Beweis Kondition

15.05.2010, 12:34

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

Beweis Kondition

Hallo
Ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:
Sei $\begin{eqnarray*} Q\in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ eine orthogonale Matrix sowie $\begin{eqnarray*} X\in\mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ invertierbar. Zeige für A=QR, dass $\begin{eqnarray*} cond_2(A)=cond_2(X) \end{eqnarray*}$ .
Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray*} cond_2(-) \end{eqnarray*}$ die Kondition $\begin{eqnarray*} cond_2(A)=| \| A \||_2| \|A^{-1}\||_2 \end{eqnarray*}$ .
Ich bin jetzt so weit: Da A=QX ist habe ich doch zu zeigen $\begin{eqnarray*} cond_2(QX)=cond_2(X) \end{eqnarray*}$ und nach der Definition der Kondition hier müsste ich also zeigen:
$\begin{eqnarray*} | \| (QX) \||_2| \|(QX)^{-1}\||_2=| \| X \||_2| \|X^{-1}\||_2 \end{eqnarray*}$
Und genau hier hänge ich. Ich vermute zwar, dass ich irgendwie verwenden muss, dass Q eine orthogonale Matrix ist und X invertierbar aber ich weiß nicht wie. Kann mir da jemand etwas weiterhelfen?

15.05.2010, 18:14

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} Q\in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ eine orthogonale Matrix sowie $\begin{eqnarray*} X\in\mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ invertierbar. Zeige für A=QR, dass $\begin{eqnarray*} cond_2(A)=cond_2(X) \end{eqnarray*}$ .

Falsch. Denn selbst wenn ich A mal als regulär annehmen will, so dass es eine "normale QR-Zerlegung" gibt...

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:

A=[1,0,0;0,1,0;0,0,1]

A =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

>> [L,U]=lu(A)

L =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1


U =

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

>> cond(A,2)

ans =

     1

und

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15:	X=[1,0,0;0,2,0;0,0,3] X = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 >> cond(X,2) ans = 3

Also bitte Angaben ändern.

Zitat:

Da A=QX

verwirrt

15.05.2010, 18:32

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Ohh tut mir Leid, da hat sich ein Tippfehler eingeschlichen. Hier mein Eintrag nochmal korrigiert:

Hallo
Ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter:
Sei $\begin{eqnarray*} Q\in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ eine orthogonale Matrix sowie $\begin{eqnarray*} X\in\mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ invertierbar. Zeige für A=QX, dass $\begin{eqnarray*} cond_2(A)=cond_2(X) \end{eqnarray*}$ .
Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray*} cond_2(-) \end{eqnarray*}$ die Kondition $\begin{eqnarray*} cond_2(A)=| \| A \||_2| \|A^{-1}\||_2 \end{eqnarray*}$ .
Ich bin jetzt so weit: Da A=QX ist habe ich doch zu zeigen $\begin{eqnarray*} cond_2(QX)=cond_2(X) \end{eqnarray*}$ und nach der Definition der Kondition hier müsste ich also zeigen:
$\begin{eqnarray*} | \| (QX) \||_2| \|(QX)^{-1}\||_2=| \| X \||_2| \|X^{-1}\||_2 \end{eqnarray*}$
Und genau hier hänge ich. Ich vermute zwar, dass ich irgendwie verwenden muss, dass Q eine orthogonale Matrix ist und X invertierbar aber ich weiß nicht wie. Kann mir da jemand etwas weiterhelfen?

Kannst du mir vielleicht trotzdem etwas weiterhelfen?

15.05.2010, 18:44

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Das ersetzen von A ist wohl der logische Schritt. Es ist

$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 \cdot \|A^{-1}\|_2=\|QX\|_2 \cdot \|(QX)^{-1}\|_2 =\|QX\|_2 \cdot \|X^{-1}Q^{-1}\|_2 \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, ob ||.||_2 eine induzierte Matrixnorm ist. Was gilt für diese als weitere Rechenregel?

15.05.2010, 18:56

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Da Q orthogonal ist, und orthogonale Matrizen längentreu sind kann ich dann schreiben:
$\begin{eqnarray*} \|A\|_2 \cdot \|A^{-1}\|_2=\|QX\|_2 \cdot \|(QX)^{-1}\|_2 =\|QX\|_2 \cdot \|X^{-1}Q^{-1}\|_2 =\|X\|_2 \cdot \|X^{-1}\|_2 \end{eqnarray*}$
oder? Reicht das als Begründung, dass ich das so schreiben darf?
Wenn ich das so machen darf mit dieser Begründung, da das ganz rechts ja genau meine Definition für die Kondition von X ist oder?

15.05.2010, 19:05

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Du darfst das nur so schreiben, wenn ihr $\begin{eqnarray*} \|QX\|_2 = \|X\|_2 \end{eqnarray*}$ irgendwo bewiesen habt.

Anzeige

15.05.2010, 19:16

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Ja das wurde schonmal in der Vorlesung verwand. Ich hoffe das reicht. Aber dann wäre das ganze schon fertig?

Wenn ich das jetzt noch beweisen will? Wie könnte ich denn da vorgehen?

15.05.2010, 19:19

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Wenn du das benutzen darfst, dann bist du fertig.

ansonsten

Zitat:

Nun ist die Frage, ob ||.||_2 eine induzierte Matrixnorm ist. Was gilt für diese als weitere Rechenregel?

oder man weist eine speziele Darstellung der Norm ||.||_2 nach und benutzt die Eigenschaft von inversen orthogonalen Matrizen.

