Lineare Algebra - Linearformen

24.05.2010, 00:49

sebi32

Lineare Algebra - Linearformen

Guten Abend.

$\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sei ein Vektorraum der Dimension $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$

Beweisen Sie:
$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Linearformen $\begin{eqnarray*} \phi_1,...,\phi_k \in V^*=\mathrm{Alt}^1V \end{eqnarray*}$ sind genau dann linear unabhängig wenn $\begin{eqnarray*} \phi_1 \wedge...\wedge\phi_k\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Könnt ihr mir bitte helfen??
Ich habe keine Ahnung wie ich man das beweisen soll.
(bin erst im 2. Semester und Linearformen sind für mich sehr abstrakt und schwierig)
Ich weiss nur, dass es was mit der Determinante zu tun haben muss.
Bitte gebt mir einen Lösungshinweis.

Gute Nacht.
sebi32

24.05.2010, 00:59

Airblader

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Edit #2: Habe das mal entfernt, nachdem das sowieso nicht sehr sinnvoll war.

P.S.: Was ist an Linearformen so abstrakt? Das ist doch einfach nur eine normale lineare Funktion, die eben vom Vektorraum in den Körper abbildet.

air

24.05.2010, 11:23

Leopold

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@ Airblader

Mir scheint, du hast das alternierende Produkt ignoriert und da irgendwie Kommata gelesen. Mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Alt}^p V \end{eqnarray*}$ sind wohl die alternierenden $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -linearen Abbildungen gemeint. Für $\begin{eqnarray*} p=1 \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung des Alternierens leer, so daß da kein Unterschied zu Linearformen besteht: $\begin{eqnarray*} V^{*} = \operatorname{Alt}^1 V \end{eqnarray*}$ .

@ sebi32

Man kann zu den Kontrapositionen übergehen. Dann lautet die Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \varphi_1, \ldots, \varphi_k \ \ \mbox{linear abhängig} \ \ \Leftrightarrow \ \ \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k = 0 \end{eqnarray*}$

Die Richtung von links nach rechts ist die einfachere. Sind die Linearformen nämlich linear abhängig, so gibt es eine Linearform, die sich als Linearkombination der anderen schreiben läßt, ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei es die mit dem Index $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ . Es gibt dann Skalare $\begin{eqnarray*} \lambda_1, \ldots, \lambda_{k-1} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \varphi_k = \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j \varphi_j \end{eqnarray*}$

Und jetzt setze in $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_{k-1} \wedge \varphi_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ die obige Summe ein, verwende die Distributivität des Dachproduktes und die Eigenschaft des Alternierens.

24.05.2010, 12:50

Airblader

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Zitat:

Original von Leopold
Mir scheint, du hast das alternierende Produkt ignoriert und da irgendwie Kommata gelesen.

Ja, da habe ich gestern tatsächlich irgendwas missverstanden. Augenzwinkern

Zitat:

Mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{Alt}^p V \end{eqnarray*}$ sind wohl die alternierenden $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -linearen Abbildungen gemeint. Für $\begin{eqnarray*} p=1 \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung des Alternierens leer, so daß da kein Unterschied zu Linearformen besteht: $\begin{eqnarray*} V^{*} = \operatorname{Alt}^1 V \end{eqnarray*}$ .

Das habe ich mir durchaus so gedacht. Ich hatte nur nachgefragt, eben weil es ja keinen Unterschied gibt bzw. "alternierend" bei 1-fachen (Multi-)Linearformen nur bedingt sinnvoll ist. Augenzwinkern

air

24.05.2010, 13:27

sebi32

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Hallo,

danke für eure Antworten. Die logische Umkehrung zu beweisen, find ich auch besser, deshalb mach ich es auch so. Ich hab nochmal im Skript nachgeguckt und entdeckt, dass das Dachprodukt von Linearformen $\begin{eqnarray*} \in V^* \end{eqnarray*}$ in bestimmter Weise definiert ist, nämlich durch:

