Basis von span |
| 19.05.2010, 21:36 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Basis von span ich habe folgende Aufgabe: Geben Sie für folgenden Vekorraum eine Basis an: span {x-->x+x²,x-->x+x³, x-->2x-x^6, x€ R} Hier weiß ich leider überhaupt nicht, wie ich anfangen soll. Span ist ja die Menge aller Linearkombinationen, aber inwieweit hilt mir das hier? |
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| 19.05.2010, 22:01 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Der Aufspann ist der kleinste Vektorraum, der alle Elemente enthält, über die der Aufspann erzeugt wird. Jetzt denke mal scharf über den Begriff "Basis" nach, inwiefern er mit linearer Unabhängigkeit zu tun hat etc. Im Grunde steht die Lösung fast schon in der Aufgabe. Man muss lediglich noch eine Sache überprüfen. Hinweis: Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. eine maximal linear unabhängige Teilmenge. air |
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| 19.05.2010, 22:02 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Hinweis ist ja schon die Def. von einer Basis. Aber irgendwie steh ich da immer noch aufn Schlauch |
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| 19.05.2010, 22:05 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Okay. Starten wir doch, einfach mal testweise, mit der Menge der Vektoren, über die du den Aufspann machst. Zu überprüfen wäre, ob diese Menge ... 1) Erzeugendensystem ist 2) linear unabhängig ist Was kannst du denn über 1) sagen, wenn du beachtest, dass der UVR gerade der Aufspann über den Elementen unserer potenziellen Basis ist? air |
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| 19.05.2010, 22:08 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
meinst du dass der UVR abgeschlossen ist bezüglich Addition und Multiplikation mit skalar? |
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| 19.05.2010, 22:10 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein. Du sollst überprüfen, ob die Menge A = {x+x², x+x³, 2x-x^6} ein Erzeugendensystem von dem Vektorraum ist. Wenn du mal kurz drüber nachdenkst, dass dein Vektorraum gerade span A ist, sollte die Antwort wirklich auf der Hand liegen. 
air |
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| 19.05.2010, 22:15 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja ist es? weil der VR span A ist und die Menge die Elemente enthält Kannst du das mal für doofe, wie mich erklären, bitte |
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| 19.05.2010, 22:17 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja - du meinst vermutlich schon das richtige. Der span enthält doch gerade alle möglichen Linearkombinationen der Elemente, über die er gebildet wird. Wenn wir genau diese Elemente nun nehmen, sind sie logischerweise auch ein Erzeugendensystem für den Vektorraum. Macht doch Sinn, oder?
Es fehlt aber noch die zweite Eigenschaft: Ist A auch linear unabhängig? air |
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| 19.05.2010, 22:19 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
da sich jedes element des VR span a durch die menge a darstellen lässt, ist a ein erzeugenden system. ist das so richtig? |
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| 19.05.2010, 22:22 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
wär das dann so: a* (x+x²)+b*(x+x³)+c*(2x-x^6)=0 und zu untersuchen ob a=b=c=0 ist? |
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| 19.05.2010, 22:24 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kleiner Hinweis: Wir haben die Menge nicht a, sondern A genannt. Der Satz stimmt so nicht ganz. Jedes Element des Vektorraums span A lässt sich durch eine Linearkombination der Elemente aus A darstellen, also ist A Erzeugendensystem. Irgendwie scheint das für dich noch nicht ganz klar zu sein. Vielleicht solltest du diese Sache also etwas detaillierter beweisen. Nehmen wir uns mal ein beliebiges Element . Wie können wir dies mit Hilfe der Elemente, über die wir aufspannen, dann darstellen? Edit: Ja, für die Unabhängigkeit musst du das dann zeigen. Aber widmen wir uns erst mal dem hier. air |
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| 19.05.2010, 22:28 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
mit der GLeichung die ich oben geschirbene habe? also a*(x+x²)+b*(x+x³)+c*(2x-x^6)=p weiß nciht ob das jetzt so stimmt. also müsste p sich doch durch linearkombination mit den gegebenen elementen darstellen lassen,oder? |
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| 19.05.2010, 22:30 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Korrekt. Jetzt musst du ganz scharf beachten: Du hast die Elemente aus dem span gewählt, der deinen VR erzeugen soll. Und jetzt willst du zeigen, dass es sich auch als Linearkombination der Elemente aus A darstellen lässt. Wie sieht diese Linearkombination dann aus? Richtig - exakt gleich, denn es sind ja genau die selben Elemente! Ich hoffe, du siehst damit, dass es offensichtlich ist, dass A ein Erzeugendensystem ist? Wenn ja - weiter mit der Unabhängigkeit. air P.S.: Darf ich fragen, woher die Aufgabe stammt? Ich hätte eigentlich eine kleine Sache erwartet, aber die Aufgabe ist noch viel einfacher als sie scheint. |
