Zeigen in Mengen geschnitten und vereinigt

29.10.2006, 15:21

SilverBullet

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Zeigen in Mengen geschnitten und vereinigt

Habe hier eine Aufgabe bei der ich leider nicht weiß wie ich den Beweis führen soll unglücklich

unglücklich

Aufgabe : Seien A,B,C Teilmengen einer Menge X. Man zeige :

$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz :
Ich habe mir überlegt er einmal zu zeigen was die einzelnen Teile der Aussage überhaupt bedeuten.

Also :

$\begin{eqnarray*} B \cup C = \lbrace x \mid x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = \lbrace x \mid x \in A \land (x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

entsprechend für die rechte Seite der Aussage :

$\begin{eqnarray*} A \cap B = \lbrace x \mid x \in A \land x \in B \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cap C = \lbrace x \mid x \in A \land x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

dann folgt :
$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = \lbrace x \mid x \in A \land (x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

da dies das selbe ist wie oben gilt die Aussage als gezeigt.

Nun meine Frage : Habe ich das so richtig gemacht ? Oder muss ich das anders Zeigen ?

29.10.2006, 16:12

grybl

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RE: Zeigen in Mengen geschnitten und vereinigt
Ich zeige so etwas immer gerne mit einer Zugehörigkeitstafel:

alle möglichen Fälle der Elementzugehörigkeit werden durchgegangen, der behauptete Zusammenhang beteht dann, wenn die Endspalten (grün) überein stimmen.

VENN - Diagramm (Mengendiagramm) wäre auch eine Möglichkeit

29.10.2006, 16:29

SilverBullet

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re
sieht für mich logisch aus. Leider haben wir bisher soetwas noch nicht eingeführt und ich muss mit dem auskommen was wir wissen unglücklich

unglücklich

Ist das was ich oben geschrieben habe also falsch ?

29.10.2006, 16:38

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} A \cap B = \lbrace x \mid x \in A \land x \in B \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cap C = \lbrace x \mid x \in A \land x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

dann folgt :
$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = \lbrace x \mid x \in A \land (x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A\cap (B\cup C) \end{eqnarray*}$ hast du doch schon oben betrachtet. Hier musst du $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup (A\cap C) \end{eqnarray*}$ betrachten!

Gruß MSS

29.10.2006, 16:41

SilverBullet

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RE: Zeigen in Mengen geschnitten und vereinigt
Ohh stimmt Augenzwinkern

Augenzwinkern

hab so mit Latex gekämpft das mir das garnicht augefallen ist.
Hab das nun geändert :
Reicht das so ?

$\begin{eqnarray*} A \cap B = \lbrace x \mid x \in A \land x \in B \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cap C = \lbrace x \mid x \in A \land x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

dann folgt :
$\begin{eqnarray*} (A \cap B) \cup (A \cap C) = \lbrace x \mid x \in A \land (x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

29.10.2006, 16:51

Menelaos

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Ja, aber ich denke du must das Ganze auch noch für den Fall $\begin{eqnarray*} x \in (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$ zeigen.

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29.10.2006, 16:54

SilverBullet

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re
hmm wie mache ich das denn ?

ich dachte mit folgemdem hab ich das getan ?

linke seite:
$\begin{eqnarray*} B \cup C = \lbrace x \mid x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = \lbrace x \mid x \in A \land (x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

entsprechend für die rechte Seite der Aussage :

$\begin{eqnarray*} A \cap B = \lbrace x \mid x \in A \land x \in B \rbrace \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \cap C = \lbrace x \mid x \in A \land x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

dann folgt :
$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = \lbrace x \mid x \in A \land (x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

so, dass gilt :

$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

29.10.2006, 16:58

Mathespezialschüler

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Aber es gilt doch zunächst:

$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup (A\cap C)=\{x\ |\ (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in C)\} \end{eqnarray*}$ .

Du musst also noch zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\Leftrightarrow (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in C) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

29.10.2006, 17:06

SilverBullet

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re
ohh bin davon ausgegangen das dies das selbe ist.... wie kann ich das denn nun zeigen ?

