Unterraum U des R3 - Basis, Dimension v. U und R3

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--jul-- Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum U des R3 - Basis, Dimension v. U und R3
Hallo!

Komm hier mit diesem Beispiel nicht ganz klar- bitte um Hilfe:

Betrachten Sie den Unterraum U des R3, der durch die Vektoren u1, u2, u3 aufgespannt wird:



Fragestellung:
1. Ist {u1,u2,u3} eine Basis von U?
2. Ist {u1,u2,u3} eine Basis des R3?
3. Welche Dimension hat U?

Zu 1.:
In diesem Thread hab ich gefunden:

Vektoren die in der Basis liegen haben die Eigenschaft, dass sie linear unabhängig sind und dass sich jeder Vektor aus deinem Vektorraum eindeutig als Linearkombination dieser Basisvektoren schreiben lässt.

Das heisst also ich muss prüfen ob meine 3 Vektoren Linear Unabhängig sind - wenn ja dann ist die Menge u1,u2,u3 eine Basis

Ich schreibe daher:


Dann bekomme ich die 3 Gleichungen:

r+s-t=0
2r+s+t=0
r+s-t=0

Und da weiß ich jetz ned wie ich des lösen soll...? krieg für alle Koeffizienten gleich 0 raus. Also da bräucht ich mal eure Hilfe bitte - verwirrt mich a bisl dass da 2 mal die selbe Gleichung is (r+s-t=0) Danke.



Zu 2.
Kann mir bitte jemand erklären was der Unterschied zw. Basis des U und Basis des R3 ist- welche unterschiedlichen Bedingen müssen da erfüllt sein?


Zu 3. Dimension von U:
Die Dimension ergibt sich aus der maximalen anzahl von linear unabhängigen vektoren im VR, oder die anzahl der vektoren in einer basis vom VR.
Gut dafür muss ich zuerst das andere lösen :-)


also wenn mir jemand einen Tip geben kann bitte - wär mir echt geholfen. Danke.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben

zu 1) Ich erhalte die Gleichungen
.
Was hast du da gerechnet?

Zeige nun, dass die einzige Lösung durch gegeben ist.

Ich würde erst mal 3) beantworten und dann 2) (es gibt da einen schönen Isomorphie-Satz Big Laugh )


Gruß, therisen
strichpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

also ich bekomme bei den 3 gleichungen dasselbe wie therisen. daraus folgt dan r=0 s=0 t=0. Das sollte ja heissen, dass die drei Vektoren eine Basis von U sind


zu 3) Ist die Dimension von U dann 3? oder wie ist das wirklich gemeint. verstehe das nämlich gar nicht....

zu 2) kann man das auch vl. ohne Isomorphie-Satz lösen? hab den nämlich nicht in meinem skript, was heisst ich darf das nicht für die prüfung verwenden...

;
Shurakai Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dimension eines Vektorraums ist, salopp gesagt, die Anzahl der Vektoren, die in der Basis drinne sind. Die Dimension eines endlichen VR ist eindeutig, und damit kann man argumentieren.
--jul-- Auf diesen Beitrag antworten »

danke erstmal

hatte mich in meinem beitrag verschrieben mit den Gleichungen.

Das heisst also, dass die 3 Vektoren eine Basis bilden - nur eine Basis des R3 oder auch des Unterraums? Diesen Unterschied verstehe ich nicht.

Dimension ist also dann auch 3?

danke
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dieser "Isomorphie-Satz", von dem ich sprach, ist recht einfach (aber das Ergebnis umso überraschender): Zwei endlich erzeugte K-Vektorräume (K ist ein Körper) sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. Deine Vektorräume haben die gleiche Dimension und ihnen liegt der gleiche (skalare) Körper zu Grunde => deine Vektorräume sind isomorph (im konkreten Fall sind sie "echt gleich", d.h. die Antwort auf deine Frage ist "Ja!"). Im kann man sich das auch anschaulich sehr gut klar machen. Alternativ kannst du auch einfach einen Vektor nehmen und zeigen, dass es (eindeutig bestimmte) gibt, sodass gilt. Muss man halt ein wenig rechnen.


Gruß, therisen
 
 
--jul-- Auf diesen Beitrag antworten »

so bin heute noch nicht zum pc gekommen - drum meine antwort erst so spät.

vielen dank therisen nun hab ich das alles verstanden.

lg jul
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