Extremalproblem

16.05.2010, 04:14

Extremalproblem

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Extremalproblem

Gegeben sei ein Draht der Länge $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ . Daraus sollen ein Quadrat und ein Kreis geformt werden. Einmal so, dass die Summe der Flächeninhalte maximal wird und einmal so, dass die Summe der Flächeninhalte minimal wird. Gesucht sind jeweils die Seitenlängen des Quadrats.

Fangen wir mit "maximal" an. Meine Ideen:

Hauptbedingung: $\begin{eqnarray*} A(a,r) = a^2 + \pi r^2 \end{eqnarray*}$
Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} U(a,r) = l = 4a + 2 \pi r \end{eqnarray*}$

Gleichung aus Nebenbedingung umstellen nach r (nach a wäre Unsinn, weil a sonst nachher beim Einsetzen verschwinden würde, aber a ist ja noch gesucht):

$\begin{eqnarray*} r = \frac{l - 4a}{2\pi} \end{eqnarray*}$

Einsetzen in Hauptbedingung:

$\begin{eqnarray*} A = \frac{a^2(16 + 4 \pi) + l(l - 8a)}{4 \pi} \end{eqnarray*}$

Differenzieren: $\begin{eqnarray*} A' = 2a + \frac{8a}{\pi} - \frac{2l}{\pi} \end{eqnarray*}$ (wenn ich nichts falsch gemacht habe)

Mit 0 gleichsetzen, um mögliche Extremalstelle rauszufinden:

$\begin{eqnarray*} 0 = 2a + \frac{8a}{\pi} - \frac{2l}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \frac{2l}{8 + 2 \pi} \end{eqnarray*}$

Das als Argument in die 2. Ableitung, um zu sehen, welche Art von Extremum:

$\begin{eqnarray*} A''(\frac{2l}{8 + 2 \pi}) = 2 + \frac{8}{\pi} > 0 \end{eqnarray*}$ (relatives Minimum)

So, was heißt das jetzt? $\begin{eqnarray*} \frac{2l}{8 + 2 \pi} \end{eqnarray*}$ würde ich jetzt in die Nebenbedingung für a einsetzen und nach r umformen, um auch r rauszukriegen und dann beides in die Hauptbedingung. Aber ich wollte doch ein Maximum rausfinden? Nun kommt da ein relatives Minimum raus?

16.05.2010, 04:18

Extremalproblem

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RE: Extremalproblem

Zitat:

Original von Extremalproblem
$\begin{eqnarray*} \frac{2l}{8 + 2 \pi} \end{eqnarray*}$ würde ich jetzt in die Nebenbedingung für a einsetzen und nach r umformen, um auch r rauszukriegen und dann beides in die Hauptbedingung. Aber ich wollte doch ein Maximum rausfinden? Nun kommt da ein relatives Minimum raus?

Das entfiele sogar. Gefragt war ja nur nach der Seitenlänge a des Quadrats. Meine Antwort wäre hier also:

Die Summe der Flächeninhalte wird möglichst klein, wenn die Seitenlänge des Quadrates $\begin{eqnarray*} a = \frac{2l}{8 + 2 \pi} \end{eqnarray*}$ ist.

Und wie kriege ich nun das Maximum raus?

16.05.2010, 07:56

Rechenschieber

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Nette Aufgabe. So richtig schön für einen Sonntagmorgen.

Mir ist diese noch nicht untergekommen. (in der Diff.-Rech)

Ich kann sie nur logisch lösen.

Von allen Flächen mit vorgegebenen Umfang hat der Kreis die größte Fläche.

Also kann es nur dann ein Maximum geben, wenn der Umfang des Quadrates unendlich klein sein würde, quasi 0 (Null).
Somit steht fest, dass die Länge vollends für den Kreis gebraucht würde.

Ich habe das Minimum übrigens auch gerechnet, allerdings mit Substitution. Vorgabe l=1

Dann ergibt sich ein Streckenverhältnis von rd. 0,56 zu 0,44.

Schönen Sonntag

Rechenschieber

17.05.2010, 00:33

Extremalproblem

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Ich bin immer noch an Hilfe interessiert.

17.05.2010, 01:57

Rechenschieber

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Wie soll ich das jetzt verstehen?
Einen besseren Tipp konnte ich dir doch gar nicht geben.
Außerdem kannst du mein Ergebnis doch überprüfen.

Sag mal, woran es scheitert.
Ich dacht, du meldest dich nicht mehr...

LGR

17.05.2010, 02:37

Extremalproblem

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Zitat:

Original von Rechenschieber
Wie soll ich das jetzt verstehen?
Einen besseren Tipp konnte ich dir doch gar nicht geben.
Außerdem kannst du mein Ergebnis doch überprüfen.

Sag mal, woran es scheitert.
Ich dacht, du meldest dich nicht mehr...

LGR

Ich wollte dich nicht ignorieren. "An weiterer Hilfe" war gemeint. Ein rein heuristisches Vorgehen bringt mir aber nichts, oder? Ich kann doch nicht einfach schreiben: "Der Umfang des Quadrats muss gegen 0 gehen, weil der Kreis bei vorgegebenem Umfang die größte Fläche hat, damit die Summe der Flächeninhalte maximal wird." Ich meine, du hast recht, man kann das ja auch analytisch zeigen, dass der Kreis immer einen größeren Flächeninhalt hat, aber reicht das echt?

Zitat:

Original von Rechenschieber
Dann ergibt sich ein Streckenverhältnis von rd. 0,56 zu 0,44.

Welches Streckenverhältnis ist hier gemeint? Das verstehe ich nicht.

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17.05.2010, 02:49

Rechenschieber

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Also.
Die erste Sache habe ich dir bereits gesagt, dass ich sie nicht weiß, sondern nur logisch...

Die zweite ist die, dass ich die Länge des Drahtes 1 gewählt habe.
Und der Teilungspunkt liegt eben da, wie o. angegeben.
Wenn du jetzt fleißig bist, rechnest du nach. 0,56 für den Kreis und 0,44 für das Quadrat und umgedreht.
Wenn du dann variierst, 0,561 und 0,439, so muss die Fläche auf jeden Fall größer werden.
Dann muss du es auch mit deinem Ergebnis vergleichen.

Angenommen, der Draht ist 5 m lang, dann gehören 2,80 zum einen und 2,20 zum anderen Flächenstück.

17.05.2010, 03:14

Bjoern1982

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Meiner Meinung nach ist das nur eine typische Randwertüberprüfung.
Sprich Grenzen der Definiitionsmenge für a in A einsetzen und die Stelle, wo der größte Funktionswert entsteht ist die gesuchte Seitenlänge.

17.05.2010, 03:17

Extremalproblem

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Also stimmt mein Ergebnis. Warum sagst du das denn nicht gleich so? Big Laugh

Big Laugh

Wenn ich $\begin{eqnarray*} l = 1 \end{eqnarray*}$ einsetze, erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} l = 1 = 4a + \pi r^2 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 4a \end{eqnarray*}$ der Quadratumfang ist. Mit meinem Ergebnis $\begin{eqnarray*} a = \frac{2l}{8 + 2 \pi} \end{eqnarray*}$ erhalte ich insgesamt $\begin{eqnarray*} 0,56 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 4a \end{eqnarray*}$ und komme so auch auf ein Verhältnis 0,56:0,44. Prost

Prost

17.05.2010, 03:19

tigerbine

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Zitat:

Gegeben sei ein Draht der Länge $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ . Daraus sollen ein Quadrat und ein Kreis geformt werden. Einmal so, dass die Summe der Flächeninhalte maximal wird und einmal so, dass die Summe der Flächeninhalte minimal wird. Gesucht sind jeweils die Seitenlängen des Quadrats.

Sobald man den Draht geteilt hat, stehen die Ergebnisse fest.

$\begin{eqnarray*} l = u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \leq l \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(u_1,u_2) = (0.25u_1)^2 + \pi(\frac{u_2}{2\pi})^2 = 0.0625u_1^2 + \frac{4}{\pi}u_2^2 \end{eqnarray*}$

Generell, auch bei dir, ist das eine Funktion IR^2 -> R. Mit der ersten Nebenbedingung können wir das vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} A(u_2) = 0.0625(l-u_2)^2 + \frac{4}{\pi}u_2^2 = 0.0625(l^2-2lu_2+u_2^2) +\frac{4}{\pi}u_2^2 = 0.0625l^2-0.125lu_2 + (1+\frac{4}{\pi})u_2^2 \end{eqnarray*}$

Wie du auch festgestelt hast, ist das eine nach oben offene Parabel. D.h. ableiten bringt nichts, wenn wir das Maximum suchen. Da gilt es nun die Randwerte zu vergleichen. u-2=0 und u_2=l. Damit hätten wir das auch mathematisch. Für das Minimum brauchst du den Scheitelpunkt.

edit: Björn hat es nun ja schon gesagt. Prost

Prost

generell siehst du, dass es bei restringierten Optimierungsaufgaben i.A. nicht ausreicht Verfahren aus der unrestringierten Optimierung anzuwenden.

17.05.2010, 03:37

Extremalproblem

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Aber ich habe ja eigentlich ein anderes Problem mit Extremalaufgaben. Nehmen wir mal ein sehr einfaches Beispiel. Gegeben sei ein Rechteck mit dem Umfang $\begin{eqnarray*} U = 10 \end{eqnarray*}$ . Und jetzt laute die Frage, wann der Flächeninhalt maximal werde. Das ist ja simpel:

HB: $\begin{eqnarray*} A = a \cdot b \end{eqnarray*}$
NB: $\begin{eqnarray*} 10 = 2a + 2b \end{eqnarray*}$

NB nach meinetwegen a umstellen:

$\begin{eqnarray*} a = 5 - b \end{eqnarray*}$

Einsetzen in HB: $\begin{eqnarray*} A = (5-b)b \end{eqnarray*}$ Also ist: $\begin{eqnarray*} A = 5b - b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A' = 5 - 2b \end{eqnarray*}$

Nullstellen: $\begin{eqnarray*} b = \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A''(\frac{5}{2}) = -2 \end{eqnarray*}$ So, an dieser Stelle kriege ich eben bei dieser Aufgabe immer -2 raus, also immer ein relatives Maximum. Und wie könnte ich nun ein Minimum ausrechnen? Rein logisch natürlich dann, wenn mindestens eine Seitenlänge gegen 0 geht. Aber rechnerisch?

17.05.2010, 03:40

Extremalproblem

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Hoppala, jetzt wurde ja schon während meines Postings etwas zwischendurch geschrieben. Von Randwerten höre ich zum ersten Mal. Werde ich mir mal gleich genauer anschauen.

17.05.2010, 03:41

tigerbine

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Du nimmst dir nicht zu Herzen, was ich in meinem letzten Satz gesagt habe. Solche Aufgaben sind Schulversionen von restringierten Optimierungsaufgaben.

HB: $\begin{eqnarray*} A = a \cdot b \end{eqnarray*}$
NB: $\begin{eqnarray*} 10 = 2a + 2b, a, b \geq 0 \end{eqnarray*}$

1. Verwenden der NB:
$\begin{eqnarray*} A(a) = a(5-a) = -a²+5a \end{eqnarray*}$

Es ist doch wieder nach einem Maximum gefragt. Auch ohne Ableiten weiß man, der Graph von A ist eine nach oben unten Parabel (Maximum im Scheitelpunkt) also betrachte die Randwerte für Mnimimallösungen.

Dein Weg ist nur ein Verfahren für lokale Extremwerte, Kein wunder, dass wir nur den Scheitelpunkt erhalten werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.07.2010, 02:23

Extremalproblem

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Zitat:

Original von Rechenschieber

Ich kann sie nur logisch lösen.

Von allen Flächen mit vorgegebenen Umfang hat der Kreis die größte Fläche.

Also kann es nur dann ein Maximum geben, wenn der Umfang des Quadrates unendlich klein sein würde, quasi 0 (Null).
Somit steht fest, dass die Länge vollends für den Kreis gebraucht würde.

Ich muss das Thema einfach nochmal hochholen (da ich gerade auch für die Klausuren lerne): Wieso funktioniert die Argumentation nicht auch umgekehrt? Bei vorgegebenem Umfang hat ein Kreis den größeren Flächeninhalt. Dann müsste man doch theoretisch, wenn man die Summe der Flächeninhalte minimal haben will, den Draht nur für das Quadrat aufwenden und gar nicht für den Kreis?

02.07.2010, 18:27

Extremalproblem

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Darf auch ruhig jemand anders antworten. smile

smile

02.07.2010, 18:34

tigerbine

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Dann erkläre, was du hier mit meinst

Zitat:

Wieso funktioniert die Argumentation nicht auch umgekehrt?

02.07.2010, 19:53

Extremalproblem

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Zitat:

Original von tigerbine
Dann erkläre, was du hier mit meinst

Zitat:

Wieso funktioniert die Argumentation nicht auch umgekehrt?

Na ja, Rechenschieber hat ja so fürs Maximum argumentiert: "Von allen Flächen mit vorgegebenem Umfang hat der Kreis die größte Fläche." Deswegen müsse man, wenn man maximalen Flächeninhalt erreichen will, den gesamten Draht nur für den Kreis aufwenden. Wenn ich also einen Draht der Länge L = 1 m habe und ich will, dass die Summe von Kreisflächeninhalt und Quadratflächeninhalt maximal wird, wende ich L = 1 m nur für den Kreis auf. Das war Rechenschiebers rein qualitative Begründung.

Jetzt frage ich mich natürlich, wieso man dann nicht auch umgekehrt sagen kann: Ein Kreis hat bei festem Umfang die größere Fläche als ein Quadrat. Wenn ich also bei L = 1 m Draht minimalen Flächeninhalt (Kreis + Quadrat) erreichen will, wende ich eben alles Draht nur für das Quadrat (mit dem kleineren Flächeninhalt bei festem Umfang) auf.

02.07.2010, 19:57

tigerbine

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Da ich die Argumentation nicht anschaulich geführt habe, gib mir bitte noch die Stelle, wo gesagt wird

Zitat:

Jetzt frage ich mich natürlich, wieso man dann nicht auch umgekehrt sagen kann

02.07.2010, 22:00

Extremalproblem

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Zitat:

Original von tigerbine
Da ich die Argumentation nicht anschaulich geführt habe, gib mir bitte noch die Stelle, wo gesagt wird

Zitat:

Jetzt frage ich mich natürlich, wieso man dann nicht auch umgekehrt sagen kann

Das hat hier keiner geschrieben. Aber es ist so.

Flächeninhalt Quadrat: $\begin{eqnarray*} A = a^2 \end{eqnarray*}$
Umfang Quadrat: $\begin{eqnarray*} U = 4a \end{eqnarray*}$
Also: $\begin{eqnarray*} A = \frac{U^2}{16} \end{eqnarray*}$

Flächeninhalt Kreis: $\begin{eqnarray*} A = \pi r^2 \end{eqnarray*}$
Umfang Kreis: $\begin{eqnarray*} U = 2 \pi r \end{eqnarray*}$
Also: $\begin{eqnarray*} A = \frac{U^2}{4 \pi} \end{eqnarray*}$

Jetzt sieht man ja schon. Wenn ich U = 1 m Draht nur für das Quadrat aufwende, bekomme ich als Summe der Flächeninhalte: $\begin{eqnarray*} A_{gesamt} = \frac{1}{16} + 0 = 0,0625 \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich aber U = 0,56 m für das Quadrat und 0,44 m für den Kreis verwende, dann komme ich auf: $\begin{eqnarray*} A_{gesamt} = 0,0196 + 0,0154 = 0,035 \end{eqnarray*}$ .

Man sieht also, dass das Verwenden des gesamten Drahtes nur für das Quadrat nicht zum minimalen Flächeninhalt (Kreis + Quadrat) führt.

Deswegen eben die Frage. Wieso Rechenschiebers Behauptung "Von allen Flächen mit vorgegebenem Umfang hat der Kreis die größte Fläche." => Man müsse, wenn man maximalen Flächeninhalt erreichen will, den gesamten Draht nur für den Kreis aufwenden, funktionieren soll, aber umgekehrt (für minimal), wie gesehen, nicht.

02.07.2010, 22:32

tigerbine

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Wir hatten das hier untersucht, ohne zunächst zu sagen, ob wir min oder max an Flächeninhalt wollen.

Zitat:

Sobald man den Draht geteilt hat, stehen die Ergebnisse fest.

$\begin{eqnarray*} l = u_1 + u_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} l >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \leq l \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A(u_1,u_2) = (0.25u_1)^2 + \pi(\frac{u_2}{2\pi})^2 = 0.0625u_1^2 + \frac{4}{\pi}u_2^2 \end{eqnarray*}$

Generell, auch bei dir, ist das eine Funktion IR^2 -> R. Mit der ersten Nebenbedingung können wir das vereinfachen.

$\begin{eqnarray*} A(u_2) = 0.0625(l-u_2)^2 + \frac{4}{\pi}u_2^2 = 0.0625(l^2-2lu_2+u_2^2) +\frac{4}{\pi}u_2^2 = 0.0625l^2-0.125lu_2 + (1+\frac{4}{\pi})u_2^2 \end{eqnarray*}$

Wie du auch festgestellt hast, ist das eine nach oben offene Parabel. D.h. ableiten bringt nichts, wenn wir das Maximum suchen. Da gilt es nun die Randwerte zu vergleichen. u-2=0 und u_2=l. Damit hätten wir das auch mathematisch. Für das Minimum brauchst du den Scheitelpunkt.

In den Rändern ist jeweils einer der Umfänge 0, also nur Rechteck oder Kreis. Für ein Minimum muss eben der Scheitelpunkt berechnet werden. So ist das "analytisch".

Mit deinen Zahlen, l=1
$\begin{eqnarray*} A(u_2) = 0.0625-0.125u_2 + (1+\frac{4}{\pi})u_2^2 \end{eqnarray*}$

Der Scheitelpunkt ist aber nicht bei u_2=0. Jedoch in der Nähe.

Wie man das nun geometrisch beurteilen will....Das ist deine Frage?

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