(abelsche) Gruppen und Halbgruppen / Abbildungen |
| 30.10.2006, 16:53 | Increadable | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
| (abelsche) Gruppen und Halbgruppen / Abbildungen ich hab mal ein paar Fragen, zu verschiedenen Übungen, oder Sätzen aus den Vorlesungen, wo ich mir nicht sicher bin, ob meine Überlegungen stimmen. Vielleicht kann mir ja jemand das eine oder andere bestätigen. Ich schreib immer die Aufgabe, beziehungsweise die Aussage hin und dann, was ich mir dazu gedacht habe. Wir hatten mehrere Aufgaben dieser Art: - Wie viele bijektive Abbildungen von {1;2;3} nach {-1,0,1} gibt es? Ich würde jetzt behaupten es gibt drei, es ist doch so, dass bei der Bijektivität jedes Element der Definitionsmenge genau einmal auf genau ein Element der Bildmenge (also Zielmenge) trifft? Das würde bedeuten, bei der Aufgabe - Wie viele surjektive Abbildungen von {1,2,3,4,5} nach {1,2,3} gibt es, wären es 5 und bei - Wie viele Injektive Abbildungen von {1,2,3} nach {1,2,3,4,5} gibt es, wären es 3? Das kommt mir richtig, aber viel zu einfach vor... Dann wäre da noch das Problem, mit dem Ausdruck Verknüpfung. - Entscheiden Sie, ob die VErknüpfung * auf der jeweiligen Menge kommutativ, beziehungsweise assoziativ ist. - Auf Z^2 sei * definiert durch (a,b) * (c,d) = (a+c , b-d) - Auf Z sei * definiert durch x *y = x + y - xy - Auf {f Abb({1,2,3},{1,2,3}) | f ist surjektiv } sei * die Komposition von Abbildungen. Das versteh ich grad gar nicht, weil, ... ich weiß nicht mal wieso, ich hab das mit den Verknüpfungen nicht so ganz verstanden Und noch eine Frage wäre, wie man ein inverses Element zu einem anderen findet... Ich weiß nicht, wie ich herausfinde, ob {2z | z Z } mit der Addition eine abelsche Gruppe ist und N^2 mit der komponentenweisen Multiplikation eine Halbgruppe oder R^2 mit der komponentenweisen Addition eine Gruppe ist. Ich weiß es sind viele Fragen, aber wir haben das Thema gerade so gur wie abgeschlossen und ich versuche nochmal mir alles einzuprägen, damit ich ein Thema immer verstanden habe bevor ich ein neues bekomme... Vielleicht hat der eine oder andere ja zu etwas eine Antwort, wäre lieb. LG |
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| 30.10.2006, 17:01 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das erste Element kann auf 3 Elemente abbilden, das zweite auf 2 das dritte auf 1. Kommt Dir das bekannt vor? Würde es Dir mehr helfen wenn man die bijektion auf betrachtet 
Die bijektiven Abbildungen aus erstens sind partielle surjektive Abbildungen von {1,2,3,4,5} nach {1,2,3} entsprechend gibt es mehr als 5
Die bijektiven Abbildungen aus erstens sind wieder injektiv auf dem vergrößerten Bildraum und damit gibt es wieder mehr als 3
Überleg nochmal genau was Du alles worauf abbilden lassen kannst.
Was heißt assoziativ? Was heißt kommutativ? Und was ist überhaupt eine Verknüpfung ?
und zu Deinem letzten Problem: Was ist eine Gruppe? Wann heißt eine Gruppe abelsch? Was ist eine Halbgruppe? Wenn Dir das klar ist solltest Du es auch recht einfach hinkriegen den Kram zu zeigen
mfg |
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| 30.10.2006, 17:07 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: (abelsche) Gruppen und Halbgruppen / Abbildungen
Für das erste Element deiner Definitionsmenge hast du 3 Möglichkeiten das Bild zu wählen, für das zweite dann noch 2 Möglichkeiten und für das letzte nur noch eine. Macht wie viel?
Ist viel zu einfach und auch falsch. Schau dir erstmal an, was ich oben geschrieben habe, und löse dann die beiden Aufgaben ähnlich.
Einfach ausprobieren: Für die 1. Verknüpfung muss gelten: sowie eben das Assoziativgesetz. Einfach die Definitionen benutzen...
Siehe oben. Einfach schauen, ob alle Axiome der zu überprüfenden Struktur erfüllt sind oder ob eines verletzt ist. Einfach mal nach Schema F durchrechnen. EDIT: Na super, da war ich zu langsam, ist heute echt nicht mein Tag 
Gruß, therisen |
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| 30.10.2006, 17:37 | Increadable | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Das ging ja schnell, danke schonmal für viele hilfreiche Tipps. Was das mit den Abbildungen angeht habt ihr natürlich vollkommen recht, jetzt wo ihr es sagt ist mir das auch klar, dass es ja nicht einfach drei Abbildungen oder fünf geben kann... Also wäre es bei der bijektiven Abbildung von {1,2,3} nach {-1,0,1} 6 Möglichkeiten, aufgrund: 3 mal 2 mal 1 Die bijektive Abbildung von {1,2,3,4} nach {1,2,3} geht aber nicht, weil dann ja nicht die Injektivität gegeben wäre, oder? Da mehr Elemente in der Bildmenge als in der Zielmenge vorhanden sind...?!? Die surjektive Abbildung von {1,2,3,4,5} nach {1,2,3} wären dann 15 Möglichkeiten, da das erste Element 3 Möglichkeiten hat, ebenso wie das zweite Element usw!? [Edit: nicht 15 sondern 3 mal 3 mal 3 mal 3 mal 3 also 3^5 = 243 oder] Und die injektive Abbilungen von {1,2,3} nach {1,2,3,4,5} wären 5 mal 4 mal 3 Möglichkeiten, also 60 Möglichkeiten!? Ich glaube das habe ich verstanden (falls das so stimmt) Wobei ich mir dann bei den anderen Aufgaben dieser Art nicht mehr sicher bin. Zum BEispiel war die FRage nach der Anzahl der Relationen einer vierelementigen Menge, das müssten aber doch 2^16 sein, also 65536 Relationen sein, oder? Ebenso die PArtitionen einer dreielementigen Menge, wären demnach 9? Und es gibt zwei Äquivalenzrelationen auf eine vierelementige Menge, oder? Sorry, ihr habt mich grad etwas verunsichert =) kommutativ bedeutet ja nur, dass man die Elemente beliebig vertauschen kann ohne die Aussage zu verändern, das wäre also zum Beispiel bei jedem beliebigen Produkt der Fall. und assoziativ bedeutet, dass man Klammern beliebig umsetzten kann, ebenfalls ohne die Aussage zu verändern. Eine VErknüpfung ist gegeben durch das kartesische Produkt. Aber wie mir die Definitionen jetzt wirklich helfen sollen kann ich mir noch nicht ganz vorstellen, ebenso wie bei dem Thema der Gruppe. Das * in den Aufgaben bedeutet also immer das zwischen den beiden Elementen ein karthesisches Produkt aufgestellt werden muss? Also zB (a,b) X (c,d) oder wie? Sorry, ich versteh die Aussagen der Aufgaben immer noch nicht ganz... |
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| 01.11.2006, 12:27 | Liza | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: (abelsche) Gruppen und Halbgruppen / Abbildungen
Also, wenn ich kommutativ, assoziativ und alles richtig verstanden habe, müsste es bei der letzten Aufgabe assoziativ und kommutativ sein, eben aufgrund der Surjektivität. Wenn nicht verbessert mich ^^ |
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| 01.11.2006, 12:45 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Nein. Die letzte Aufgabe handelt von der symmetrischen Gruppe . Denn die Surjektivität ist in diesem Fall äquivalent zur Bijektivität. Und es ist für nicht kommutativ! Ein Gegenbeispiel steht in dem von mir angegebenen Link. Gruß, therisen |
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| 01.11.2006, 13:45 | Liza | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Natürlich 
das mit der Bijektivität habe ich gar nicht beachtet... Da hast du natürlich vollkommen recht, also ist dies nicht kommutativ, aber assoziativ.Ebenso wie bei dem ersten, das ist assoziativ und das zweite ist gar nichts, glaube ich. Also zur Erklärung: wenn ich (a,b) * (c,d) aufspalte und ausmultipliziere, dann bekomme ich egal wie die KLammern gesetzt werden immer (a+c , b-d) , durch die Differenz jedoch kann ich b und d nicht beliebig vertauschen, also ist dies nicht kommutativ. bei dem zweiten passt beides nicht, ich kann keine KLammern beliebig setzen, durch die Differenz würde die Aussage verändert werden ebenso wie ich keine Elemente vertauschen kann. |
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Unwissenschaftlich!