Gedanken zum Basiswechsel

Neue Frage »

nore Auf diesen Beitrag antworten »
Gedanken zum Basiswechsel
Hallo zusammen,

da ich den Basiswechsel, glaube ich, immer noch nicht 100%ig verstanden habe, dieser aber sehr grundlegend ist, möchte ich mich jetzt intensiver mit all seinen Aspekten beschäftigen.
Natürlich habe ich schon die Forensuche benutzt und auch diesen Artikel gelesen. Das alles hat aber leider noch nicht gereicht. Deshalb gibt es jetzt hier meine Ideen und Gedanken zum Basiswechsel, aus denen hoffentlich auch ersichtlich wird, wo meine Schwächen liegen.



Sei [latex]V[/latex] ein [latex]K-VR[/latex] mit [latex]dim_K(V) = n[/latex]. Seien weiter [latex]B = \left\{v_1, ..., v_n\right\}[/latex] und [latex]B' = \left\{v'_1, ..., v'_n\right\}[/latex] Basen von [latex]V[/latex].

Nun sei [latex]x=\left (  x_1, ..., x_n\right )[/latex] die Darstellung eines Vektors [latex]z[/latex] bezüglich [latex]B[/latex]. Also gilt: [latex]z = \sum_{i=1}^{n}v_i x_i[/latex].

Gesucht sei die Darstellung [latex]y=\left (  y_1, ..., y_n\right )[/latex] von [latex]z[/latex] bezüglich [latex]B'[/latex]. Also soll gelten:
[latex](1)[/latex] [latex]z = \sum_{i=1}^{n}v_i x_i = \sum_{i=1}^{n}v'_i y_i[/latex]

Um diese Darstellung für einen beliebigen Vektor machen zu können, suchen wir eine Matrix [latex]S= \left (  s_{ij}\right )[/latex] mit [latex]Sx = y[/latex]. Also soll gelten:

[latex](2)[/latex] [latex]y_i = \sum_{j=1}^{n}s_{ij}x_j[/latex] [latex]\forall i\in\left\{1,...,n\right\}[/latex] (Matrix-Vektor Multiplikation)

Setz man das in die Gleichung [latex](1)[/latex] ein, erhält man diesen Zusammenhang:

[latex](3)[/latex] [latex]\sum_{i=1}^{n}v_i x_i = \sum_{i=1}^{n}v'_i \sum_{j=1}^{n}s_{ij}x_j[/latex]

Etwas umformen auf der rechten Seite ergibt dies: [latex]\sum_{i=1}^{n}v_i x_i = \sum_{j=1}^{n}\left( \sum_{i=1}^{n}v'_i s_{ij}\right)x_j[/latex]. Und wenn man die Indizes vertauscht erhält man: [latex]\sum_{i=1}^{n}v_i x_i = \sum_{i=1}^{n}\left( \sum_{j=1}^{n}v'_j s_{ji}\right)x_i[/latex]

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob man das machen darf, aber ich folgere an dieser Stelle mal, dass aus der Gleichheit der Koeffizienten linear unabhängiger Vektoren mit Gleichheit der Linearkombination auch die Gleichheit der Vektoren resultiert:

[latex](4)[/latex] [latex]v_i= \sum_{j=1}^{n}v'_j s_{ji} [/latex] [latex]\forall i\in\left\{1,...,n\right\}[/latex]

Betrachten wir die identische Abbildung bezüglich der Basen [latex]B[/latex] und [latex]B'[/latex], dann sehen wir, dass nach der Gleichung [latex](4)[/latex] S die darstellende Matrix ist.

Daraus folgt: [latex]v'_i[/latex] hat bezüglich der Basis [latex]B[/latex] die Darstellung [latex]\left(  s_{i1}, ..., s_{in}\right)[/latex]. (Btw: Kann mir jemand sagen, wie ich mit LaTeX Spaltenvektoren darstellen kann?)

Ist [latex]B[/latex] die kanonische Basis von [latex]V[/latex], so folgt direkt, dass [latex]v'_i[/latex] die i-te Spalte von [latex]S[/latex] ist.

Jetzt beginnen meine Probleme:

(a) Dieser Zusammenhang muss sich doch auf beliebige Basen verallgemeinern lassen, sodass man die Spalten leicht ausrechnen kann, oder?

