Grenzwert von Folgen, knifflige Textaufgabe

14.05.2010, 16:21

Lentio

Grenzwert von Folgen, knifflige Textaufgabe

Hallo!
Wir sollen eine Hausaufgabe abgeben, von der ich nicht mal im Ansatz was verstehe.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen?!

Das Pendel einer Uhr mit einer Schwingungsdauer (Periode) von 2 Sekunden
wird innerhalb der ersten Sekunde jeder Periode durch einen Stoss angeregt;
dadurch vermehrt sich seine Gesamtenergie jeweils um ein Joule. In der restlichen
Zeit der Periode verringert sich die Energie des Pendels (durch Reibung)
jeweils um 4%.
Mit $\begin{eqnarray*} E_{n} \end{eqnarray*}$ bezeichne die Gesamtenergie des Pendels zu Beginn der n-ten Periode.
a) Geben Sie ein Rekursionsformel für die Folge $\begin{eqnarray*} (E_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ an.
b) Für den Fall $\begin{eqnarray*} E_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ zeige man, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (E_{n})_{n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ monoton und
beschränkt ist.
c) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge, falls dieser existiert.

Jetzt mal ehrlich, was ist denn das?! Hammer

Für jeden Schubs in die richtige Richtung wäre ich dankbar!

14.05.2010, 16:38

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Zitat:

Original von Lentio
Jetzt mal ehrlich, was ist denn das?!

Eine völlig normale Aufgabe, deren Abarbeitung auch und gerade in dieser didaktisch einander aufbauenden Reihenfolge a),b),c) absolut Sinn macht. Augenzwinkern

14.05.2010, 17:03

Lentio

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Mmhh..."dadurch vermehrt sich seine Gesamtenergie jeweils um ein Joule" ist zu verstehen wie $\begin{eqnarray*} E_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Und irgendwie muss bei der Schwingdauer von 1/2 noch die Reibung (vielleicht was mit -1/25) eingebaut werden und das Element für die Folgenglieder.... äh...Ich glaub, ich red nur Unsinn.

14.05.2010, 17:09

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Zwei Schritte in dieser n-ten Periode:

(1) Zunächst Erhöhung der Energie um 1 Joule, d.h. man hat dann zunächst Gesamtenergie

$\begin{eqnarray*} E_n + 1~\mathrm{J} \end{eqnarray*}$

(2) Anschließend gehen von dieser Energie 4% verloren (durch Reibung etc.), was dann übrigbleibt ist $\begin{eqnarray*} E_{n+1} \end{eqnarray*}$ . Das nur noch in eine Gleichung umgesetzt, und schon ist (a) erledigt.

14.05.2010, 17:18

Lentio

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Also ist $\begin{eqnarray*} E_{1} =\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{n+1} = E_{n} +1J-\frac{1}{25} \end{eqnarray*}$ ?

14.05.2010, 17:20

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Beidesmal nein.

Diese 4% sind - wie alle Prozentangabe - eine relative Größe, keine absolute Energieangabe. Also wirklich... unglücklich

14.05.2010, 17:33

Lentio

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Sorry .
Eher so: $\begin{eqnarray*} E_{n+1} = \frac{(E_{n} +1)}{25} \end{eqnarray*}$ ?

14.05.2010, 17:34

Lentio

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nee...auch Blödsinn.

14.05.2010, 17:36

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Also langsam ist es wiklich zum verzweifeln. Finger1

Deine Rechnung würde stimmen, wenn nur 4% übrigbleiben.

Es gehen aber 4% verloren, also bleiben 96% übrig!

14.05.2010, 17:45

Lentio

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Upsi, also so jetzt: $\begin{eqnarray*} E_{n+1} = \frac{(E_{n} +1)\cdot 24}{25} \end{eqnarray*}$

14.05.2010, 17:46

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Puhhh, schwere Geburt, aber a) ist jetzt erstmal geschafft. Augenzwinkern

14.05.2010, 18:03

Lentio

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Okay, geht doch.

Hab die Folge jetzt auf Monotonie untersucht. Damit sie monoton steigend ist, muss gelten:
$\begin{eqnarray*} E_{n+1} \leq E_{n+2} \end{eqnarray*}$ .
Eingesetzt ergibt
$\begin{eqnarray*} \frac{24(E_{n+1}) }{25}\leq \frac{24(E_{n+1+1}) }{25} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E_{n +1 } \leq E_{n +2} \end{eqnarray*}$
Somit müsste die Folge monoton steigend sein. Korrekt?

14.05.2010, 18:43

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Wie man die Monotonie aus dieser Art Aufschrieb erkennen soll, ist mir rätselhaft - ich als Korrektor würde das so nicht anerkennen. unglücklich

14.05.2010, 19:01

cupnudeln

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Besser so ?: $\begin{eqnarray*} <br /> \frac{24(n+1)}{25} \leq \frac{24(n+1+1)}{25} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n+1\leq n+2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1\leq 2 \end{eqnarray*}$ Aussage wahr, somit ist die Folge monoton steigend

14.05.2010, 19:05

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Jetzt ist es erst recht Unfug.