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| 19.05.2010, 22:38 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Die Aufgabe ist von einem Übungszettel aus Lina 1. also jetz nochmal die Formel von oben zur Linearen Unabhäniggkeit. wie kann ich das dann richtig zeigen? |
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| 19.05.2010, 22:39 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Multipliere alls aus, sortiere nach Potenzen von x, klammere diese dann aus und poste, was du dann hast - dann machen wir weiter. air |
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| 19.05.2010, 22:42 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
(a+b+c)*x+ax²+bx³-cx^6=0 |
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| 19.05.2010, 22:44 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
ah in der ersten klammer fehlt bei c noch ne 2 also (a+b+2c)*x usw. |
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| 19.05.2010, 22:46 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Jetzt denken wir mal etwas nach: Links habe ich ein Polnyom vom sechsten Grad, rechts die Nullabbildung. Diese können wir auch schreiben als Was müssen also für Bedingungen an die Koeffizienten der linken Seite gelten (Anmerkung: Man verwendet hier die Eindeutigkeit der Polynome; das Ganze nennt sich Koeffizientenvergleich). air |
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| 19.05.2010, 22:49 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
die koeffizienten müssen gleich sein |
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| 19.05.2010, 22:49 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig. Schreibe diese Gleichungen explizit auf und löse das System. air |
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| 19.05.2010, 22:54 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
(a+b+2c)*x+ax²+bx³-cx^6=0*x+0*x²+0*x³+0*x^6 folg daraus nicht, dass a=b=c=0 sein muss eben wegen dem Koeffizientenvergleich? |
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| 19.05.2010, 22:55 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Korrekt. Jetzt fasse am Besten zusammen was wir gemacht haben und was du daraus folgerst. air |
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| 19.05.2010, 23:00 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
also gemeäß Def. einer Basis muss diese basis linear abhängig sein und ein erzeugendensystem beides haben wir hier gezeigt es (Menge a) ist ein erzeugendensystem da mit den Elementen von der Menge A jedes Element von span(A) erzeugt werden kann (sind ja gleich elemente) und lineare unabhängigkeit ist auch zu sehen wenn wir die gleichung hinschreiben und gemäß des koeffizientenverlgiechs sehen, dass a=b=c=0 ist, also lin. unabh. das heißt die Menge A bestehend aus den Elementen x-->x²,x-->x³,x-->2x-x^6 ist die Basis von span(A) stimmt das soweit? |
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| 19.05.2010, 23:03 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Bis auf das Fehlen des "un-" im ersten Satz, was nur ein Schreibfehler war, ist das korrekt, ja.
Ich sage dir auch noch, was ich erwartet hatte: Ich hätte eigentlich gedacht, dass die Menge wohl linear abhängig ist und man erst noch ein Element "kicken" muss, bevor man wirklich eine Basis hat. Dieses kleine Hindernis wurde aber wohl doch nicht eingebaut. Daher eben nur als Hinweis, darauf zu achten. air |
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| 19.05.2010, 23:06 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wo du das gerade sagst..ich glaube so etwas ind ie Richtung meinte unser Tutor auch, also wir sollen prüfen wie viele Elemente die Basis hier hat... aber wenn wir das hier richtig gemacht haben, dann stimmt das. Oder hab ich vl. irgendwo noch was falshc gemacht so dass man ggf. doch noch ein Element herausnehmen müsste? |
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| 19.05.2010, 23:14 | Mia21 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine Hilfe und deine super Erklärungen. :-) |
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| 19.05.2010, 23:14 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein. Deine Menge ist Erzeugendensystem und linear unabhängig. Das ist äquivalent dazu, dass es eine Basis ist. Ist ja auch klar: Nimmst du jetzt noch einen Vektor heraus, so kannst du nicht mehr jedes beliebige Element des Raumes als Linearkombination darstellen, da dieser fehlende Vektor ja nicht aus den anderen linearkombinierbar ist (es war ja lineaer unabhängig). air |
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