Determinantenberechnung in 2 Wegen

17.05.2010, 12:28

majorpain

Determinantenberechnung in 2 Wegen

Moin moin,

gleich zur sache:

Gegeben sei die Matrix

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & \pi & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie det(B) jeweils:

-mittels der Entwicklung nach Zeilen oder Spalten

- mittels elementarer Umformung zu einer oberen Dreiecksmatrix

Meine Ideen:

i) Wenn man die 1. mit der 2.Spalte der Matrix vertauscht gilt: det(B)= - det(B1)

=> $\begin{eqnarray*} B_{1} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ \pi &1 & 2 \end{pmatrix}=-3\pi \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} det(B)=3\pi \end{eqnarray*}$

ii) Habs mit dem Gauß Allogaritmus gemacht:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 1 & \pi & 2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

III + II

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ -1 & 0 & -2 \\ 0 & \pi & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 &1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

2*II +I

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 0 & 4 & -3 \\0 & \pi & 0 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\1& 2 & 0 \\ 0 & 1 &1 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

nun die 3. spalte mit der 2. spalte vertauschen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 0 &-3 & 4 \\ 0 & 0 & \pi \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

es gilt, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix, man den Wert der Determinante erhält, indem man die Hauptdiagonale miteinander mutipliziert.

Ich erhalte also:

$\begin{eqnarray*} det(B2)=-6\pi \end{eqnarray*}$

da ich die Spalten vertauscht habe gilt:

$\begin{eqnarray*} -det(B2)=det(B)=6\pi \end{eqnarray*}$

das ist aber falsch! (s.o.)

Wo ist mein Fehler????

Thx im Voraus

17.05.2010, 13:04

klarsoweit

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RE: Determinantenberechnung in 2 Wegen

Zitat:

Original von majorpain
2*II +I

Hier machst du 2 Operationen: die 2. Zeile wird mit 2 multipliziert, dann wird die 1. Zeile zur 2. Zeile addiert. Dier Multiplikation mit 2 bewirkt aber, daß auch die Determinante verdoppelt wird. Augenzwinkern

17.05.2010, 13:06

Elvis

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Die Determinante ist eine Multilinearform. Wenn du eine Zeile der Matrix mit 2 multiplizierst, erhältst du den 2-fachen Wert. Big Laugh

17.05.2010, 13:11

majorpain

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ahh...danke schön!

kann ich dass einfach am ende schreiben??? oder muss ich noch was machen???

17.05.2010, 13:19

Elvis

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du musst das machen : $\begin{eqnarray*} det(B2)=-6\pi=-2\cdot det(B)\Rightarrow det(B)=3\pi \end{eqnarray*}$

17.05.2010, 13:32

majorpain

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$\begin{eqnarray*} danke^{\infty } \end{eqnarray*}$

17.05.2010, 13:35

Elvis

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Bitte.
Du hast die Aufgabe noch nicht vollständig bearbeitet. Du sollst die Determinante berechnen, indem du nach einer Zeile oder Spalte entwickelst.

17.05.2010, 13:53

majorpain

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oh^^
ja klar^^

ost es das mit dem pivotelement????

18.05.2010, 19:31

Elvis

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Entwicklung heißt z.B. Entwicklung nach der 2. Spalte

$\begin{eqnarray*} det(B)=-4\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} -\pi\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}= ... \end{eqnarray*}$

Im allgemeinen : $\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}=\sum (-1)^{i+j}a_{ij}\cdot \begin{vmatrix}A_{ij}\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

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