$\begin{eqnarray*} (\phi_1 \wedge ... \wedge \phi_k)(v_1,...,v_k):=\det \begin{pmatrix} \phi_1(v_1) & \cdots & \phi_1(v_k)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \phi_k(v_1) & \cdots & \phi_k(v_k) \end{pmatrix} \quad \forall\ v_1,...,v_k \in V \end{eqnarray*}$

Angenommen, $\begin{eqnarray*} \phi_1, ... ,\phi_k \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig. Dann kann ich $\begin{eqnarray*} \phi_k \end{eqnarray*}$ , unter Verwendung von Leopolds Hinweis, darstellen als
$\begin{eqnarray*} \phi_k = \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j \phi_j \end{eqnarray*}$ und ich erhalte

$\begin{eqnarray*} (\phi_1 \wedge ... \wedge \phi_{k-1} \wedge \phi_k)(v_1,...,v_k)= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (\phi_1 \wedge ... \wedge \phi_{k-1} \wedge \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j \phi_j)(v_1,...,v_k) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\det \begin{pmatrix} \phi_1(v_1) & \cdots & \phi_1(v_k)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j \phi_j (v_1) & \cdots & \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j \phi_j(v_k) \end{pmatrix} \quad \forall\ v_1,...,v_k \in V \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich diese Summen irgendwie aus der Determinante herausziehen. Ich weiß nicht genau, wie man das machen muss, da man evtl. das Signum von Permutationen berücksichtigen muss. Oder kann ich jetzt schon sagen, dass die Determinante Null ist, weil die Zeilen linear abhängig sind?

Bei der anderen Richtung ("<=" ) nehme ich an, dass die Linearform $\begin{eqnarray*} \phi_1 \wedge ... \wedge \phi_k \end{eqnarray*}$ gleich null ist und somit diese Determinante (s.o.) gleich null ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix linear abhängig sind. Also müssen die Linearformen $\begin{eqnarray*} \phi_1,...,\phi_k \end{eqnarray*}$ linear abhängig sein? Muss ich das noch genauer begründen? Fehlen da irgendwelche Zwischenschritte in der Begründung?

Vielen Dank!
sebi32

24.05.2010, 15:29

Leopold

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Offenbar ist die letzte Zeile der Determinante eine Linearkombination der übrigen Zeilen. Somit verschwindet die Determinante.
Aber du hättest das gar nicht bis zur Determinanten herunterrechnen brauchen:

Zitat:

Original von Leopold
Und jetzt setze in $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_{k-1} \wedge \varphi_k \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \varphi_k \end{eqnarray*}$ die obige Summe ein, verwende die Distributivität des Dachproduktes und die Eigenschaft des Alternierens.

$\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_{k-1} \wedge \varphi_k = \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_{k-1} \wedge \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j \varphi_j = \sum_{j=1}^{k-1} \lambda_j \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_{k-1} \wedge \varphi_j \end{eqnarray*}$

Und wieso verschwinden hier alle Summanden der Summe?

Zitat:

Original von sebi32
Bei der anderen Richtung ("<=" ) nehme ich an, dass die Linearform $\begin{eqnarray*} \phi_1 \wedge ... \wedge \phi_k \end{eqnarray*}$ gleich null ist und somit diese Determinante (s.o.) gleich null ist. Das ist genau dann der Fall, wenn die Zeilen- bzw. Spaltenvektoren der Matrix linear abhängig sind. Also müssen die Linearformen $\begin{eqnarray*} \phi_1,...,\phi_k \end{eqnarray*}$ linear abhängig sein? Muss ich das noch genauer begründen? Fehlen da irgendwelche Zwischenschritte in der Begründung?

Du behauptest sehr viel, aber warum sollte das so sein?
Mache es hier umgekehrt: Nimm an, die $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ seien linear unabhängig, und folgere daraus, daß $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein muß. Es ist also die Existenz von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, \ldots, v_k \in V \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, so daß

$\begin{eqnarray*} (\varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k) (v_1,\ldots,v_k) \neq 0 \end{eqnarray*}$ (z.B. $\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$ )

ist. Es genügt daher, $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, \ldots, v_k \end{eqnarray*}$ zu finden, so daß $\begin{eqnarray*} \varphi_i (v_j) = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ (Kronecker-Symbol) ist. Dann liefert deine Determinantenformel das gewünschte Ergebnis.
Und die $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Vektoren findet man, weil die Matrix $\begin{eqnarray*} A = (a_{ij})_{1 \leq i \leq k , 1 \leq j \leq n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_{ij} = \varphi_i(e_j) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} e_1, \ldots, e_n \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist, maximalen Rang $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hat ( $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$ ). Wieso?
Genaueres dazu wäre noch auszuführen. Aber du sollst ja auch noch etwas zu tun haben ...

25.05.2010, 11:43

sebi32

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Hallo nochmal,

Zitat:

Nimm an, die $\begin{eqnarray*} \varphi_i \end{eqnarray*}$ seien linear unabhängig, und folgere daraus, daß $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein muß. Es ist also die Existenz von $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, \ldots, v_k \in V \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, so daß

$\begin{eqnarray*} (\varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k) (v_1,\ldots,v_k) \neq 0 \end{eqnarray*}$ (z.B. $\begin{eqnarray*} = 1 \end{eqnarray*}$ )

ist. Es genügt daher, $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1, \ldots, v_k \end{eqnarray*}$ zu finden, so daß $\begin{eqnarray*} \varphi_i (v_j) = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ (Kronecker-Symbol) ist.

Das verstehe ich nicht wirklich, denn wenn $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k \neq 0 \end{eqnarray*}$ gelten soll, dann muss doch

$\begin{eqnarray*} (\varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k) (v_1,\ldots,v_k) \neq 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt sein und zwar für alle Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_k \in V \end{eqnarray*}$ und nicht nur für bestimmte, oder etwa nicht?

Ich tippe mal das ab, was in meinem Skript steht:

" $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sei ein end. dimensionaler Vektrraum. Es seien $\begin{eqnarray*} \varphi_1,...,\varphi_k \in V^*=\mathrm{Alt}^1(V) \end{eqnarray*}$ . Dann definieren wir $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge... \wedge \varphi_k \in \mathrm{Alt}^k(V) \end{eqnarray*}$ durch:

$\begin{eqnarray*} (\varphi_1 \wedge... \wedge \varphi_k)(v_1,...,v_k) = \det \begin{pmatrix} \varphi_1(v_1) & \cdots & \varphi_1(v_k)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \varphi_k(v_1) & \cdots & \varphi_k(v_k) \end{pmatrix} \quad \forall\ v_1,...,v_k \in V \end{eqnarray*}$

Aus den Eigenschaften der Determinante folgt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge... \wedge \varphi_k \end{eqnarray*}$ eine alternierende $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ - Form ist."

Viele Grüße,
sebi32

25.05.2010, 15:24

sebi32

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Mann, bin ich doof :-)
Leopold, du hast Recht. Ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k \end{eqnarray*}$ nicht die Null-Form ist. Die Null-Form ist eine Abbildung, die allen eingesetzten Vektoren den Wert null zuordnet. Also reicht es in der Tat, zu zeigen, dass k Vektoren existieren, s.d. nicht null herauskommt, wenn man diese Vektoren in $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \wedge \ldots \wedge \varphi_k \end{eqnarray*}$ einsetzt.
Diese Vektoren muss ich also gar nicht explizit angeben, sondern nur schreiben, dass $\begin{eqnarray*} \varphi_i (v_j) = \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ gelten soll - somit sind die Vektoren eindeutig bestimmt. Das ist eine schöne Idee; ich wäre da nicht alleine draufgekommen, es so zu machen. Die Determinante ergibt dann 1. Ich hab das nun -trotz Anfangsschwierigkeiten- verstanden.
Dankeschön für die Hilfe!

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