Isomorphie von Ringen

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Reneee Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphie von Ringen
Also erstmal Nabend.

Ich sitze vor einer Aufgabe und mein Leben wird einfach nicht mehr schön.

Aufgabe

Es seien a und b zwei teilerfremde positive ganze Zahlen. Zeigen Sie, dass der Ring / a b isomorph zum Produkt der Ringe ( / a ) X ( / b ) ist.

Hinweis: Konstruieren Sie einen Ringhomomorphismus : / a b ------> ( / a ) X ( / b )
Zeigen Sie, dass ein Isomorphismus ist.


Also normalerweise gebe ich immer irgendwelche Ideen ab oder auch nur meine Lösungen, um sie überprüfen zu lassen.
Aber hier muss ich mich echt geschlagen geben.Ich habe nicht den Hauch einer Ahnung, wie ich einen Homomorphismus bilde.Danach zu überprüfen, ob diese Isomorph ist wäre vielleicht ok.Aber das Erstellen....
Kann mich bitte jemand Schritt für Schritt zur Lösung bringen?

Vielen dank für eure Zeit und ich weiß , es ist spät. Augenzwinkern
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hm vielleicht doch eine Idee :

Könnte ich den Ringhomomorphismus so bilden?

|-------> X
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Isomorphismus ist richtig. Wenn man es "ordentlich" ausdrücken will, kann man diese Abbildung auch über

definieren. (im Prinzip sind unsere Definitionen identisch)
Zeige, dass die Abbildung wohldefiniert und ein Ringhomomorphismus ist.
Zeige dann, dass für oder diese Abbildung ein Isomorphismus ist.
Dann zeige es für .
Da du es dann mit endlichen Ringen zu tun hast, genügt es Injektivität ODER Surjektivität zu zeigen, je nach Geschmack.

Falls ihr den chinesischen Restsatz bereits behandelt habt, kannst du das Problem auch damit erledigen.

Gruß,
Carsten
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hey , also ich werde mich gleich nach Aufstehen mal daran machen. smile

Und die Überschrift dieser Aufgabe ist " Der Chinesische Restsatz "

Also soll ich diesen Restsatz wohl durch diese Übungsaufgabe kennen lernen. ^^
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Wahrscheinlich, oder ihr habt den Restsatz bereits behandelt und sollt ihn anwenden.

Bis dahin, gute Nacht und guten Schlaf Wink
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Hey , also ich habe mir das jetzt ml angesehen und ich scheiter schon am Start.

Wie kann ich denn zeigen, dass es wohldefiniert ist? ( Heißt doch, dass es sozusagen für alle Zahlen gilt? )
Und ich schaffe es auch nicht zu zeigen, dass es ein Homomorphismus ist.
Ich habe hier meine 3 Kriterien, welche halt für Ringhomomorphismus gelten muss.

- f ( 1 ) = 1

- f ( r + r` ) = f ( r ) + f ( r`)

- f ( r * r` ) = f ( r ) * f ( r`)

Aber ich weiß nicht, wie ich das auf meine Abbildung hier anwenden kann.

Was ist denn zum Beispiel f ( 1 ) ?
 
 
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Wohldefiniert heißt - die Definition deiner Abbildung ist unabhängig vom Repräsentanten in . D.h. jeder Repräsentant einer Nebenklasse geht aufs selbe Bild.
Den Ringhomomorphismus bekommst du dann fast geschenkt.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe mir gerade sagen lassen , dass ich nicht mehr zeigen muss, dass diese Abildung ein Homomorphismus ist, weil wir genau diese Abildung bereits in einer anderen Übung hatten. ( Daher habe ich diese Abildung ja auch hihi smile )

Es fehlt mir nur noch zu wissen , wie ich denn nun die Surijektivität oder die Injektivität zeigen kann. Dazu habe ich leider nicht sehr viel in meinem Skript gefunden.

Surijektivität bedeutet ja , dass sozusagen jedes Element einmal getroffen wird. Wahlweise auch mehrere male. ^^

Injektivität bedeutet , dass etwas nur einmal getroffen wird.

Wir haben bisher zu Ringen behandelt :

den Kern , Nullteiler , der Grad , euklidischer Ring , Ideale in euklidischen Ringen

Wenn mir jemand einen Tipp geben könnte , was ich davon zum Beweis für Injektivität oder Surijektivität benutzen könnte , würde ich mir nochmals alle Mühe geben. Obwohl ich irgendwie die Ideale in verdachte habe. Fragt sich aber halt für welches von beiden. X_X

Mir fällt gerade ein , dass wir auch die Ordnung und die Kardinalität besprochen haben. Schon etwas länger her. Aber müsste ich nicht erstmal noch zeigen , dass bei de Seiten gleich viele Elemente haben?

Denn wen die beiden endliche Mengen sind müssen sie zuzätzlich ja auch noch gleichmächtig sein, damit es reicht surijektivität oder injektivität für die Bijektivität zu zeigen.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Injektivität ist hier wohl am leichtesten zu zeigen:
Wenn du die Fälle oder gesondert behandelt hast, kannst du so vorgehen:
Seien teilerfremd. Dann geht nur die Nebenklasse unter besagtem Homomorphismus auf .
Wenn auf geht, dann bedeutet das doch, dass k sowohl durch a als auch durch b teilbar ist.
a und b sind aber teilerfremd. Was folgerst du daraus für k?

EDIT: Ja, du hast Recht, du müsstest für dieses Argument die Kardinalität mit einbeziehen, das bekommst du allerdings mit elementaren Argumenten hin (wieviele Elemente enthält für ?).
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist k das Produkt aus a und b?

a b = k


Edit : Also würde das bedeuten , dass wir ein zwetes Element gefunden haben , dass darauf abgebildet werden kann , obwohl es nur 0 + abZ sein kann.
Also ein Widerspruch und es kann nur eins getroffen werden, was ja Injektivität bedeutet.
So richtig?
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ne ich glaub ma fast , dass habe ich mir jetzt zu leicht gemacht.
Das nur eins abgebildet werden kann wusste man ja vorher schon. Daraus Injektivität schließen zu können ist wohl noch zu früh. ^^
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, k muss dann einfach durch ab teilbar sein, dann ist , und damit hast du bewiesen, dass die 0 nur ein Urbild besitzt.
Durch ein Mächtigkeitsargument erhältst du dann die Bijektivität.
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt da hast du natürlich recht. ^^

Ok nur noch das mit der Gleichmächtigkeit.

Kommen wir also mal zu deiner Frage an mich zurück

Wie viele Elemente enthält / n für n > 0?
Gute Frage , hmmm .
Bei der erwähnten anderen Übung kam auch diese Frage auf. Allerdings konnte ich diese schon da nicht beantworten und war damals nicht in der Übung.
Ich weiß nur , dass man diese Menge ja auch als Menge aller Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation sehen kann. Also hatten wir halt mit einer bestimmten ÄR so.Aber das hat mir nicht weiter geholfen.Aber wenn ich raten müsste würde ich sagen unendlich.Begründen kann ichs aber nicht , ist irgendwie nur so ein Bauchgefühl. ^^

Daher wäre es nett , wenn du mir auf die Sprüngen helfen könntest. smile
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt gerade ein, dass wie die Mengen als endlich ansehen und jetzt behaupte ich hier, dass die Mächtigkeit unendlich sein soll. Schon ein starkes Stück von mir einen solch großen Widerspruch zu erbringen. smile
Reneee Auf diesen Beitrag antworten »

Ah moment Mal , ich glaube doch fast , dass die Mächtigkeit n ist.
akechi90 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast es erfasst smile
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