2 Punkte und eine Tangente = Kreisgleichung?

19.05.2010, 08:18

Maxi708

2 Punkte und eine Tangente = Kreisgleichung?

Edit (mY+): KEINE Hilferufe oder -Ersuchen, weder in der Überschrift noch sonst wo, dies wird entfernt!

Meine Frage:
Guten Tag Ich sitze jetzt schon ziemlich lange an einem Beispiel, seit gestern eigentlich aber ich komme da einfach nicht weiter. Ich soll aus 2 gegebenen Punkten und einer gegebenen Gerade die den Kreis berührt eine Kreisgleichung aufstellen, wobei zwei Lösungen herauskommen sollen. Konkret: Punkte= A(-1/1) B(6/2) Gerade= t:4x-3y-43=0

Meine Ideen:
Nun ich hab nicht mal den Ansatz einer Idee. Zuerst dachte ich eine Senkrechte zur Tangente aufzustellen würde helfen aber ich hatte keinen Punkt durch den sie gehen soll. Berührbedingung ohne Mittelunkt fiel auch aus genau so wie die verschiedenen Arten eine Tangente zu ermitteln (Spaltform etc..). Im internet habe ich lange gesucht und hab ein einziges Beispiel gefunden wobei in der Hilfe aber von der Hesseschen Normalform die Rede war, und die haben wir im Unterricht sicher nicht durchgenommen... Gibt es keine andere Möglichkeit?

schonmal vielen Dank für euere Hilfe.

19.05.2010, 11:16

Alex-Peter

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RE: Hilfe: 2 Punkte und eine Tangente = Kreisgleichung?
einen konstruktiven Tipp, der müsste dir helfen das rechnerisch zu lösen.
(2 Lösungen)

19.05.2010, 11:59

riwe

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RE: Hilfe: 2 Punkte und eine Tangente = Kreisgleichung?
schneide die mittelsenkrechte zu AB mit einer zur tangente parallelen geraden durch M: $\begin{eqnarray*} 4x - 3y + d = 0 \end{eqnarray*}$

nach einiger herumrechnerei bekommst du $\begin{eqnarray*} d_1=-18\wedge d_2=52 \end{eqnarray*}$

zum konstruieren: PPG

das mittel der wahl ist auf jeden fall die HNF.
bevor du dir obigen weg antust, vertiefe dich in sie Augenzwinkern

HNF: $\begin{eqnarray*} \frac{4m-3n-43}{5}=\pm r \end{eqnarray*}$

die 2. notwendige beziehung steht schon oben

19.05.2010, 15:06

Maxi708

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huhu,

also erstmal danke euch beiden für die mühe mir eine antwort zu geben, nun habe ich mir den Anhang von Alex-Peter angeschaut weil ich nicht wusste wie meine eine parallele zur tangente aufstellt die durch M geht wenn ich M nicht habe, da stand ich eine zeitlang auf der leitung.

Nun habe ich mir gedacht das ich die mittelsenkrechte zu AB aufstelle wie riwe gesagt hat, aber mir die koordinaten des Mittelpunktes (xm, ym) mithilfe zweier gleichungen ausdrücke die ich mithilfe der beiden punkte aufstelle. Also in dem Fall
I: (-1-xm)+(1-ym)=r²
II: (6-xm)+(2-ym)=r²

beide gleichsetzen da beide r² ym oder xm ausdrücken und dann in die beiden geradengleichungen der mittelsenkrechten zu AB einsetzen. Dann müsste eigentlich auch der Mittelpunkt der beiden Kreise herauskommen, womit ich dann den rest herausfinde oder täusche ich mich da?

19.05.2010, 16:30

Maxi708

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hmm ok also bei mir kommt da nur schwachsinn heraus wenn ich das mache unglücklich

riwe, könntest du mir eine tipp geben wie du auf die d1=-18 gekommen bist? also die gesuchte parallele hat die gleiche steigung wie die tangente und d ist unbekannt, also y=4/3x+d und dann? wo muss ich jetzt was einsetzen?

19.05.2010, 18:10

riwe

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Zitat:

Original von Maxi708
hmm ok also bei mir kommt da nur schwachsinn heraus wenn ich das mache unglücklich

das ist eine ziemlich schleimige angelegenheit Augenzwinkern

gewiß hast du bereits die gleichung der mittelsenkrechten von AB berechnet:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}=\begin{pmatrix} 2.5\\1.5 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

diese schneidest du nun mit der geraden auf der der mittelpunkt des gesuchten kreises liegt, also $\begin{eqnarray*} 4x -3y +d =0 \end{eqnarray*}$

damit bekommst du $\begin{eqnarray*} t =\frac{1}{25}(5.5+d) \end{eqnarray*}$

damit gilt für den abstand von M zu A:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} 2.5\\1.5 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix}-1 \\ 7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix})^2=r^2=\frac{1}{25}(-43-d)^2 \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren und wenn du dich nicht verrechnet hast Augenzwinkern

19.05.2010, 21:10

Maxi708

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ahh verstehe,

vielen Dank für die Mühe die du dir gemacht hast riwe hast mir wirklich weitergeholfen ^^ smile

19.05.2010, 23:52

riwe

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damit du siehst, wie einfach(er) es mit der HNF der geraden ( in der ebene!) geht:
die mittelsenkrechte in diese einsetzen (gleichung der normierten geradengleichung = HNF habe ich oben angegeben.....) ergibt:

$\begin{eqnarray*} \vec{m}=(4,-9)^T\pm\frac{r}{5}\cdot(-1,7)^T \end{eqnarray*}$

woraus folgt:

$\begin{eqnarray*} (\vec{m}-(-1,1)^T)^2=r^2\to r_1=5\wedge r_2=25 \end{eqnarray*}$

20.05.2010, 13:29

riwe

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nett ist auch die berechnung nach PPG:
bestimme den schnittpunkt der geraden durch A und B sowie g:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}_{AB}=(-1,1)^T+t(7,1)^T\cap g\to t=2\to S(13/3) \end{eqnarray*}$

mit hilfe des sehnentangentensatzes bekommt man für den abstand von S zu den berührpunkten T: $\begin{eqnarray*} ST = 10 \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{OT}=\overrightarrow{OS}\pm\frac{10}{5}\cdot (3,4)^T\to T_1(7/-5)\wedge T_2(19/11) \end{eqnarray*}$

damit hat man PPG auf PPP zurückgeführt.
z.b. für lösung 1:

schneide die angegebene mittelsenkrechte mit der durch

$\begin{eqnarray*} AT_1: \vec{x}_{AT_1}=(3,-2)^T+s(3,4)^T\to s=0\to M_1(3/-2)\wedge r=5 \end{eqnarray*}$

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