Tunnelumfang minimal

Neue Frage »

vW Auf diesen Beitrag antworten »
Tunnelumfang minimal
Meine Frage:
Hallo
Ich habe folgendes Problem:

Ein Eisenbahntunnel hat eine Querschnittsfäche von 32m². Er hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Welche Maße hat der Tunnel, wenn nur daran gedacht wird, dass der Umfang und damit der Materialverbrauch minimal ist?

Meine Ideen:
Variabeln: siehe angefügtes Bild

Hauptbedingung:

Nebenbedingung:

umgeformte Nebenbedingung:

Zielfunktion:

umgeformte Zielfunktion:

Ableitung bilden:

Ableitung gleich 0 gesetzt: Seite

Frage: Nun wollte ich die Größe y ausrechnen, was unmöglich ist, wenn ich x in die umgeformte Nebenbedingung: einsetze.
Verbirgt sich ein Fehler in meiner Aufgabe?

Max
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast richtig gerechnet Freude

Und nein, es ist nicht unmöglich y zu berechnen, es kommt ja 0 heraus.

Das bedeudet, dass der Umfang genau dann minimal ist, wenn der Eisenbahntunnel ein Halbkreis mit dem Radius ist.
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr geil, danke dir vielmals. Aber in der Aufgabenstellung ist ja nach den Maßen gefragt. Wie ermittel ich jetzt die Variabel (Länge) x für eine Fläche von 32m²
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Die Länge x ist doch nicht variabel, sondern konstant! Eben genau deshalb, weil damit der minimale Umfang bei einer Fläche von 32m² erreicht wird.

Das sieht man ja auch daran, wenn man mal die Fläche mit dem berechneten Maß ausrechnet:



Und genau das soll ja rauskommen.
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Aber...: 32 soll ja die Fläche für den ganzen Tunnel sein. Sprich die komplett schraffierte (in meinem Bild) und nicht nur die vom Kreis.

Somit Fläche = Rechteck + Halbkreis = 32



und das passt dann wiederum nicht.....
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass ich die Straße, also den Tunnelboden in der Rechnung nicht erkennen kann?
Sollte es sein, dass der Boden brach bleibt und nicht zum Umfang gehört?
Mit x ist doch der Halbmesser gemeint, oder?

Wenn ich da was übersehen habe sollte, sorry schon jetzt an dieser Stelle.
Bitte um Aufklärung.

LGR
 
 
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, in der Schule haben wir uns darauf geeinigt, dass wir den Boden weglassen.
Genau x definiert den Radius des Kreises....
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Dann find ich das umso spannender, das Q das wusste, denn sonst hätte er bestimmt nicht die Richtigkeit zertifiziertsmile

Dafür ist der Mann zu gut.Prost
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein Nachtrag:
Ich hab' nämlich gestern-heute die Aufgabe mit dem gleichen Querschnitt gerechnet, allerdings als Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel.
Deshalb fiel mir das sofort auf, und ich konnte den Boden nicht einfach weglassen, sonst wäre die Suppe ausgelaufen...Big Laugh
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Aufgabe mit Boden rechne, bekomme ich immer eine negative Zahl heraus, aus der ich keine Wurzel ziehen kann...



Abgeleitet:



Hm, komisch...dann dient das "Rechteck" in der Aufgabenstellung wohl zur Verwirrung?
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es so ist, dann rechne ich sie halt auch mal.
Natürlich pflanze ich mich nicht in das Feld von QflaDen rein.
Ich sammle Extremwertaufgaben, weil ich ein Buch speziell für Sek.-Stufe 2 herausbringen möchte, weil gerade die Probleme darin liegen, die HB's und NB's richtig aufzustellen.
Das Ableiten machen auch schon "Generatoren", aber ich sehe immer den praktischen Sinn dahinter, also genau schnell und zuverlässig an die richtigen Maße zu kommen.

Danke für deine Aufmerksamkeit.

LGR
Q-fLaDeN Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von vW
Aber...: 32 soll ja die Fläche für den ganzen Tunnel sein. Sprich die komplett schraffierte (in meinem Bild) und nicht nur die vom Kreis.

Somit Fläche = Rechteck + Halbkreis = 32


Richtig. Und da y = 0 ist, ist auch die Rechtecksfläche 0. Also ist

Fläche = Rechteck + Halbkreis = 0 + Halbkreis = Halbkreis = 32
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn das so ist, kannst du mir ja mal ein paar zukommen lassen. Übe nämlich für meine Abschlussklausur.
Die Aufgabe beschäftigt mich jetzt schon seit knappen 4 Stunden Gott
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Also, hier habt ihr etwas zu tun:

Mit Tunnelboden ( ich komme nicht negativ)

r=2,9936, y=5,987

LGR

Müsste stimmen, wenn ich mich jetzt auf die Schnelle nicht grob verhauen habe...
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann werde ich mich dem Ganzen gleich wohl nochmal widmen müssen.
Wäre schön, wenn du morgen oder so noch mal reinschauen könntest falls ich fragen habe....

Vielen Dank schonmal für die nette Hilfe.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieder ein Nachtrag:

Ich habe früher, als mich die Aufgaben beschäftigten, nie danach gefragt, wieviel Zeit ich dafür benötigte, ich habe nur den Lernerfolg gesucht, egal wie lang, Hauptsache, ich konnte meine Lösung erklären, nachvollziehen und in die Praxis umsetzen.

Der Spaßfaktor, auch wenn's manchmal stressig war, stand für mich an erster Stelle. Ich könnte es auch Ehrgeiz nennen...

Prost

LGR
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Schon wieder ich...

Und zwar habe ich jetzt den Tunnel mit Boden berechnet.

Als Zielfunktion:

Diese abgeleitet:

und nach x aufgelöst:

Leider komme ich jetzt nicht mehr weiter. Ich denke, dass es an meiner Umformung hapert.

Versuch:
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nun.
Ich war auf die Maße, also das Ergebnis fixiert:
U ist klar mit x=r (Radius) und y=h (Höhe des Rechtecks)

U = Halbkreis + Rechteck - Boden (also einmal die Strecke 2r)
U = pi * r + 2h + 2r

A = 32 = pi*r²/2 + 2r*h woraus folgt: h=(64-pi*r²)/4r in Zielfunktion einsetzen

U=pi*r+2r + (64-pi*r²)/2r

Wenn du jetzt zusammenfasst, U ableitest und Null setzt, müsstest du auf mein Ergebnis kommen.

Übrigens.
Ich habe gerade deine Gleichung verglichen.
Setze ich genau den Radius ein, den ich gepostet habe, stimmt es mit deiner Ausführung überein.
Du musst also nur nach x umstellen.

LGR
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Genau an dieser Stelle komme ich nicht weiter....
Kann mir evt. jemand die Gleichung nach x auflösen?
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Mann, das glaub ich jetzt nichtverwirrt !

Beide Seiten mit x² multiplizieren. u.s.w.

Aber auch (so geht es schneller):

Der Rest ist rechnen ( Wurzelziehen nicht vergessen)

LGR
vW Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, jetzt hat es geklappt smile

Vielen Dank für die Hilfe.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

War doch klasse, oder!?smile

Hat mich auch gefreut.

Frohe Pfingsten

LGR
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »