basis und dimension zweier 3x3-matrizen

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DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »
basis und dimension zweier 3x3-matrizen
hallo zusammen,
ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mal schauen kann ob ich hier richtig gerechnet habe:
bemerkung:
die beiden matrizen habe ich jeweils mit gauss auf dreiecksform gebracht.

(i):







(ii):





tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: basis und dimension zweier 3x3-matrizen
Was soll denn die Basis einer Matrix sein. verwirrt Die Ränge sind richtig.
DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »

die basis ist doch ein mögliches erzeugendensystem von linear unabhängigen vektoren...oder
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Und was erzeugen die Vektoren?
DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »

naja den raum, sie spannen in diesem also den R^3 auf...

edit:
ach so moment. bei (i) hab ich ja dim(A)=2, also spannen zwei l.u. vektoren eine ebene auf und bei (ii) hab ich dim(B)=1 also einen vektor der eine gerade erzeugt....
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, du verstehst nicht worum es geht. Die Matrix steht für eine lineare Abbildung. Sie hat keine Dimension. Was ist denn der Rang einer Matrix? Und was der Defekt. Definition nachschlagen!
 
 
DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »

also in der definition für den rang steht (angewandt auf dieses problem):
rang(A)=dim(Bild(A))
nun möchte ich aber gerne dim(A) berechnen und nicht dim(Bild(A))...

der begriff "defekt" sagt mir leider nichts, doch in wiki steht ja:
def(f)=dim(Kern(f))
wobei Kern(f)={X in V | f(X)=0}

ach so und ich hab im skript noch folgende dimensionsformel gefunden:
dim(Kern(f))+dim(f(V))=dim(V)

jedoch komme ich glaub ich gerade durcheinander....ich weiß jetzt gar nicht mehr wie ich anfangen soll...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

eine Matrix kannst du mxn als Abmessung zuordnen. Der Rang ist die Dimension des Bildraums von A. Ich kann mir nur vorstellen, dass wenn dim(A) auf dem Übungsblatt steht, dass es sich um einen Tippfehler handelt.
DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss leider jetzt gleich arbeiten gehen...und ich denke das wird sich noch ein bisschen hinziehen mit der problembewältigung. wenn ich heute abend wieder komme würde ich gerne das problem zu ende besprechen.

ich danke dir erstmal vielmals für deine hilfe und würde dann heute abend hier weiter anschließend.....also bis später vielleicht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin dann unterwegs. Wie gesagt, ich bleibe dabei, dass nach der Dimension des Bildraums gefragt ist. Wie man eine Basis dieses UVR dann bestimmt steht hier:
[Artikel] Basis, Bild und Kern

Ansonsten übernimmt vielleicht jemand, nehme an morgen ist Abgabe. Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Um vernünftig helfen zu können, ist es zumeist notwendig, die komplette Aufgabenstellung zu kennen (am besten im Originalwortlaut). Alles andere kann wie hier zu Verwirrungen führen.

Gruß,
Reksilat.
DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »

so die arbeit ist vorbei und wie ich bereits erwähnte würde ich jetzt gerne anknüpfen an mein problem der dimensions- und basisbestimmung von heute mittag:

ich befolge reksilats rat und werde die komplette aufgabenstellung posten:

gegeben sind die Vektoren X, Y, Z in IR^3 mit folgenden koordinaten

, , mit

1.
bestimme für t solche werte, dass X, Y, Z, linear abhängig werden.

2.
bestimme für jede lösung von t mit und gib jeweils eine möglichst einfache basis an.
(hinweis: falls du 1. nicht lösen konntest, verwende )


zu 1.
hier hab ich die determinante folgender matrix null gesetzt um die bedingung der l.u. zu erfüllen, also



als lösung erhalte ich auch die werte aus dem hinweis.


zu 2.
die lösungen für t eingesetzt und die ränge bestimmt (siehe ersten post), ich hab nun also




tja und nu haperst irgendwie an der dimension und der basis....
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Tja und da liegt eben das Problem. ist keine Matrix sondern ein Unterraum des . ist einfach das Erzeugnis von drei Vektoren.
Letztlich ist Dein Vorgehen ansonsten aber fast korrekt, denn das Erzeugnis dreier Vektoren bleibt gleich, wenn man die Vektoren als Zeilen untereinander schreibt und dann mit Gauß umformt.

Deine Basis aus dem ersten Beitrag sind demnach allerdings falsch. Schau Dir doch mal X,Y,Z für t=-2 an. Der Vektor (1,-1,1) liegt bestimmt nicht in deren Erzeugnis. Die Basis hat nur ein Element, das ist korrekt - welches könnte das sein?

Gruß,
Reksilat.
DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »

ok für t=-2 hab ich dann folgende drei vektoren:



prinzipiell würde ich das jetzt so verstehen:
da rang(U_{-2})=1 ist kann ich eigentlich X oder Y oder Z wählen, alle drei würden als mögliche basis in frage kommen.

für t=4 würde ich dann zwei l.u. vektoren für die basis wählen.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn sein? ist ein Unterraum! Außerdem ist die erste Komponente von X falsch.

Der Rest stimmt so, wobei man aber zum Beispiel den Vektor (3,3,6) noch mit 1/3 multiplizieren kann. (Soll ja "möglichst einfach" sein - was auch immer das genau heißen soll.)
DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »

ja bei X hatte ich einen fehler, habs grad editiert.

dann hätte ich also folgende basen:



und

Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

6 geteilt durch 3 ist 2. Ansonsten stimmt es.
DarthVader Auf diesen Beitrag antworten »

haha siehste, da fängt es schon an zu hapern =) uuhh man

ich dank dir für die tolle hilfe!
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