(b) Nehmen wir weiterhin an, dass [latex]B[/latex] die kanonische Basis ist, so ist auch klar, dass [latex]Sv_i = v'_i[/latex].
Dies gilt meines Wissens aber auch für beliebige Basen. Ich finde nur keine Begründung dafür.


Da kommt mir beim Schreiben grade eine Idee: Eventuell kann man beide Zusammenhänge auf allgemeine Basen verallgemeinern, wenn jeweils einfach einen Zwischenschritt über die kanonische Basis geht. Kann man das so machen?


Gruß
David
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gedanken zum Basiswechsel
Die Grundlegende Idee, oder das Problem hast du doch verstanden. Willst du Vektoren als Koordinaten Vektoren schreiben (was wir ja immer gerne einfach so machen), dann braucht man eine Basis. (Im stilen nehmen wir immer die Standardeinheitsbasis). Sei nun z ein Element des VR, und [latex]B=\{b_1,...,b_n\}[/latex] und [latex]B'=\{b'_1,...,b'_n\}[/latex] 2 Basen, so suchen wir

[latex]z = \sum_{i=1}^{n}\alpha_ib_i= \sum_{i=1}^{n}\beta_ib'_i[/latex]

D.h. wir haben z als 2 Linearkombinationen von Basisvektoren dargestellt. Notation geändert, damit man leichter sieht was Basisvektor und was Koeffizient ist. Augenzwinkern

Zitat:
Btw: Kann mir jemand sagen, wie ich mit LaTeX Spaltenvektoren darstellen kann?)


code:
1:
\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}


[l]\begin{pmatrix}a\\b \end{pmatrix}[/l]

Die Frage ist nun, was hat man gegeben und wie kann man möglichst einfach die Basisdarstellung umrechnen. Ich habe im Artikel den Fischer empfohlen. Den würde ich mir mal ausleihen.

Als erstes müssen wir verstehen, wie man die Basis B und die Einheitsbasis in Bezug stellen kann. Das ist das Bindeglied um am Ende das Schema


code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            



benutzen zu können.
 
 
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, die Antwort kam schnell. smile

In den Fischer werde ich am besten die Tage mal reinschaun. Danke für den Tip.


Aber mal schaun, wie wir hier weiterkommen.

Du sagst, als erstes müssen wir verstehen, wie die Basis B und die Einheitsbasis in Bezug stehen. Also gucken wir uns nochmal meinen ersten Beitrag an:

Bei einem Basiswechsel von [latex]B[/latex] in die Einheitsbasis haben wir leichtes Spiel. Die Vektoren aus [latex]B[/latex] haben in der Einheitsbasis ja gerade die Form der Spaltenvektoren der Transformationsmatrix. Nennen wir diese hier mal [latex]T[/latex].
Offensichtlich gilt auch [latex]Te_i = v_i[/latex].

Wollen wir von der Einheitsbasis in eine andere Basis [latex]B'[/latex] wechseln, müssen wir das ganze doch prinzipiell nur umdrehen. Nennen wir die Transformationsmatrix hier [latex]T'[/latex], haben die Einheitsvektoren in der Basis [latex]B'[/latex] genau die Form der Spalten von [latex]T'[/latex]. Um die Spalten zu berechnen würde mir nur einfallen, aus diesem Zusammenhang für jede Spalte ein LGS aufzustellen und nach den Koeffizienten aufzulösen.
Die Gleichungssysteme unterscheiden sich nur durch den Lösungsvektor, also fassen wir diese zusammen und sehen: Hey, das ist ja das gleiche, wie Matrixinversion. Augenzwinkern
Was natürlich klar ist, denn: [latex]T'^{-1}[/latex] hat als Spaltenvektoren die Basisvektoren aus [latex]B'[/latex].
[latex]T'v'_i = e_i[/latex] gilt auch hier wieder, wie man leicht erkennt.

Was aber hier wirklich interessant ist: Im zweiten Teil haben wir nirgends wirklich gebraucht, dass eine der Basen die Einheitsbasis ist. Alle Schritte lassen sich mit zwei beliebigen Basen anwenden.
Allgemein kann man also T herausfinden, indem man ein simultanes LGS (heißt das so?) aufstellt und auflöst.


