Abbildungen von Mengen

29.10.2006, 21:02

SilverBullet

Abbildungen von Mengen

Hoffe ich überstrapaziere hier keinen, aber eine Aufgabe liegt mir besonders am Herzen :

Aufgabe :
Seien $\begin{eqnarray*} X\stackrel{f}{\longrightarrow}Y\stackrel{g}{\longrightarrow}Z \end{eqnarray*}$ Abbildungen von Mengen, so dass $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ bijektiv ist. Zeigen Sie das, f injektiv und g surjektiv ist.

Ich mein ich weiß was surjektiv und injektiv ist aber wie man überhaupt soetwas zeigt ist mir absolut schleierhaft

29.10.2006, 21:21

sqrt(2)

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Eigentlich musst du nur die Definitionen anwenden $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, d.h. zu jedem $\begin{eqnarray*} z\in Z \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} g(f(x))=z \end{eqnarray*}$ . Außerdem ist $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ injektiv, d.h. $\begin{eqnarray*} g(f(x))=g(f(y))~\Ra~x=y \end{eqnarray*}$ .

Jetzt nimm an, f sei nicht injetiv, d.h. es gibt $\begin{eqnarray*} x,y, x\neq y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ . Du kannst direkt einen Widerspruch zur Bijektivität von $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ konstruieren.

29.10.2006, 21:27

daTidu

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Um die Injektivität von f zu zeigen hätte ich eine Idee, man könnte dies mit einem Widerspruchsbeweis machen:

sollte f nicht injektiv sein, dann gäbe es ein a aus X, das den gleichen Funtionswert hätte wie ein b aus x:

$\begin{eqnarray*} \exists a \in X \exists b \in X: f(a) = f(b) \end{eqnarray*}$ wobei a ungleich b ist

also müsste dann auch gelten:

$\begin{eqnarray*} g(f(a)) = g(f(b)) \end{eqnarray*}$

Dies darf aber nicht sein, da die Verknüpfung bijektiv sein soll.
Also muss f injektiv sein
-> Teil 1 wäre gezeigt
(Rückmeldung ist erwünscht, denke aber, dass das so geht)

Wie man die Surjektivität von g zeigt will mir aber leider nicht einfallen.

mfG daTidu

edit: da war wohl jemand schneller Augenzwinkern

komm mit dem Formeleditor nicht so klar^^

29.10.2006, 22:02

sqrt(2)

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Zitat:

Original von daTidu
Wie man die Surjektivität von g zeigt will mir aber leider nicht einfallen.

Das ergibt sich direkt aus der Definition. Es gibt zu jedem $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(f(x))=z \end{eqnarray*}$ und zu jedem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} y:=f(x) \end{eqnarray*}$ schreibst, steht die Definition der Surjektivität da.

29.10.2006, 22:23

SilverBullet

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re
Also so ganz durchschau ich das leider nicht....
Ich probier das mal richtig aufzuschreiben...

Also :

1. $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist injektiv $\begin{eqnarray*} \rightarrow g(f(x)) = g(f(y)) \rightarrow x=y \end{eqnarray*}$

2 $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ist surjektiv $\begin{eqnarray*} \rightarrow \forall z \in Z \exists x \in X : g(f(x)) = z \end{eqnarray*}$

Beweis zu 1.

$\begin{eqnarray*} \exists a \in X \exists b \in X : f(a) = f(b); a \neq b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow g(f(a)) = g(f(b)) \end{eqnarray*}$ UNMÖGLICH Da $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ = Bijektiv

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ f = injektiv

Beweis zu 2.
Hier hab ich es noch nicht verstanden. Ist der erste Teil denn so richtig ?

29.10.2006, 23:01

sqrt(2)

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Als Widerspruchsbeweis solltest du das so schreiben: "Angenommen, es gibt $\begin{eqnarray*} x,y\in X,~x\neq y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ (also angenommen, f ist nicht injektiv), dann folgt aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} g(f(x))=g(f(y)) \end{eqnarray*}$ , was im Widerspruch zur Injektivität von $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ steht. Also ist f injektiv."

Zum zweiten, mal dir das am besten mal auf: Zu jedem x aus X gibt es genau ein f(x) aus Y. Zu jedem z aus Z gibt es mindestens ein x aus X und damit mindestens ein y=f(x) aus Y mit g(f(x))=g(y)=z.

30.10.2006, 17:31

SilverBullet

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re
Du hast ja geschrieben :

Als Widerspruchsbeweis solltest du das so schreiben: "Angenommen, es gibt $\begin{eqnarray*} x,y\in X,~x\neq y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ (also angenommen, f ist nicht injektiv), dann folgt aus $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} g(f(x))=g(f(y)) \end{eqnarray*}$ , was im Widerspruch zur Injektivität von $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ steht. Also ist f injektiv."

Zum zweiten, mal dir das am besten mal auf: Zu jedem x aus X gibt es genau ein f(x) aus Y. Zu jedem z aus Z gibt es mindestens ein x aus X und damit mindestens ein y=f(x) aus Y mit g(f(x))=g(y)=z.

Muss ich nicht schreiben :
$\begin{eqnarray*} g(f(x))=g(f(y)) \end{eqnarray*}$ , was im Widerspruch zur Bijektivität von $\begin{eqnarray*} g\circ f \end{eqnarray*}$ steht. Also ist f injektiv." ?

30.10.2006, 17:56

sqrt(2)

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Wenn du "Injektivität" schreibst, bist du genauer. Im Winderspruch zur Surjektivität steht das nämlich nicht und wenn du "Bijektivität" schreibst, ist unklar, worin genau der Widerspruch besteht.

30.10.2006, 18:05

SilverBullet

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re
Alles klaro =)

Und hier ein Beweisversuch für surjektivität :

Angenommen g nicht surjektiv -> gf nicht bijektiv
Wir nehmen an es gibt ein $\begin{eqnarray*} z \in Z \end{eqnarray*}$ zu dem es kein $\begin{eqnarray*} y \in Y \end{eqnarray*}$ gibt, so dass g(y) = z. Folglich findet man auch kein $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , dass von f auf y abgebildet wird, das dann von g auf Z abgebildet wird. Dann ist $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ nicht surjektiv und damit auch nicht bijektiv.

30.10.2006, 18:22

sqrt(2)

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So kannst du es machen.

30.10.2006, 18:37

SilverBullet

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re
Alles klaro vielen Dank Augenzwinkern

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