Konvergenzradius einer Reihe bestimmen

15.05.2010, 14:16

bandchef

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Konvergenzradius einer Reihe bestimmen

Ich soll von der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ den Konvergenzbereich bestimmen. Dazu muss ich ja erst den Konvergenzradius bestimmen, was ich so mache:

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{k \to \infty} |\frac{a_k}{a_{k+1}}|=\lim_{k \to \infty} |\frac{x^k}{x^{k+1}}|\Rightarrow \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Stimmt das jetzt so? Wie verfahre ich jetzt weiter? Könnt ihr mir helfen?

15.05.2010, 14:17

Mazze

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Erinnere dich mal an die geometrische Reihe, oder triffst Du zum ersten mal auf diese Reihe?

15.05.2010, 14:18

bandchef

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Hm. Geometrische Reihe. Gut weiß aber auch nicht recht weiter dann...

15.05.2010, 14:19

Mazze

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Das Ding ist die geometrische Reihe. Ich nehme mal an $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2010, 14:27

bandchef

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ja x aus R ich denke auch so weil geaueres steht nicht da...

15.05.2010, 14:32

Mazze

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Naja, was passiert für $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ ?

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15.05.2010, 14:33

bandchef

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dann wird alles immer größer...

15.05.2010, 14:35

Mazze

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Mit anderen Worten, die Reihe divergiert für $\begin{eqnarray*} |x| \geq 1 \end{eqnarray*}$ . Interessant ist also nur der Fall $\begin{eqnarray*} |x| < 1 \end{eqnarray*}$ . Schreibe dazu das Quotientenkriterium richtig auf. (Oben hast Du es falsch hingeschrieben).

15.05.2010, 14:48

bandchef

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Wenn ich hier jetzt das Quotientenkriterium richtig anwende, dann komm ich auf das hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} \frac{x^{k+1}}{x^k}=\frac{x^k*x^1}{x^k}=x \end{eqnarray*}$

Tja, jetzt weiß ich aber wieder nicht weiter weil ich ja jetzt nicht mal mehr den limes anwenden kann, da kein k mehr drin ist

15.05.2010, 15:42

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@bandchef

Zu deinem Lösungsversuch im Eröffnungsposting:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} x^k \end{eqnarray*}$ kann man

Zitat:

(A) als normale Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ betrachten, hier ist dann $\begin{eqnarray*} a_k=x^k \end{eqnarray*}$ . Konvergenz gemäß Quotientenkriterium ergibt sich dann, falls es ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \leq q \end{eqnarray*}$

gibt. Hier ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = |x| \end{eqnarray*}$ , d.h. die Reihe konvergiert auf jeden Fall für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ .

oder

Zitat:

(B) als Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} b_kx^k \end{eqnarray*}$ betrachten, hier ist dann aber $\begin{eqnarray*} b_k=1 \end{eqnarray*}$ . Der Konvergenzradius ergibt sich dann als

$\begin{eqnarray*} r = \lim\limits_{k\to\infty} \left| \frac{b_k}{b_{k+1}} \right| \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

zumindest sofern dieser Grenzwert überhaupt existiert. Hier ist das wegen $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \left| \frac{b_k}{b_{k+1}} \right| = 1 \end{eqnarray*}$ der Fall.

Du hast oben im Eröffnungsposting nun den Fehler gemacht, beide Betrachtungen in fehlerhafter Weise zu vermischen, indem du in Formel (*) völlig unpassenderweise $\begin{eqnarray*} b_k = x^k \end{eqnarray*}$ eingesetzt hast. unglücklich

unglücklich

Leider taucht dieser Fehler immer und immer wieder hier im Board auf, deswegen habe ich mir hier mal die Zeit genommen, das so ausführlich aufzuschreiben, so kann ich es dann später referenzieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.05.2010, 15:58

bandchef

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Zitat:

(A) als normale Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ betrachten, hier ist dann $\begin{eqnarray*} a_k=x^k \end{eqnarray*}$ . Konvergenz gemäß Quotientenkriterium ergibt sich dann, falls es ein $\begin{eqnarray*} q<1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \leq q \end{eqnarray*}$ gibt. Hier ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = |x| \end{eqnarray*}$ , d.h. die Reihe konvergiert auf jeden Fall für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ .

Das nach der richtigen Anwendung des Quotientenkriteriums $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = |x| \end{eqnarray*}$ rauskommt, hab ich mittlerweile selber rausbekommen. Mir ist alledings immer noch schleiherhaft wie man aus diesem Ergebnis auf das hier schließt: $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ .

UND VOR ALLEM: Wie komme ich jetzt mit dieser "Teillösung" auf meinen von mir eigentlich gefragten Konvergenzradius? Denn, ich will ja den Konvergenzbereich dieser Reihe bestimmen wozu ich aber den Konvergenzradius benötige...

15.05.2010, 16:03

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Offenbar rede ich chinesisch: Habe ich diese Frage nicht gerade beantwortet, wie man den Konvergenzradius richtig berechnet? verwirrt

verwirrt

15.05.2010, 16:45

bandchef

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Wenn du gerade erklärt hast wie man den Konvergenzradius richtig berechnet und ich jetzt wieder frage wie man den Konvergenzradius richtig berechnet, werde ich wohl deine Antwort nicht verstanden haben.

ABER: Das soll jetzt kein verbaler Angriff auf dich sein! Achja und du sprichst auch kein Chinesisch :-)

Könntest du vielleicht nochmal ganz speziell auf meine Frage eingehen? Es gibt anscheined zwei Möglichkeiten von denen ich die Variante A bevorzuge weil darin das Quotientenkriterium vorkommt, mit dem ich mittlerweile schon etwas vertraut bin. Ich glaub ich verstehe einfach nicht wie das q dann auf einmal mit |x| zusammenhängt und woher man "einfach so" weiß, dass Konvergenz gilt, wenn q<1 (da tut sich dann bei mir schon wieder die Frage auf, was ist q?) ist. Mit meinem letzten Zitat, dass ich von dir zitiert habe, hab ich doch jetzt eigentlich "nur" die konvergenz (genauer Wortlaut: "d.h. die Reihe konvergiert auf jeden Fall für...") festgestellt. Es steht aber nirgends was von einem KonvergenzRADIUS; und genau das hat mich in meinem vorletzten Post auch nochmals danach fragen lassen, weil eben nirgends von einem Radius sondern nur immer von Konvergenz die Rede war...

Ich hoffe du hast jetzt überhaupt noch Lust mir meine Fragen zu beantworten! Ich hoffe aber doch!

danke, bandchef

15.05.2010, 17:21

AD

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Ich meinte Variante (B), und habe wenig Verständnis, warum du die ausblendest: Schließlich geht es hier um Potenzreihen, und der Begriff Konvergenzradius macht ja überhaupt nur Sinn für Potenzreihen, nicht für gewöhnliche Reihen.

Und wenn du dich jetzt plötzlich auf Variante (A) einengst (obwohl dein Eröffnungsposting ganz danach aussieht, als wolltest du (*) anwenden), dann ziehe das mal allein durch: Dann musst du zur Auffindung des Konvergenzradius das Quotientenkriterium nicht nur in seiner Konvergenz- sondern auch in seiner Divergenzaussage betrachten.

15.05.2010, 17:41

bandchef

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Gut, dann versperre ich mich jetzt nicht der Variante B.

Wenn ich nun Variante B auf meine Aufgabe anwende steht das jetzt bei mir da:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty x^k=\sum\limits_{k=0}^\infty 1*x^k \end{eqnarray*}$ Somit wird meine geometrische Reihe zu einer Potenzreihe.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_k}{a_{k+1}} \right|=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{x^k}{x^{k+1}} \right|=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{x^k}{x^k*x^1} \right|=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{1}{x} \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow r=\lim_{k \to \infty} \left| \frac{1}{x} \right|=... \end{eqnarray*}$ Wie Schlussfolgere ich hier nun? Ich hab jetzt kein k mehr drin mit dem ich den limes anwenden könnte damit ich nun endlich meine Radius r erhalte...

15.05.2010, 18:30

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Bedauerlich, dass du die Beiträge nicht durchliest:

Zitat:

Original von Arthur Dent
(B) als Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} b_kx^k \end{eqnarray*}$ betrachten, hier ist dann aber $\begin{eqnarray*} b_k=1 \end{eqnarray*}$ .

[...]

Du hast oben im Eröffnungsposting nun den Fehler gemacht, beide Betrachtungen in fehlerhafter Weise zu vermischen, indem du in Formel (*) völlig unpassenderweise $\begin{eqnarray*} b_k = x^k \end{eqnarray*}$ eingesetzt hast. unglücklich

unglücklich

Und das finde ich jetzt echt zum Kotzen - und beende mein Engagement in diesem Thread. Forum Kloppe

Forum Kloppe

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