 = 10 x1 = 10 - 2x2 Jetzt x2 = Lambda (oder eine andere Variable) setzen und weiter ausrechnen.
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| 13.05.2010, 20:03 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
im konkreten fall ist´s einfach, das zu beneutzen, was da steht
damit mit hast du und das als lösung angegebene ergebnis 
oder man wählt und man erkennt, dass viele punkte auf einer geraden liegen. entsprechend viele parameterdarstellung gibt es
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| 13.05.2010, 20:04 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
entschuldige sulo, das hat sich zeitlich parallelisiert
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| 13.05.2010, 20:24 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Macht nix, Werner. Deine Beiträge sind immer erste Sahne und daher gerne gesehen.
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| 13.05.2010, 20:41 | Klingi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eine frage von meiner Seite ich hätte dann x=10-2t ; y=5-t, z=3+0t g: X=(10/5/3)+t(-2/-1/0) wo hab ich mich da verrechnet? |
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| 13.05.2010, 20:50 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mein Ansatz an dieser Stelle ist ein anderer:
Somit habe ich x2 (bzw. y) = lambda (bzw. t) Dann komme ich direkt auf die angegebene Lösung. Ich kann dir leider nicht sagen, wo dein Fehler liegt. Vielleicht weißt riwe mehr?
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| 13.05.2010, 20:55 | Klingi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay alles klar! versteh ich jz! DANKE |
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| 13.05.2010, 22:24 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mich habt ihr jetzt total verloren... Wie ist der Ansatz? Das sieht mir nach der Koordinatenform aus, die haben wir aber glaube ich nur sehr flüchtig behandelt. Könnte mir das jemand noch mal erklären wie genau man auf diese Form kommt und wie sie mir dabei hilft, die Schnittgerade zu bestimmen? |
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| 13.05.2010, 22:38 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich ersetze mal x1 durch x, x2 durch y und x3 durch z
Das ginge dann weiter mit: x = 10 - 2t y = _____t z = 3 Das ergibt die angegebene Lösung x = (10|0|3) + t(-2|1|0)
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| 13.05.2010, 22:58 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Leider habe ich den Ansatz immer noch nicht verstanden. Ich erkenne die Zahlen irgendwie in euren Rechnungen wieder, aber das Prinzip, welches ihr anwendet ist mir völlig fremd gerade.. Wäre super, wenn ihr das vielleicht erläutern könntet. Vielleicht liegt es aber auch daran, dass es fast 11 ist und ich ins Bett gehöre. |
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| 13.05.2010, 23:06 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst E1: (0/0/1)x - 3 = 0 schreiben als: 0*x + 0*y + 1*z -3 = 0 also: z = 3 Und: Du kannst E2: (1/2/-2)x - 4 = 0 schreiben als: 1x + 2y - 2z - 4 = 0 Der Rest steht schon da.
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| 14.05.2010, 11:09 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, also zunächst wird von beiden Ebenen, die hier in Normalenform vorliegen, die Koordinatenform mit Hilfe des Normalenvektors gebildet, richtig? Ganz allgemein gesagt stelle ich nun nach einer Variable einer Ebene um und setze diese in die Koordinatenform der anderen Ebene ein. Ab da verstehe ich das nicht mehr ganz. Zunächst: Warum mache ich das so? Und: Wie hängt das dann mit dem Richtungsvektor der Gerade zusammen? |
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| 14.05.2010, 13:12 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, ich glaube, die Vorgehensweise nun verstanden zu haben. Nur immer diese elenden Rechenfehler: Ich bekomme nun als Richtungsvektor (-1/1/2) raus, x3 stimmt also nicht. Für x3 habe ich 3+2t ausgerechnet, indem ich x1=10-2t (was zu stimmen scheint) in x1+2x2-2x3 =4 eingesetzt habe. War das die richtige Vorgehensweise? EDIT: Oh, ich habe gesehen: x3 ist ja schon ausgerechnet: x3=3 dann bekomme ich auch -2/1/0 für den Richtungsvektor raus. Mal ehrlich: Diese Methode ist doch einfacher, als die Parameterform zu bilden und diese dann in die Normalenform einzusetzen oder wie seht ihr das? |
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| 14.05.2010, 13:37 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da kann ich dir zustimmen. Zumal das Rechnen mit der Parameterform meist fehleranfälliger ist.
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| 14.05.2010, 14:29 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also, ich hab mir noch mal ein Beispiel rausgesucht: x1+2x2+3x3=4 5x1+5x2+5x3=5 Ich bekomme da als Schnittgerade: (-2/3/0)+t(1/-2/1) raus. Die Lösung sagt aber: (-0.5/0/1.5) + t(-0.5/1/-0.5) Jetzt frag ich mich, ob mein Ergebnis trotzdem stimmt... |
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| 14.05.2010, 14:32 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es stimmt nicht, die Geraden sind nicht identisch. |
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| 14.05.2010, 15:16 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verdammt. Meine Richtig-Rechnen-Quote ist echt 0%. Vielleicht zu meinem Rechenweg: Ich hab die erste Gleichung * 5 genommen und dann die II. davon subtrahiert, da kam dann: 5x2+10x3=15 raus. Das durch 5 geteilt: x2+2x3=3 So dann habe ich x3=t gesetzt und für x2 = 3-2t rausbekommen. Anschließend x3 und x2 in die zweite Gleichung eingesetzt und für x1=-2+t rausbekommen. Kann mir vielleicht jemand sagen, wo ungefähr der Fehler sein muss. Der Richtungsvektor scheint ja zu stimmen, oder, denn 1/-2/1 * (-1) = -1/2/-1. |
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| 14.05.2010, 15:26 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh sorry. Ich habe ein Minus übersehen... 
Dein Ergebnis ist vollkommen richtig, deine Gerade und die Lösungsgerade sind identisch.
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| 14.05.2010, 15:28 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
du hast - denke ich keinen fehler gemacht. ich habe dasselbe ergebnis wie du
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| 14.05.2010, 16:41 | chell | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, danke für Eure Hilfe! Warum wir in der Schule mit Parametergleichung bilden und in die Normalengleichung einsetzen rumhantiert haben, ist mir schleierhaft, wenn es auch einfacher geht! |
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| 14.05.2010, 17:45 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@chell Ich habe eine interessante Seite gefunden, die ich dir nicht vorenthalten möchte: Klick.
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