V ist abelsche gruppe und Körper über F2

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AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »
V ist abelsche gruppe und Körper über F2
Meine Frage:
Meine Aufgabe ist folgende:
Sei (V,+) eine Gruppe mit neutralem Element e. Es gelte für alle v aus V ,
dass v + v = e.
(i) Beweisen Sie, dass (V,+) eine abelsche Gruppe ist!
(ii) Zeigen Sie, dass V ein Vektorraum über dem K¨orper F2 ist, wobei
die Skalarmultiplikation durch 1 · v := v und 0 · v := e definiert sei.

Meine Ideen:
zu i)
ich bin bisher soweit:
v1+v2=e+(v1+v2)=v2+v2+(v1+v2)=v2+(v2+v1)+v2
Jetzt weiss ich nicht wie ich die v2 wegbekommen soll. Da die kommutativität noch nicht bewiesen ist kann ich ja nicht v2+v2+(v2+v1)=v2+v1 schreiben.


zu ii)
Gehe ich richtig in der Annahme dass F2={0,1} ist? Wenn ja dürfte die Aufgabe ja nicht schwer sein.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Tach gesagt! Wink

zu i): Es ist ja insbesondere auch (v1+v2)+(v1+v2)=e Augenzwinkern

Zu ii): Ja, bezeichnet im allgemeinen den Körper der Restklassen modulo 2.

Gruß,
Reksilat.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

zu i)
ich habe jetzt folgendes:
v1+v2 = (v2+v1)+(v2+v1)+(v1+v2) = (v2+v1)+v2+e+v2 = v2+v1+v2+v2 = v2+v1
ich hoffe das stimmt soweit.
Trotzdem verstehe ich nicht so richtig warum v1+v2+v1+v2=e ist.

Danke schonmal soweit, ich mache mich dann jetzt an teil ii) Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, (v1+v2) ist ein normales Gruppenelement und da die Eigenschaft v+v=e für alle Elemente aus V gilt, ist auch (v1+v2)+(v1+v2)=e erfüllt.

Rest stimmt. Freude
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

ok leuchtet ein Augenzwinkern
Teil (ii) habe ich hinbekommen, dankeschön!
bietz Auf diesen Beitrag antworten »

vielleicht kann mir aber einer bei den aufgaben helfen, muss die lgeichen machen und komme nicht weiter... danke im vorraus
 
 
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

@bietz: Auch für Dich gilt das Prinzip "Mathe online verstehen!"
Was hast Du bisher gemacht? Was verstehst Du nicht?

Gruß,
Reksilat.
bietz Auf diesen Beitrag antworten »

um zu zeigen, dass V ein Vektorraum über dem Körper ist dann muss doch unter anderem folgendes gelten:

a*(b*v) = (a*b) *v mit a,b aus K

da a und b ja nur 1 und 0 sein können müsste doch gelten

0* (1* v) = (0*1)*v

laut def. ist 1*v =v und 0*v =e

links würde e rauskommen und rechts v damit wäre es kein Vektorraum.
oder gilt 0*1 =e nicht wenn diese Elemente aus K sind?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

0*1=e ist Quatsch, denn links stehen zwei Elemente aus dem Körper und rechts ein Element aus dem Vektorraum. Wie soll das gleich sein?
Rechne doch einfach mal aus, was modulo 2 ist. Genauso rechnet man dann auch in .

Für die Assoziativität der Skalarmultiplikation kannst Du dann einfach alle möglichen Belegungen für a und b durchprobieren. Sind ja nur vier. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
africola Auf diesen Beitrag antworten »

hallo smile

ich habe die gleichen Aufgaben zu lösen, insbesondere die mit dem polynomring bereitet mir schwierigkeiten.
was ist mit dem gemeint 0*1 rest 2?? was rechnet man damit?

danke im voraus smile
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassen...enring_modulo_2
http://de.wikipedia.org/wiki/Galois-Körp...ungerade_Zahlen

: man multipliziert 0 und 1 ganz normal wie in den ganzen Zahlen und schaut dann, welchen Rest das bei Division durch 2 lässt.

Gruß,
Reksilat.
africola Auf diesen Beitrag antworten »

mmh ok, danke smile , aber iwie bringt mir das alles nichts und verstehen tu ich das auch nicht. unglücklich warum muss man das rechnen und was bedeutet, dass man das auch in F2 rechnen muss?
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