Kann ich sagen aufgrund des Assoziativgesetzes folgt :

$\begin{eqnarray*} x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\Leftrightarrow x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C) \end{eqnarray*}$

29.10.2006, 17:16

Mathespezialschüler

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Hmm, du hast jetzt nur hingeschrieben, dass $\begin{eqnarray*} p\Leftrightarrow p \end{eqnarray*}$ gilt, mit der entsprechenden Aussage $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Das bringt erstmal nicht so viel. Hast du vielleicht etwas anderes gemeint?

Gruß MSS

29.10.2006, 17:18

SilverBullet

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re
maeh leider nicht das war schon so gemeint... Hab leider absolut keine andere Idee wie ich das sonst zeigen kann unglücklich

unglücklich

Oder muss ich auf der rechten Seite x durch y ersetzen ?

29.10.2006, 17:24

Mathespezialschüler

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Im Prinzip gibt es keinen Zwischenschritt beim Zeigen der Äquivalenz. Aber man sollte vielleicht noch dazuschreiben, warum das gilt. Wozu ist denn für bel. Aussagen $\begin{eqnarray*} a\wedge (b\vee c) \end{eqnarray*}$ äquivalent?

Gruß MSS

29.10.2006, 17:31

SilverBullet

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re
Hmm das müsste doch so sein :

$\begin{eqnarray*} a \wedge (b\vee c) \Leftrightarrow (a \land b) \lor (a \land c) \end{eqnarray*}$

29.10.2006, 17:33

Mathespezialschüler

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Genau! Damit bist du im Prinzip fertig. Jetzt solltest du das Ganze nochmal ordentlich auf dein Blatt schreiben.

Gruß MSS

29.10.2006, 17:54

SilverBullet

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re
Oh yee... Also ich meine ich hab zwar den Inhalt überall kapiert aber formal richtig aufschreiben ist für mich einfach das schwierigste überhaupt...

Ich probier es nochmal für die Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) = \lbrace x \mid x \in A \land (x \in B \lor x \in C \rbrace \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup (A\cap C)=\{x\ |\ (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in C)\} \end{eqnarray*}$ .

daraus folgt :

$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) \leftrightarrow (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} a \land (b \lor c) \leftrightarrow (a \land b) \lor (a \land c) \end{eqnarray*}$

ich hoffe das das nun formal richtig ist ?

29.10.2006, 18:00

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
daraus folgt :

$\begin{eqnarray*} A \cap (B \cup C) \leftrightarrow (A \cap B) \cup (A \cap C) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} a \land (b \lor c) \leftrightarrow (a \land b) \lor (a \land c) \end{eqnarray*}$

So stimmt das nicht ganz. Mengen sind gleich, Aussagen äquivalent. Ich würde es so aufschreiben:

Wegen $\begin{eqnarray*} a\wedge (b\vee c)\Leftrightarrow (a\vee b)\wedge (a\vee c) \end{eqnarray*}$ für bel. Aussagen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} A\cap (B\cup C)=\{x\ |\ x\in A\wedge (x\in B\vee x\in C)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\{x\ |\ (x\in A\wedge x\in B)\vee (x\in A\wedge x\in C)\}=(A\cap B)\cup (A\cap C) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

29.10.2006, 18:03

SilverBullet

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re
alles klaro vielen lieben DANK !

29.10.2006, 18:20

SilverBullet

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Ich bins nochmal.
Hab das für das obere Beispiel voll verstanden. Leider aber muss das ganze auch bewiesen werden für z.b. A-B.
Die Aufgabe ist quasi die selbe nur ein Zeichen wird ausgetauscht.

Aufgabe :

$\begin{eqnarray*} A - (B \cup C) = (A-B) \cap (A-C) \end{eqnarray*}$

Der Beweis bleibt ja fast identisch jedoch finde ich keine Äquivalente Aussage... Haste dafür ne Idee ?

