Untervektorraum mit Skalarprodukt

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Mia21 Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum mit Skalarprodukt
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Das kanonische skalarprodukt im R^n ist definiert durch <x,y>=Summe von i=1 bis n xiyi.
Sei k ={1,...n-1} fest und n1,.......nk€R^n. zeigen sie, dass U={x€R:<n1,x>=...=<nk,x>=0} ein Untervektorraum.

Mein Ansatz wäre, dass wir ja zeigen müssen, dass der untervektorraum(falls es einer ist) nicht leer ist, d.h. denn nullvektor enthält.
im falle von <n1,x>=n1*x1+.....+n1*xn=0
wär ja dann gleich (durch ausklammern) = n1(x1+....+xn)
würde es hier reichen zu sagen, dass n1= nullvekort wäre?
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RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
Zitat:
Original von Mia21
im falle von <n1,x>=n1*x1+.....+n1*xn=0

So ist das Skalarprodukt nicht definiert. n1 ist ein Vektor aus R^n.

Zitat:
Original von Mia21
würde es hier reichen zu sagen, dass n1= nullvekort wäre?

Falsch gedacht. Was mußt du denn zeigen, wenn der Nullvektor ein Element von U sein soll?
 
 
Mia21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
<n1,x>=n1*x1+.....nk*xk ist das dann das skalarprodukt?

und wenn ich ich zeigen soll dass das nicht leer ist, das würde heißen der nullvektor ist enthalten

aber wie kann ich das hier zeigen?
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RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
Zitat:
Original von Mia21
<n1,x>=n1*x1+.....nk*xk ist das dann das skalarprodukt?

Nein. Überlege doch mal, wenn du was schreibst, was das sein soll. Sind n1, ..., nk Zahlen oder Vektoren? Was sind die x1 bis xk ?

Zitat:
Original von Mia21
und wenn ich ich zeigen soll dass das nicht leer ist, das würde heißen der nullvektor ist enthalten

aber wie kann ich das hier zeigen?

Wenn du es endlich schaffst, das Skalarprodukt richtig aufzuschreiben, solltest du mal <n_j, x> für j=1, ..., k bilden.
Mia21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
n ist ein vektor
und skalarprodukt ist doch so definiert
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RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
Jetzt redest du auf einmal von n. n bestimmt aber die Dimension des Vektorraums R^n. Also bitte nochmal. Ich habe 2 konkrete Fragen gestellt und möchte darauf 2 konkrete Antworten haben.
Mia21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
ich würde sagen n1...nk und x1...xk sind vektoren von R^n
Mia21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
ist das so richtig?

und wie bekomm ich da jetzt den nullvektor mit hinein, dass ich so zeigen kann dass u nicht leer ist?
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RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
Zitat:
Original von Mia21
ich würde sagen n1...nk und x1...xk sind vektoren von R^n

Leider nur zur Hälfte richtig. x1 ... xk sind die Komponenten eines Vektors x. Beachte daß, der Vektor x aus R^n stammt und somit n Komponenten hat. Insofern ist da auch ein Schreibfehler in deinem ersten Beitrag. Es müßte wohl

U = {x € R^n : <n1,x>=...=<nk,x>=0}

heißen.

So. Jetzt schreibe mal auf, wie das Skalarprodukt <n1,x> aussieht. Was muß da mit wem multipliziert und dann aufaddiert werden?
Mia21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
also ich weiß echt nicht weiter. ich hatte das ja shcon so geschrieben.

also <n1,x>= n1*x1+n1*x2+......+n1*xn
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RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
Das Problem ist einfach, daß du mathematische Ausdrücke oder Kürzel schreibst, aber dir dabei keine Gedanken machst. Nehmen wir:

<n1,x>= n1*x1+n1*x2+......+n1*xn

n1 ist jetzt ein Vektor und x1, ..., xn sind die Komponenten des Vektors x. Jetzt steht da rechts, daß der Vektor n1 mit der Zahl x1 usw. der Vektor n1 mit der Zahl xn. Jedes Produkt wäre dann ein Vektor, es werden dann also n Vektoren addiert, so daß zum Schluß ein Vektor rauskommt. Das Ding heißt aber "Skalarpropdukt" und es muß also am Ende eine Zahl rauskommen.
Mia21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
und wenn aber n auch ein vektor ist mit n1,n2...,nk und wir daraus mit vektor x ein skalarprodukt bilden kommt dann doch eine zahl heraus

die erste komponente vom vektor n * der ersten komponente vom vektor x + nächste komponente von n mal 2.komponente von x...das ganze bis nk bzw. xk

das stimmt doch dann, oder?
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RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
Im Prinzip ja, aber du kannst nicht die Begriffe n1, ..., nk für Komponenten eine Vektors n nehmen, denn
1. n ist kein Vektor, sondern eine natürliche Zahl, die die Dimension des Vektorraums R^n angibt. Somit besteht also jeder Vektor aus diesem Vektorraum aus n Komponenten.
2. Die Begriffe n1, ..., nk stehen für Vektoren aus R^n, wenn du mal deinen Aufgabentext durchliest. Die können also nicht noch gleichzeitig als Bezeichnung für Komponenten eines Vektors dienen.
Mia21 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
das mit Rhoch n hab ich ja verstanden davon schreib ich ja auch gar nichts mehr.
ich red nur von den vektoren und dem skalarprodukt.
das ist so definiert mti den vektorkomponenten, egal wie ich die jetz mal benenne.

abr wie beweis ich jetz dass dies ein untervektorraum ist?
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RE: Untervektorraum mit skalarprodukt
Zitat:
Original von Mia21
das ist so definiert mti den vektorkomponenten, egal wie ich die jetz mal benenne.

Und so egal ist das eben nicht. Erst wenn du mal <n1,x> sauber aufgeschrieben hast, kann man sich Gedanken machen, warum <n1,x> = 0 ist, wenn x der Nullvektor ist.
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