lineare abbildung

20.05.2010, 16:14

Lisa22

lineare abbildung

Meine Frage:
Geben Sie eine lineare Abbildung F:R³->R³ mit F(u)=u
F(e2+3e1)=e2 und F(e1)=e3 an.

Meine Ideen:
So ich hab mal die Vektoren ausgerechnet:

F(u)=u

F(3,1,0)=(0,1,0)

F(1,0,0)=(0,0,1)

Für diese lineare Abbildung muss ja gelten:

lin 1) F((x1+y1,x2+y2,x3+y3)=f(x1,x2,x3)+f(y1,y2,y3)
lin 2) a* F(x1,x2,x3)= F(a*(x1,x2,x3))

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich da ran gehen soll.

Bitte um Hilfe.

20.05.2010, 17:32

lisa22

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Kann mir bitte jemand helfen?

20.05.2010, 17:57

Reksilat

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Morgen vielleicht. Big Laugh

Im Ernst: Dieses Gedrängle ist absolut unhöflich, sinnlos und sogar kontraproduktiv! Wenn Du es eilig hast, dann hättest Du Dich einfach eher melden sollen, aber Deine Frage ist bestimmt nicht wichtiger als alle anderen hier.

Außerdem steht da nicht, was u sein soll.

Vorgehensweise: Eine lineare Abbildung wird durch die Bilder einer Basis eindeutig definiert.

Gruß,
Reksilat.

20.05.2010, 18:52

lisa22

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sorry....

u=(1,2,-1)

Gut, wenn ich die 3 Vektoren habe, bilden sie sicherlich eine basis.
Die lineare unabhängigkeit habe ich schon nachgewiesen.
Nur mit dem Erzeugendensystem tue ich mich etwas schwer.
wenn ich sage:

$\begin{eqnarray*} p= \left\{ \alpha *u+\beta *e1+\gamma *(e2+3e1): \alpha ,\beta ,\gamma \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

beschreib ich dann schon, dass die 3 ein Erzeugendensystem bilden?

und wenn ich jetzt die bilder der 3 vektoren nehme, wie bilde ich dann die lineare abbildung daraus?

20.05.2010, 18:53

lisa22

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p soll element von F sein.

20.05.2010, 19:01

Reksilat

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Zitat:

Original von lisa22
p soll element von F sein.

Dieser Satz ergibt keinen Sinn, denn F ist doch eine Abbildung.

Außerdem ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ein 3-dimensionaler VR und insofern ist eine linear unabhängige Menge der Mächtigkeit 3 auch immer schon eine Basis.
Wie Du nun Deine Abbildung angeben sollst, weiß ich nicht. Letztlich ist sie ja durch die Bilder von $\begin{eqnarray*} u, e_1,e_2+3e_1 \end{eqnarray*}$ schon eindeutig gegeben. Möglicherweise soll man sie auch in Matrixform bezüglich der Standardbasis schreiben, aber das kann ich nun wirklich nicht wissen.
smile

Gruß,
Reksilat.

20.05.2010, 19:04

DerJFK

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wenn du die Lineare Abbildung aufstellen willst, lässt sich ja eine Abbildungsmatrix finden,.. und du hast ja schon 3 gleichungen gegeben

Da du ja schon weißt das die Vektoren die raus kommen eine Basis bilden und auch die Vektoren die du einsetzt kannst du ja auch die Abbildungsmatrix erstellen

$\begin{eqnarray*} Av_1 = w_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Av_2 = w_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Av_3 = w_3 \end{eqnarray*}$

Und da du ja v1 ... v3 und w1...w3 kennst, kannst du ja die Abbildungsmatrix ausrechnen

20.05.2010, 19:12

Reksilat

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@DerJFK:
Selbst wenn lisa eine Abbildungsmatrix berechnen soll, so fehlt immer noch eine Basis (bzw. sogar zwei), bezüglich der diese angegeben sein soll.
Wenn die Aufgabenstellung wirklich so lautet, dann wäre eine Rückfrage bei deren Autor wohl sinnvoll.

Gruß,
Reksilat.

20.05.2010, 19:21

DerJFK

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ich bin eben mal davon ausgegangen, dass gemeint ist dass man zwei Basen gegeben hat und bzgl. der standard basis die abbildungsmatrix erstellen soll.

besonders weil sie $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ angegeben hat. Aufgabensteller sind auch nicht immer die besten Augenzwinkern

Falls hier grad die 2 Basen unterschlagen wurden, kann ich nix für Big Laugh

20.05.2010, 19:39

lisa22

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danke euch beiden schon mal für die regen Antworten smile

Ich glaube nicht, dass ich eine Abbildungsmatrix berechnen sollte, da wir erst letzte vorlesung mit matrizen begonnen haben (addition, multiplikation mit skalar).
Unser Professor stellt die Aufgaben nie ganz klar....
Mehr ist in der Aufgabe nicht angegeben....

Ist das eine Mögliche Abbildungsmatrix:

x---> 1 2 -1
0 1 0
0 0 1

20.05.2010, 19:48

DerJFK

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Jede Matrix ist eine Abbildungsmatrix.

Und du kannst ja mal $\begin{eqnarray*} A\cdot v \end{eqnarray*}$ machen und schauen was raus kommt. also jedenfalls kommt beide deiner nicht $\begin{eqnarray*} A \cdot u = u \end{eqnarray*}$ raus.

Du hattest eben oben von einer Linearen Abbildung gesprochen.

Gruß

20.05.2010, 19:59

lisa22

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okay, dann ist das wohl falsch.
kannst du mir evtl nochmal ganz langsam sagen, was ich dann machen muss?

mein problem ist, dass wir z.B. nicht mal die multiplikation zweier matrizen in der vorlesung hatten....
aber zum glück gibt es bücher...die mir nur grad auch nicht helfen.

danke schon mal.

20.05.2010, 20:08

DerJFK

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die Sache ist eben, wir schon weiter oben erwähnt wurde, Darstellungsmatrizen werden bzgl. zweier basen dargestellt.

Deshalb gehe ich in deinem Fall eben mal davon aus das man bzgl. der StandardBasis (kanonischen basis von R^3) die Darstellungsmatrix erstellen soll.

Du kannst dir eben das gleichungsystem aufstellen
$\begin{eqnarray*} $\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}$ \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt diese aufstellung jeweils für die Vektoren machst, die du ja hast... dann kannst du daraus 3 gleichungssysteme machen. also z.b.

$\begin{eqnarray*} $a_{11} v_1 + a_{12} v_2 + a_{13} v_3 = w_1$ \end{eqnarray*}$

usw. und dann kannst du jeweils die einträge der Matrix ausrechnen

21.05.2010, 10:25

Lisa22

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weiß leider nicht genau wie ich das machen soll. hab probier gleichungssysteme zu berechnen..aber was ist da genau w1

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