29.10.2006, 18:33

Mathespezialschüler

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Naja, du musst einfach wieder die Mengen aufschreiben:

$\begin{eqnarray*} A-(B\cup C)=\{x\ |\ x\in A\wedge x\notin (B\cup C)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A-B)\cap (A-C)=\{x\ |\ (x\in A\wedge x\notin B)\wedge (x\in A\wedge x\notin C)\} \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} (x\in A\wedge x\notin B)\wedge (x\in A\wedge x\notin C)\Leftrightarrow x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C \end{eqnarray*}$

und außerdem

$\begin{eqnarray*} x\in A\wedge x\notin (B\cup C)\Leftrightarrow x\in A\wedge \neg (x\in B\vee x\in C)\Leftrightarrow \text{???} \end{eqnarray*}$ .

Kannst du das selbst weiterführen?

Gruß MSS

29.10.2006, 18:57

SilverBullet

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re
da fehlt ja dann nur noch :

$\begin{eqnarray*} (x\in A\wedge x\notin B)\wedge (x\in A\wedge x\notin C) \end{eqnarray*}$

und das ist gleich = $\begin{eqnarray*} (A-B)\cap (A-C) \end{eqnarray*}$ .

29.10.2006, 19:04

Mathespezialschüler

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Hatte oben aus Versehen ein $\begin{eqnarray*} \wedge \end{eqnarray*}$ anstelle eines $\begin{eqnarray*} \vee \end{eqnarray*}$ zu stehen. Ist jetzt korrigiert. Im Prinzip muss an die Stelle der Fragezeichen:

$\begin{eqnarray*} x\in A\wedge x\notin B\wedge x\notin C \end{eqnarray*}$

und das ist natürlich äquivalent zu $\begin{eqnarray*} (x\in A\wedge x\notin B)\wedge (x\in A\wedge x\notin C) \end{eqnarray*}$ .

Und das charakterisiert die Menge $\begin{eqnarray*} (A-B)\cap (A-C) \end{eqnarray*}$ . Es ist nicht gleich der Menge! Denn eine Aussage kann einer Menge nicht gleich sein, da musst du immer genau unterscheiden!

Gruß MSS

29.10.2006, 19:45

SilverBullet

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re ^^
Also ich glaube ich hab den Dreh nun endlich raus...

Schau mal bitte folgende Aufgabe an die müsste eigentlich perfekt sein ^^

Aufgabe :

Zeige : $\begin{eqnarray*} A-(B\cap C)=(A-B)\cup (A-C) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A-(B\cap C)=\{x\ |\ x\in A \land x\notin (B\cap C)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A-B)\cup (A-C)=\{x\ |\ (x\in A \land x\notin B)\lor (x\in A\land x\notin C)\} \end{eqnarray*}$

Nun gilt :

$\begin{eqnarray*} (x \in A \land x \notin B) \lor (x \in A \land x \notin C) \leftrightarrow x \in A \land (x \notin B \lor x \notin C) \end{eqnarray*}$

und ausserdem :

$\begin{eqnarray*} x \in A \land x \notin (B \cap C) \leftrightarrow x \in A \land \neg(x \in B \land x \in C) \leftrightarrow x \in A \land x \notin B \lor x \notin C \leftrightarrow (A-B) \cup (A-C) \end{eqnarray*}$

29.10.2006, 20:09

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von SilverBullet
$\begin{eqnarray*} x \in A \land x \notin (B \cap C) \leftrightarrow x \in A \land \neg(x \in B \land x \in C) \leftrightarrow x \in A \land x \notin B \lor x \notin C \leftrightarrow (A-B) \cup (A-C) \end{eqnarray*}$

Da fehlen bei $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge x\notin B\vee x\notin C \end{eqnarray*}$ noch Klammern: $\begin{eqnarray*} x\in A\wedge (x\notin B\vee x\notin C) \end{eqnarray*}$ . Und die Menge am Ende muss wieder weg. Mengen und Aussagen können nicht äquivalent sein! Sonst ist es aber ok! Freude

Freude

Gruß MSS

29.10.2006, 20:21

SilverBullet

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jupp
stimmt hab die klammern vergessen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber naja zumindest hab ich den Dreh nun halbwegs raus ^^
Danke nochmal

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