ggT von Polynomen.

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
ggT von Polynomen.
Guten Tag, also ich soll den ggT von 2 Polynomen bestimmen und sie in einer bestimmten Form darstellen. Kriege das aber nicht ganz auf die Reihe.

Aufgabe

Finden sie den größten gemeinsamen Teiler h der Polynome

f = x³ + x² + 2x und

g = x² + 1

im Ring Q [ X ] .

Stellen Sie h in der Form

h = f + g

mit , Q [X] dar.

Meine bisherige Lösung

Also zuerst einmal muss man halt die beiden durcheinander teilen anhand von Polynomdivision und die Reste aufschreiben. Das schreibe ich mal hier in kurz auf :

( x³ + x² + 2x ) : ( x² + 1 ) = x + 1 , R = x - 1

Also ist x - 1 = ( x³ + x² + 2x ) - ( x² + 1 ) ( x + 1 )

Dann halt weiter dividieren :

( x² + 1 ) : ( x + 1 ) = x - 1 , R = 2

Also ist 2 = ( x² + 1 ) - ( x + 1 ) ( x - 1 )

Und weiter dividieren :

( x + 1 ) : ( x - 1 ) = 1 , R = 2

Also ist 2 = ( x + 1 ) - ( x - 1 ) 1

Und zu guter letzt kommt dann :

( x - 1 ) : 1 = ( x - 1 ) , R = 0

So wenn ich mich richtig erinnere, ist ja der lwetzte Rest ungleich 0 der ggT.
Das wäre bei meiner Rechnung 2.
Aber ich habe die Polynome mal in nem online Gerät durchlaufen lassen und das Ding sagte mir dann, der ggT wäre 1.

Damit sind meine Probleme aber leider noch nicht zuende.
Ich kann ja dann von 2 = ... diesen ggT immer weiter darstellen.
Aber ich habe Probleme damit ihn in der Forum darzustellen, in welcher er gefordert ist.
Es müsste ja nämlich dann so aussehen :

h = ( x³ + x² + 2x ) + ( x² + 1 )

Ich habe aber keine Ahnung , wie ich zu dem + in der Mitte komme, weil ich ja immer viele - habe.

Vielen dank im vorraus für eure wertvolle Zeit. ^^
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ggT von Polynomen.
zuerst einmal ist 2=2*1+0, also ist der ggT tatsächlich 1.

dann sollst du die polynome wahrscheinlich nach dem lemma von Bezout darstellen.
dazu rollst du das ganze von hinten auf.

wir haben mit gauß:
f=(x+1)*g+(x-1)
g=(x+1)(x-1)+2
nun stellen wir 2 nach dem lemma dar:
2=g-(x+1)(x-1)
(x-1)=f-(x+1)g

also
2=g-(x+1)(f-(x+1)g)=g-(x+1)f+(x+1)(x+1)g=((x+1)^2+1)g-(x-1)f

division auf beiden seiten durch 2 sollte zum ergebnis führen.
nun kommst du auch ganz einfach zu nem plus in der mitte:
-(x-1)=+(-x+1)........
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

2 unterscheidet sich in nur um eine Einheit von 1, weil .
Die Darstellung des ggT als Linearkombination hast du fast schon fertig, denn es ist .
hast du schon berechnet, das musst du nur noch einsetzen und ein bißchen umformen.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok ich schau mir das gleich mal an.

Warum folgert ihr aus euren Aussagen , dass der ggT 1 ist?

Woran kann ich denn nun ganz allgemein den ggT von 2 Polynomen bei diesem Verfahren erkennen?An welcher Stelle steht er denn sozusagen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Teiler sind immer nur bis auf Einheiten eindeutig. Bei Polynomen ist der ggT eindeutig, wenn man nur "normierte Polynome" (d.h. der Koeffizient des Monoms mit dem höchsten Grad =1) zulässt. Das einzige normierte Polynom vom Grad 0 ist 1.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

2 Dinge :

Erstens habe ich jetzt mal versucht es in dieser Forum darzustellen , vielleicht kann da mal jemand kurz drüber gucken.

Zweitens habe ich das mit dem ggT, also eure Erklärungen immer noch nicht so ganz verstanden.Ich habe nochmals in mein Skript geschaut und da stand als einziger Hinweis, dass halt der letzte Rest ungleich 0 der ggT ist.Dass er hier nicht 2 ist , ist mir klar.Aber wieso man wie Elvis oder 2 = 2 * 1 + 0 wie lgrizu rechnet ist mir immer noch nicht ganz klar.

Nunja hier zumindestens meine Lösung :

Also wir haben ja 2 Gleichungen für 2 und noch eine weitere Gleichung :

2 = ( x + 1 ) - ( x - 1 ) = ( x + 1 ) - [ f - g ( x + 1 ) ]
2 = ( x² + 1 ) - ( x + 1 ) ( x - 1 ) = g - ( x + 1 ) [ f - g ( x + 1 ) ]
( x - 1 ) = ( x ³ + x² + 2x ) - ( x² + 1 ) ( x + 1 ) = [ f - g ( x + 1 ) ]


Also setze ich halt die beiden gleich. ( Nein ich habe noch nicht durch 2 geteilt ^^)

g - ( x + 1 ) [ f - g ( x + 1 ) ] = ( x + 1 ) - [ f - g ( x + 1 ) ] = 2

Jetzt habe ich ldie unterstrichenen Teile einfach aufgelöst.

g - f ( x + 1 ) + g ( x + 1 ) ² = ( x + 1 ) - f + g ( x + 1 ) = 2

Als nächstes habe ich die unterstrichenen Teile von links nach rechts bzw. von rechts nach links gebracht. ( Also halt : - ( x + 1 ) ; - g ( x + 1 ) ; - g )

- f ( x + 1 ) + g ( x + 1 ) ² - ( x + 1 ) - g ( x + 1 ) = - f - g = 2

Als nächstes habe ich dann halt zum einen überall die Vorzeichen geändert ( also - 1 oder auch / - 1 ) und habe durch 2 geteilt , um auf die 1 zu kommen.

f ( x + 1 ) - g ( x + 1 ) ² + ( x + 1 ) + g ( x + 1 ) = f + g = 1

Und ich denke ich habe das ja hiermit geschafft.
h ist ja 1 und ich hätte als , rausbekommen. Was ja auch eine schöne Lösungszahl wäre. smile

Ich sollte ja angeben

h = f + g

1 = f + g
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reneee
1 = f + g

Das stimmt nicht und das sieht man auch auf den ersten Blick! Wieso machst Du keine Probe?

Außerdem ist das Gleichsetzen dort oben eine völlig willkürliche Vorgehensweise, die Dich nur vom Ziel entfernt. nimm die zweite Gleichung:
2 = ( x² + 1 ) - ( x + 1 ) ( x - 1 ) = g - ( x + 1 ) [ f - g ( x + 1 ) ]
teile sie durch zwei und sortiere nach f und g um.

Gruß,
Reksilat.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das jetzt mal gemacht.Und irgendwie scheine ichs nicht ganz gebacken zu bekommen.

2 = g - ( x + 1 ) { f - g ( x + 1 ) }

1 = g - ( x + 1 ) { f - g ( x + 1 ) }

1 = g - ( x + 1 ) ( f - gx - g )

1 = g - ( x + 1 ) + gx ( x + 1 ) + g ( x + 1 )

1 = g - fx - 0.5 + gx² + 0.5 + gx + 0.5

1 = g - fx + gx² + gx + 0.5

1 = - fx + gx² + gx + g + 0.5

Hier habe ich dann halt f und g ausgeklammert.

f ( - x ) + g ( x² + x + ) + 0.5


Jetzt habe ich aber leider das Problem, dass mir da hinten noch diese 0.5 übrig bleibt.
Wenn ich irgendwo einen Fehler gemacht oder sowieso nur Blödsinn gemacht habe, wäre ich über eine Rückmeldung sehr dankbar ^^^^

Edit : Probe mache ich jetzt noch

Edit 2 : Ok wie ich mir schon dachte stimmt die Formel nicht. unglücklich

Edit 3 : Und wie ich bemerkt habe ist nicht nur an der 0.5 da hinten etwas faul. verwirrt
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ggT von Polynomen.
wir haben mit gauß:

nun stellen wir 2 nach dem lemma dar:


also


division auf beiden seiten durch 2 sollte zum ergebnis führen.
Mathama Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal kurz zum Anfang zurück ist hier nicht ein Vorzeichenfehler oder check ich das nicht?^^

Zitat:
Meine bisherige Lösung Also zuerst einmal muss man halt die beiden durcheinander teilen anhand von Polynomdivision und die Reste aufschreiben. Das schreibe ich mal hier in kurz auf : ( x³ + x² + 2x ) : ( x² + 1 ) = x + 1 , R = x - 1 Also ist x - 1 = ( x³ + x² + 2x ) - ( x² + 1 ) ( x + 1 ) Dann halt weiter dividieren : ( x² + 1 ) : ( x + 1 ) = x - 1 , R = 2 Also ist 2 = ( x² + 1 ) - ( x + 1 ) ( x - 1 )






( x² + 1 ) : ( x + 1 ) = x - 1 <---du dividierst hier mit (x+1), aber muss da nicht ein (x-1) verwendet werden? Bin selbst nicht so sicher mit den Polynomen, aber ich meine schon.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathama
( x² + 1 ) : ( x + 1 ) = x - 1 <---du dividierst hier mit (x+1), aber muss da nicht ein (x-1) verwendet werden? Bin selbst nicht so sicher mit den Polynomen, aber ich meine schon.


ist richtig, der erste rest ist x-1 also muss g durch x-1 geteilt werden.
ist bei diesem polynom aber nicht soooo wichtig, da man die zerlegung x^2+1=(x-1)(x+1)+2 eigentlich kennen kann
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hey , also ich habe das schon selber bemerkt und die Aufgabe jetzt auch gelöst bekommen.Kein Wunder, dass ich nie zum richtigen Ergebnis kam. Vielen dank auf jedenfall.
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