Eigenwerte bestimmen

16.05.2010, 15:30

Margarita90

Eigenwerte bestimmen

Hallo,
habe eine Matrix gegeben:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a &a &a &... &a &a &a \\ b &0 &0 &... &0 &0 &c \\ . &. &. & &. &. &. \\ . &. &. & &. &. &. \\ . &. &. & &. &. &. \\ b &0 &0 &... &0 &0 &c \\ a &a &a &... &a &a &a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} A \in R^{n*n}, n\geq3, a,b,c \in R \end{eqnarray*}$ .
Dazu soll ich nun die Eigenwerte bestimmen. Normalerweise mache ich das mit $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} \lambda \cdot 1_{n}-A \end{vmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ . Das geht hier aber nicht so einfach und außerdem steht hinter der Aufgabe der Hinweis, man solle $\begin{eqnarray*} Spur(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Spur(A^2) \end{eqnarray*}$ betrachten... damit kann ich aber irgendwie gar nichts anfangen! verwirrt

Kann mich nicht entsinnen, einen Satz in der Vorlesung gehabt zu haben, der Spur und Eigenwerte miteinander verknüpft, zumindest nicht für $\begin{eqnarray*} n\geq3 \end{eqnarray*}$ ...
Bitte um Hilfe.
Danke und Gruß!

16.05.2010, 16:12

tigerbine

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RE: Eigenwerte bestimmen
Wenn ich mir so die inneren Zeilen der Matrix anschaue, was sollte mir da auffallen?

Zitat:

Kann mich nicht entsinnen, einen Satz in der Vorlesung gehabt zu haben, der Spur und Eigenwerte miteinander verknüpft, zumindest nicht für $\begin{eqnarray*} n\geq3 \end{eqnarray*}$ ...

Treffer 1 bei google mit Eigenwerte und spur....
http://de.wikipedia.org/wiki/Spur_%28Mat...9#Eigenschaften

17.05.2010, 18:27

Margarita90

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RE: Eigenwerte bestimmen
ok, gecheckt=)
jetzt noch folgendes. in der aufgabe vorher sollten wir zeigen, dass das charakt. Pol. von A durch $\begin{eqnarray*} X^{n-2} \end{eqnarray*}$ teilbar ist.
Dazu hab ich mir überlegt, wie A in JNF aussieht. Da $\begin{eqnarray*} dim(Ker(A))=n-2 \end{eqnarray*}$ ist, muss es n-2 Jordanblöcke (JB) in der JNF geben. Dann gibt es 2 Möglichkeiten:
1.) (n-3) JB der Größe 1 und ein JB der Größe 3
2.) (n-4) JB der Größe 1 und zwei der Größe 2

Mit der Aufgabe vorher weiß ich, dass es Möglichkeit 2 sein muss, da A 3 Eigenwerte besitzt, nenne sie: 0, y, z
Dann sieht A in JNF so aus:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0_{n-4} & & \\ &J_{2}(y)& \\ & & &J_{2}(z) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} J_{2}(r)=\begin{pmatrix} r&0\\1&r\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0_{n-4} \end{eqnarray*}$ ist die Nullmatrix mit (n-4) Zeilen/Spalten.
Aber dann ist das charakt. Pol. doch $\begin{eqnarray*} X^{n-4}\cdot(X-y)^2(X-z)^2 \end{eqnarray*}$ und das wäre widerum nicht durch $\begin{eqnarray*} X^{n-2} \end{eqnarray*}$ teilbar..?

17.05.2010, 18:35

tigerbine

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RE: Eigenwerte bestimmen
Dann hast du nicht gecheckt, auf was ich hingewiesen habe. Augenzwinkern

Welchen Rang hat die Matrix denn? Oder wie sieht der Kern aus? $\begin{eqnarray*} \dim(Ker(A))=n-2 \end{eqnarray*}$ Freude

Was bedeutet das für das char. Polynom? Welcher Eigenwert gehört zum Kern, der ja im Grunde Eigenraum dieses EW ist.