Ich kann nur mutmaßen, dass du durch vollständige Induktion aus $\begin{eqnarray*} E_n \leq E_{n+1} \end{eqnarray*}$ (Induktionsvoraussetzung) auf $\begin{eqnarray*} E_{n+1} \leq E_{n+2} \end{eqnarray*}$ (Induktionsbehauptung) schließen willst. Das kommt aber bei dir nicht gerade sehr deutlich rüber, zudem fehlt auch noch der Induktionsanfang. unglücklich

14.05.2010, 20:07

Lentio

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Es tut mir wirklich leid, wie man merkt hab ich noch nicht ganz den Durchblick mit der Induktion. Wie sollte ich denn rangehen um eine stichfeste Induk. zu machen?

15.05.2010, 12:41

Borucho

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Wenn ich mal meinen senf dazu geben darf:
Kann man die monotonie so zeigen?:
$\begin{eqnarray*} E_{n}\leqE_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{E_{n}*24}{25}\leq \frac{(E_{n}+1)*24}{25}\equivE_{n}\leqE_{n}+1 \end{eqnarray*}$

Und dann das Gleiche für E_{n+1}\leqE_{n+2}

und damit ist gezeigt dass das ganze monoton steigend ist?

15.05.2010, 12:43

Borucho

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Wenn ich mal meinen senf dazu geben darf:
Kann man die monotonie so zeigen?:
$\begin{eqnarray*} E_{n}\leqE_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{E_{n}*24}{25}\leq\frac{(E_{n}+1)*24}{25}\equivE_{n}\leqE_{n}+1 \end{eqnarray*}$

Und dann das Gleiche für $\begin{eqnarray*} E_{n+1}\leqE_{n+2} \end{eqnarray*}$

und damit ist gezeigt dass das ganze monoton steigend ist?

15.05.2010, 12:45

Borucho

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Wenn ich mal meinen senf dazu geben darf:
Kann man die monotonie so zeigen?:
$\begin{eqnarray*} E_{n} \leq E_{n+1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{E_{n}*24}{25} \leq \frac{(E_{n}+1)*24}{25} \equiv E_{n} \leq E_{n}+1 \end{eqnarray*}$

Und dann das Gleiche für $\begin{eqnarray*} E_{n+1} \leq E_{n+2} \end{eqnarray*}$

und damit ist gezeigt dass das ganze monoton steigend ist?

16.05.2010, 15:18

Borucho

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Bitte sagt mir, wenn es falsch ist oder wenn was fehlt.

und zu (c): ich würde sagen, die Folge hat keinen Grenzwert, da ja bei jeder Periode mehr Energie zugeführt wird, als dass Energie verloren geht (4%).
Stimmt das? Und wenn ja, wie beweise ich es?

16.05.2010, 15:36

absolutVodka

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Wenn man weiß, dass +1 Joule ein absoluter Wert ist und 4% ein relativer Wert, dann sollte man drauf kommen, ob ein Grenzwert vorhanden ist.

16.05.2010, 16:48

ProblemAna

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ich würde sagen, dass die Folge gen +Unendlich konvergiert, weil mit steigendem n die Folge immer weiter steigt... oder???

16.05.2010, 18:27

ProblemAna

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ach nein!!! die folge konvergiert gen 0!

16.05.2010, 18:55

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Weder noch - der Grenzwert ist eine positive Zahl. Durch Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ der Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray*} E_{n+1} = 0.96(E_n+1) \end{eqnarray*}$ kommt man - unter der Annahme der Existenz dieses Grenzwertes - rasch auf $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} E_n = 24 \end{eqnarray*}$ . Und noch einfacher wird alles, wenn man daraus dann direkt auf die explizite Darstellung $\begin{eqnarray*} E_n = 24\left(1-0.96^n \right) \end{eqnarray*}$ schließt.

16.05.2010, 19:12

ProblemAna

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also ist die Folge durch a=0 und z.b. b=25 beschränkt, nicht?

18.05.2010, 15:54

LinaundAna

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Hello Arthur,
wie kommst du auf lim(n->oo) = 24?
vielen dank

19.05.2010, 08:45

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Unter der (zu diesem Zeitpunkt noch nicht bewiesenen) Annahme, dass der Grenzwert überhaupt existiert, kann man auf die Rekursionsgleichung $\begin{eqnarray*} E_{n+1} = 0.96(E_n+1) \end{eqnarray*}$ den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} \end{eqnarray*}$ anwenden. Dann steht da

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} E_{n+1} = \lim_{n\to\infty} 0.96(E_n+1) = 0.96\cdot \lim_{n\to\infty} E_n + 0.96 \end{eqnarray*}$

Setzt man nun $\begin{eqnarray*} E := \lim_{n\to\infty} E_n \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} E_{n+1} = E \end{eqnarray*}$ und es folgt die Bestimmungsgleichung $\begin{eqnarray*} E = 0.96E + 0.96 \end{eqnarray*}$ , die umgestellt $\begin{eqnarray*} E=24 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Wie gesagt, alles aber nur unter der Annahme, dass der Grenzwert existiert, siehe auch hier.

Die ebenfalls genannte explizite Darstellung $\begin{eqnarray*} E_n = 24\left(1-0.96^n \right) \end{eqnarray*}$ kann man aber ohne solche Annahmen seriös durch vollständige Induktion beweisen. Augenzwinkern

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