Matrizen und Unterräume

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25.05.2010, 19:16	pytago	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen und Unterräume hallo, Die Aufgabe lautet: Es sei A element R^2x2. Beweisen oder wiederlegen Sie: a) Die Menge L:={X element R^2x2 \| Rang X <=1} ist ein Unterraum von R^2x2 b) Die Menge M:={X element R^2x2 \| AX = XA} ist ein Unterraum von R^2x2 c) Die Menge N:={X element R^2x2 \| X²=0} ist ein Unterraum von R^2x2 zu a) stimmt meiner Meinung nach nicht, denn X hat 2 Spalten und 2 Zeilen und kann daher auch den Rang 2 haben. Stimmt das? zu b) stimmt meiner Meinung nach. Muss ich hier dann alle Unterraumkriterien durchgehen?? zu c) stimmt wenn X nur Nullen enthält oder?
25.05.2010, 19:20	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen und Unterräume Erstens: Es heißt widerlegen ohne e. Und zweitens hast du die Aufgabenstellung und Mengen falsch verstanden. Die erste beinhaltet alle Elemente der 2x2-Matrizen über R, die den Rang 1 oder 0 haben. Die Matrizen mit Rang 2 sind garnicht in der Menge enthalten. Die Aufgabe ist jetzt zu zeigen oder widerlegen, dass das ein Unterraum von R^(2x2) ist. Dafür musst du gucken welche Kriterien für einen Unterraum gelten müssen. Welche wären das?
25.05.2010, 19:31	pytago	Auf diesen Beitrag antworten »
oh, sorry! ^^ natürlich widerlegen! die Unterraumkriterien sind: 1) a, b element UR, a+b muss auch element UR sein 2) a mal Lambda mit Lambda elemet R muss auch element UR sein 3) Null muss enthalten sein zu 3) ist erfüllt, denn die Null-Matrix hat den Rang kleiner gleich 1 zu 2) durch multiplikation verändert sich der Rang einer Matrix doch nicht. Also ist das auch erfüllt zu 1) ein Element mit Rang 1 + ein Element mit Rang 1 hat immer noch den Rang 1. Und ein Element mit Rang 0 + ein Element mit Rang 1 hat auch nicht mehr als Rang 1. etwa so?
25.05.2010, 19:41	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
IfindU scheint offline zu sein... Ja, das wären die Kriterien. Und ja, die 0 ist enthalten. Allerdings stimmen deine anderen beiden Aussagen nicht. Definiere $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} \in \mathcal L \end{eqnarray}$ , was ist dann $\begin{eqnarray} Rg(A+B),~Rg(A\cdot B) \end{eqnarray}$ ?
25.05.2010, 20:01	pytago	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, ok stimmt! Rg (A+B)=2 und Rg(A mal B)= 0 oder? und durch Rg (A+B) habe ich die Aussage ja widerlegt stimmts?
25.05.2010, 20:05	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit ist das ganze widerlegt
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25.05.2010, 20:37	pytago	Auf diesen Beitrag antworten »
ok super! zu b) weiß ich gar nicht wie ich das zeigen soll. zu c) denke ich, dass die 0 enthalten ist, denn wenn X= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ stimmt X²=0
25.05.2010, 20:39	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die 0 ist enthalten. Wie siehts mit der Abgeschlossenheit aus?
25.05.2010, 20:42	pytago	Auf diesen Beitrag antworten »
bzgl. der Addition kann ich doch 2 matrizen B und C finden, für die (B+C)²=0 nicht gilt oder?
25.05.2010, 20:43	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du das kannst, wäre das gut, ja
25.05.2010, 20:50	pytago	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, ich versuchs mal: sei A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und B= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann ist A+B= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 116 & 134 \\ 180 & 224 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ 0
25.05.2010, 20:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber A und B sind doch gar nicht in deiner Menge enthalten Du musst zwei Matrizen A und B finden, sodass A²=0 und B²=0 gilt, denn nur dann liegen die in deiner Menge. Wenn dann $\begin{eqnarray} (A+B)^2\neq 0 \end{eqnarray}$ ist, dann hast du die Behauptung widerlegt.
26.05.2010, 12:06	pytago	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ja stimmt... leider finde ich keine! immer nur die Nullmatrix! aber mit der kann ich es ja nicht widerlegen! Hast du einen Tipp für mich?
26.05.2010, 13:52	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Na, so viele 2x2 Matrizen gibt es ja nicht, die in Frage kommen, versuchs mal mit $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .
26.05.2010, 14:15	pytago	Auf diesen Beitrag antworten »
ok das hab ich jetzt gelöst! für b habe ich die 1 unten links hin! danke! zur b) das die 0 enthalten ist würde ich zeigen in dem ich für A die Nullmatrix einsetze die addition würde ich zeigen indem ich (A+B)X=X(A+B) zeige und die Multiplikation würde ich zeigen indem ich LambdaAX=LambdaXA zeige oder?
26.05.2010, 14:21	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
A ist eine beliebige, fest gewählte Matrix, also kannst du für A nicht einfach die Nullmatrix wählen, wähl dir lieber X als die Nullmatrix und zeig AX=XA. Multiplikation sollte stimmen (wenn du das korrekt gezeigt hast), überleg aber nochmal was du beim letzten Kriterium zeigen musst (A ist wie gesagt eine beliebige, fest gewählte Matrix).

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