Berechnung eines Berührpunktes von Tangente an Kugel

16.05.2010, 14:10	fleXzZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Berechnung eines Berührpunktes von Tangente an Kugel Meine Frage: Hallo, ich stecke gerade in den Vorbereitungen zu meiner Mathe LK Klausur und häng an einer Stelle fest. Meine Frage ist jetzt was ich in der Rechnung falsch gemacht habe bzw. ob irgendwo ein Fehler drin ist oder die ganze Sache auch einfacher zu berechnen ist. Die Aufgabe ist folgende: Gegeben sind die Kugel $\begin{eqnarray} K: (\vec{x} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -6 \end{pmatrix})² \end{eqnarray}$ = 49 und der Punkt P(12/0/4) a) Weise nach, dass die Ursprungsgerade g, die durch P führt, eine Tangente an K ist und... b) berechne den zugehörigen Berühpunkt B! [Kontrolle: B(0/0/0)] Meine Ideen:* a) hab ich geschafft war eigentlich nicht schwer zu b) 1. Ich hab die Ebene in der alle Berührpunkte liegen berechnet: $\begin{eqnarray} E:\vec{bm}\vec{pm} \end{eqnarray}$ =10x-3y+10z=0 2. Jetzt habe ich die Koordinatenform in Parameterform umgewandelt: $\begin{eqnarray} E:\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 3 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3. Als nächstes hab ich die Hilfsgerade h aufgestellt und mit E schneiden lassen $\begin{eqnarray} h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}+u\begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt habe ich das Gleichungssystem aufgestellt und gelöst $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 12 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}=-u\begin{pmatrix} 10 \\ -3 \\ 10 \end{pmatrix}+s \begin{pmatrix} 3 \\ -10 \\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für u, s und t habe ich folgende Werte heraus bekommen: $\begin{eqnarray} u=-\frac{160}{191}; s=-\frac{48}{191}; t=\frac{836}{191} \end{eqnarray}$ eingesetzt ergibt sich folgender schnittpunkt und gleichzeitig mittelpunkt Mk des Schnittkreises: $\begin{eqnarray} m_{k}=\begin{pmatrix} \frac{692}{191} \\ \frac{480}{191} \\ \frac{836}{191} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei dem Radius des Schnittkreises hakt es dann: $\begin{eqnarray} r_{k}=\sqrt{7²-\vec{MM_{k}}²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r_{k}=\sqrt{7²-(-11,51308)²} \end{eqnarray*}$ und die negative Wurzel kann ich ja nicht ziehen.
16.05.2010, 14:17	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Berechnung eines Berührpunktes von Tangente an Kugel was machst du denn da schneide doch einfach die gerade g mit K das ergibt wunschgemäß t = 0 und damit B(0/0/0)
16.05.2010, 17:26	fleXzZ1991	Auf diesen Beitrag antworten »
ups so kann man sich das leben selber schwer machen danke, jetzt hab ich die richtige lösung

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