16.05.2010, 10:17

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Ich habe etwas zur Längentreue von orthogonalen Matrizen in meinem Skript gefunden. Und zwar folgendes:
$\begin{eqnarray*} \|Ox\|_2^2=x^TO^TOx=\|x\|^2 \end{eqnarray*}$ wobei O eine orthogonale Matrix ist. Wäre das der richtige Beweis? Wenn ja hätte ich aber noch eine kleine Frage und zwar verstehe ich den ersten Schritt nicht ganz. Warum darf ich die induzierte Matrixnorm so umschreiben?

16.05.2010, 11:00

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
[WS] Lineare Gleichungssysteme 1 und etwas vorher, wo die ||.||_2 Umformulierung bewiesen wird. [WS] Lineare Gleichungssysteme 1

Wie immer bei solchen Fragen, die gemeine Antwort: Schau in die (richtige) Definition! ||.|| ist bei Qx die euklidische Vektornorm, bei Q alleine ist die Spektralnorm gemeint. Dann noch das, worauf ich schon andeutungsweise hingewiesen habe. Q^T ist die Inverse von Q. Schon erscheint

$\begin{eqnarray*} \|Qx\|_2^2\stackrel {Def. \|.\|_2}=x^TQ^TQx \stackrel{Q^TQ=I}= x^Tx \stackrel {Def. \|.\|_2}= \|x\|_2^2 \end{eqnarray*}$

als einfach. Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.05.2010, 11:27

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Vielen Dank für den Hinweis. Das ist mir jetzt klar. Aber irgendiwe bin ich bei meinem Problem trotzdem nicht weitergekommen. Mir fehlt irgendwie immer noch dir Begründung für den letzten Schritt hier. $\begin{eqnarray*} \|QX\|_2 \cdot \|X^{-1}Q^{-1}\|_2 =\|X\|_2 \cdot \|X^{-1}\|_2 \end{eqnarray*}$
Darin habe ich gelesen, dass $\begin{eqnarray*} \|Q\|_2=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|Q^{-1}\|=1 \end{eqnarray*}$ ist. (\[WS] Lineare Gleichungssysteme 1)
Aber wie kann ich das hier verwenden, wenn Q und X zusammen in der Norm stehen?

16.05.2010, 11:59

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Deswegen hatte ich gefragt, welche weitere Regel für induzierte Matrixnormen gilt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Oder man weist eine spezielle Darstellung der Norm ||.||_2 nach und benutzt die Eigenschaft von inversen orthogonalen Matrizen. Link 2 in den WS.

16.05.2010, 12:24

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Jetzt habe ich es glaube ich:
$\begin{eqnarray*} \|QX\|_2=\sqrt{\lambda _{max}((QX)^TQX)}=\sqrt{\lambda _{max}(X^TQ^TQX)}=\sqrt{\lambda _{max}(X^TX)}=\|X\|_2 \end{eqnarray*}$
Die Spektralnorm steht auch in meinem Skript und wurde bewiesen.
Mit $\begin{eqnarray*} \|(QX)^{-1}\| \end{eqnarray*}$ müsste das ja dann so ähnlich gehen.

16.05.2010, 12:40

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Da die Inverse einer orthogonalen Matrix wieder orthogonal ist, geht das genauso, aber bitte beim auflösen der Klammer an das Umdrehen der Reihenfolge der Matrizen denken.

16.05.2010, 14:11

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Ich habe da noch ein kleines Problem:
Also ich habe sehr genau aufgepasst dass ich beim Klammern auflösen auch die Reihenfolge der Matrizen umdrehe, aber trotzdem habe ich folgendes bekommen:
$\begin{eqnarray*} \|(QX)^{-1}\|_2=\sqrt{\lambda _{max}(Q(X^{-1})^TX^{-1}Q^{T})} \end{eqnarray*}$
und ich müsste ja $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda _{max}((X^{-1})^T X^{-1})} \end{eqnarray*}$ bekommen.

16.05.2010, 16:44

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Ok, du weißt was ähnliche Matrizen sind? Und was für deren Eigenwerte gilt? Dann lass uns die Gleichung unter dieser Perspektive betrachten

$\begin{eqnarray*} \|(QX)^{-1}\|_2=\sqrt{\lambda _{max}((X^{-1}Q^{-1})^TX^{-1}Q^{-1})}=\sqrt{\lambda _{max}(QX^{-1}(X^{-1})^TQ^{-1})}=\sqrt{\lambda _{max}(X^{-1}(X^{-1})^T)} \end{eqnarray*}$

Nun solltest du dich noch fragen, was $\begin{eqnarray*} X^{-1}(X^{-1})^T \end{eqnarray*}$ für eine Matrixklasse ist und dann hast du dein Ergebnis.

19.05.2010, 18:53

imag

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Beweis Kondition
Vielen Dank. Mit der Hilfe konnte ich die Aufgabe lösen. Sorry dass ich jetzt erst schreibe.

27.05.2010, 16:32

Wapiya

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tigerbine,

ich hoffe es ist OK, dass ich hier eine Folgefrage stelle. Ich sitze an einem ähnlichen Beweis und hatte den bis zum letzten Schritt mit den ähnlichen Matrizen gelöst. Hier komme ich allerdings nicht weiter, und verstehe leider auch deinen Tip nicht.

Kannst du bitte erklären.

Danke

27.05.2010, 18:22

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Du wirst es mir nachsehen, dass ich nun nicht weißt, welche Gleichung dir Probleme macht. Bitte zitiere mich und sage welches "=" unkar ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »