Abbildung von Mengen -> Ergebnisse richtig ?

30.10.2006, 18:32

SilverBullet

Abbildung von Mengen -> Ergebnisse richtig ?

Hi wäre super wenn mal jemand schnell die Lösung anschaut und sagt ob es so richtig ist.

Aufgabe. Sei f: X->Y eine Abbildung zwischen Mengen.M1,M2 C X und N1,N2 C Y

c)
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(N1 \cup N2) = f^{-1}(N1) \cup f^{-1}(N2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1}(N1 \cup N2) = \{x \in X \exists !y: y \in (N1 \cup N2) \land x = f^{-1}(y)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{x \in X \exists !y: y \in (N1 \lor N2) \land x = f^{-1}(y)\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{x \in X \exists !y: (y \in N1 \land x=f^{-1}(y)) \lor (y \in N2 \land x=f^{-1}(y))\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \{x \in X \exists !y: (y \in N1 \land x=f^{-1}(y)) \lor \exists !y: (y \in N2 \land x=f^{-1}(y))\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \rightarrow f^{-1}(N1) \cup f^{-1}(N2) \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 18:45

SilverBullet

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re
Die andere Aufgabe ist $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(Q))= Q \end{eqnarray*}$

Das zu zeigen müsste doch eigentlich einfach sein oder ?
Kann ich das so begründen , dass $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f = id \end{eqnarray*}$ , so dass gilt $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(Q))= Q \end{eqnarray*}$ .

Kann das jemand in Worte fassen ?
Ich weiß nicht wie ich das schreiben soll Augenzwinkern

Die Umkehrabbildung von Q wird durch f wieder zurück umgegekehrt auf Q sodass Q = Q gilt ?!?!

30.10.2006, 19:06

tigerbine

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RE: re
Was ist denn hier Q? Die Bildmenge, oder? Gibt es nochmehr Angaben über f?

Zunächst muss f ja mal eine gewisse Eigenschaft haben, damit die Umkehrfunktion überhaupt existiert.

Danach stellt sich mir die Frage nach Definitionsmenge D und Bildmenge Q.

Dann ist
$\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow Q \end{eqnarray*}$ bijektiv und somit gilt

$\begin{eqnarray*} f^{-1}: Q \rightarrow D \end{eqnarray*}$ ebenfalls bijektiv

Bedenke, dass Du die Abbildungen nicht einfach vertauschen kannst!

$\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} : Q \rightarrow D \rightarrow Q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{-1} \circ f : D \rightarrow Q \rightarrow D \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 19:14

SilverBullet

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re
Sorry das versteh ich nun garnicht unglücklich

Also sei f:X->Y eine Abbildung zwischen Mengen.
Q ist Teilmenge von Y (Q C Y)

wenn die Aufgabe $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(Q))= Q \end{eqnarray*}$ lautet dann zeigt das doch dass f bijektiv ist da sonst keine Umkehrfunktion von f existieren würde oder ?
Da f nun bijektiv ist folgt doch aus der funktion :
Ich bilde Q auf X ab und dann dann bilde ich Q wieder auf Y ab oder ?

Wie sieht es eigentlich mit der ersten Aufg. oben aus ? Ist die so richtig ?

30.10.2006, 19:27

tigerbine

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RE: re
Da $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert, muss f bijektiv sein. Das solltest du in deiner Antwort erwähnen. Daraus folgt nahmlich die ganze Aufgabe.

Also wir starten mit der Abbildung in Q c Y. Dann bilden wir mit $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ nach D c X ab. Und dann gehts mit f wieder zurück nach Q.

Warum erreichst Du dann wieder die komplette Menge Q?

1 habe ich noch nicht gelesen.

30.10.2006, 19:49

tigerbine

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RE: re
Zu 1. Da musste ich erstmal "v" nachschlagen. Da damit aber auch die Schnittmenge erfasst (Aso y in N1 und N2) wird dürfte das so stimmen.

30.10.2006, 19:54

SilverBullet

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re
Warum erreichst Du dann wieder die komplette Menge Q?

Na weil das doch eine Bijektive Abbildung ist oder ? Also jedem y ist genau ein x zugeordnet.

30.10.2006, 19:59

tigerbine

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RE: re
Richtig. Da wir nicht Wissen, wie sich die Machtigkeiten von X, Q verhalten, (Ist Q = Im(f)?) habe ich noch D c X eingeführt. Kannst Du jetzt den Beweis nochmal versuchen?

Wenn ihr schon beweisen habt, dass $\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1} = id_Q \end{eqnarray*}$ ist, kannst Du das auch nehmen. Aber die aufgabe klang so, als sollte man das erst "nachvollziehen"

Es ist übrigens: $\begin{eqnarray*} f^{-1} \circ f = id_D \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 20:44

SilverBullet

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re
Ok ich probier es nochmal vollständig:

Also

Sei f: X->Y eine Abbildung zwischen Mengen.M1,M2 C X und N1,Q C Y

Zu zeigen : $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(Q))= Q \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ existiert, muss f bijektiv sein.

In der Vorlesung gezeigt und bewiesen wurde, dass
$\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f = id \end{eqnarray*}$ ist

Für unsere Aufgabe heißt das :
Für $\begin{eqnarray*} Q \in Y sodass f^{-1}(Q) \end{eqnarray*}$ unser Q nach X abbildet.
f(Q) bildet X nun wieder auf Q ab.

Daher gilt : $\begin{eqnarray*} f(f^{-1}(Q))= Q \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 20:54

tigerbine

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RE: re

Zitat:

Original von SilverBullet

In der Vorlesung gezeigt und bewiesen wurde, dass

$\begin{eqnarray*} f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f = id \end{eqnarray*}$ (*)

ist

Wobei ich hier nocheinmal nachfragen würde, da es sich wie oben geschrieben um unterschiedliche Identitäten handelt.

Für Q c Y bildet $\begin{eqnarray*} f^{-1}: Q \rightarrow D \end{eqnarray*}$ c X ab. Da du nicht weißt , ob Im(f) = Q gilt. Es könnte Q also auch nur eine Teilmenge von Im(f) seien.

Wegen (*) folgt dann die Behauptung. Es wir also D wieder bijektiv nach Q abgebildet. Also $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow Q \end{eqnarray*}$

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