Und was gilt für die Beziehung geometrischer und algebraischer Vielfachheit?

17.05.2010, 19:00

Margarita90

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RE: Eigenwerte bestimmen
Ok, dann würde ich sagen, dass zum Kern der Eigenwert 0 gehört... denn ein bel. Vektor v ist im Kern, wenn f(v)=0 und r ist EW, wenn f(v)=rv, also rv=0. Das gilt für bel. v nur, wenn r=0.
Leider weiß ich nicht so viel mit "geometrischer Vielfachheit" anzufangen...
Und was hat es denn nun mit meiner Matrix in JNF auf sich? Was stimmt da nicht?

17.05.2010, 19:06

Margarita90

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RE: Eigenwerte bestimmen
Ach so... die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des zugehörigen Eigenraums eines Eigenwertes.
Beim EW 0:
(A-0*E)=A
Dann entspricht die Dimension des Eigenraumes der Dimension vom Ker(A). Dann sind alg. und geom. Vielfachheit gleich? Und was kann ich daraus schlussfolgern?

17.05.2010, 19:10

tigerbine

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RE: Eigenwerte bestimmen
Die Algebraische VF ist größer gleich der geometrischen. Die geometrisch ist hier (n-2). Da wir den EW 0 betrachten, ist also der Faktor $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ mindestens in der Potenz (n-2) im char. Polynom vertreten. Seine exakte Potenz entspricht der alg. Vielfachheit des EW 0.

somit ist doch gezeigt, was zu zeigen war.

Du hast die JNF doch gebaut. Auf der Diagonale stehen die Eigenwerte gemäß ihrer algebraischen Vielfachheit. Warum hast du den 0er Block mit (n-4) gemacht? verwirrt

http://de.wikipedia.org/wiki/Jordansche_Normalform

17.05.2010, 19:23

Margarita90

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RE: Eigenwerte bestimmen
Ja, also dass das char. Pol. durch $\begin{eqnarray*} X^{n-2} \end{eqnarray*}$ teilbar ist, hab ich jetzt schon verstanden. Danke.
Aber zu der JNF: Wir haben uns aufgeschrieben, dass dim(Ker(A)) auch angibt, wie viele dieser kleinen JB in der JNF vorkommen. Also müssen es (n-2) JB sein. Da die Dimension der Matrix aber n ist, müssen 2 JB größer als 1, nämlich 2 sein.
Also hab ich (n-4) JB der Größe 1 zum EW 0 und je einen der größe 2 zu den EW y und z.
Mein Gedanke wäre jetzt: Um (n-2) JB zu bekommen, könnte ich ja auch je einen JB der Größe 1 zu den EW y und z machen, einen JB der Größe 3 zum EW 0 und (n-5) JB der Größe 1 zum EW 0. Wäre das dann die zugehörige Matrix von A in JNF?
Mann könnte die Nullen auch so aufteilen: zwei JB der Größe 2 zum EW 0 und (n-6) JB der Größe 1 zum EW 0.

17.05.2010, 19:29

tigerbine

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RE: Eigenwerte bestimmen
Schau dir den Link an. Auf der Diagonale stehen erst mal alle EV in alg Vielfachheit. Nun kann man die noch umsortieren und mit der nebendiagonale zu Blöchen zusammenfassen. Wenn da nichts steht, dann wäre das Diagonalelement schon ein Block.

Die Anzahl der Blöcke gibt die geometrische Vielfachheit an. Die kennen wir. Die ist (n-2).

Zitat:

Da die Dimension der Matrix aber n ist, müssen 2 JB größer als 1, nämlich 2 sein.

Wieso das jetzt? Wer sagt, dass 0 der einzige EW ist? [Und selbst wenn, führt das nicht zu einem Widerspruch mit der Teilbarkeit]

Die Matrix hat Rang 2. Hast du untersucht, ob es noch weitere (reelle) EW gibt? Wir kennen erst (n-2) der n (komplexen EW).

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