Nochmal sauber:

Haben wir zwei Basen [latex]B_1 = \left\{v_1, ..., v_n\right\}[/latex] und [latex]B'_1 = \left\{v'_1, ..., v'_n\right\}[/latex] und suchen die Transformationsmatrix [latex]S = \left(s_{ij}\right)[/latex] von [latex]B[/latex] nach [latex]B'[/latex], so gilt der Zusammenhang: [latex]v_j = \sum_{i=1}^{n}s_{ij}v'_i[/latex], weil [latex]S[/latex] die Darstellungsmatrix der identischen Abbildung bezüglich [latex]B'[/latex] und [latex]B[/latex] ist.
Was mir jetzt vorher nicht aufgefallen ist: Diese Gleichungssysteme kann man alle simultan lösen und somit sehr schnell das Ergebnis finden. Am besten, ich rechne gleich mal ein paar Beispiele dazu. Augenzwinkern

Geht man den Umweg über die Einheitsbasis ergibt sich übrigens: [latex]TT' v'_i = v_i[/latex]. Was wir aber eigentlich haben wollten, war [latex]T'Tv'_i = v_i[/latex]. unglücklich Oder kommutieren diese beiden Matrizen aus irgendeinem Grund? Nein, das würde keinen Sinn machen, da es eigentlich beliebige reguläre Matrizen sind.

Hier weiß ich nicht weiter.



Achja:


Zitat:
Original von tigerbine
Willst du Vektoren als Koordinaten Vektoren schreiben (was wir ja immer gerne einfach so machen), dann braucht man eine Basis. (Im stilen nehmen wir immer die Standardeinheitsbasis).

Das verwirrende hieran ist ja, dass auch die Vektoren der Standardbasis sich wieder auf die Standardbasis beziehen.


Gruß
David
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Crux ist, sobald du Koordinatenvektoren schreibst, musst du schon eine Basis eingeführt haben. Das wird im Hintergrund die Standardeinheitsbasis sein.

Nun ist dir eine zweite Basis gebenen, in Koordinaten bzgl. der Standardbasis. D.h., du hast eine LK von jedem Basisvektor der neuen Basis bzgl. Der alten Basis.

[l]b_1=c_{11}e_1 + c_{12}e_2+ c_{13}e_3[/l]

[l]b_2=c_{21}e_1 + c_{22}e_2+ c_{23}e_3[/l]

[l]b_3=c_{31}e_1 + c_{32}e_2+ c_{33}e_3[/l]

[das entspricht dem w = v+ ... Schritt im Artikel]

nun gebe ich dir einen Vektor bzgl. der Standardbasis vor.

[l]d=d_1e_1 +d_2e_2+ d_3e_3[/l]

Wie lauten seine Koordinaten bzgl B? Dazu müssen wir die Summe ja anders hinschreiben

[l]d=s_1(c_{11}e_1 + c_{12}e_2+ c_{13}e_3) + s_2 (c_{21}e_1 + c_{22}e_2+ c_{23}e_3) + s_3(c_{31}e_1 + c_{32}e_2+ c_{33}e_3)[/l]

Es muss dann am Ende gelten

[l]d_1=s_1c_{11} + s_2c_{21} + s_3c_{31}[/l]

[l]d_2=s_1c_{12} + s_2c_{22} + s_3c_{32}[/l]

[l]d_3=s_1c_{13} + s_2c_{23} + s_3c_{33}[/l]

Oder eben

[l]\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{11} & c_{21} & c_{31} \\c_{12} & c_{22} & c_{32} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33}  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}s_1 \\s_2 \\s_3 \end{pmatrix}[/l]

[Was im Artikel das das S^T widerspiegelt und warum man die Matrix noch invertieren muss]

Es geht dann auch ohne die Einheitsvektoren, aber ich wollte auf (Fischer Koordinatensysteme) sensibilisieren und darauf, das sobald du was mit Klammern schreibst, meist die SEB doch versteckt mit dabei ist. Das erklärt im Artikel die Formel

Zitat:

[latex]T: \mathbb K^3 \rightarrow \mathbb K^3,[/latex] [latex]T:=\phi^{-1}_B \circ \phi_A[/latex]


u.a.
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Tigerbine,

aber erklärst du jetzt den Zusammenhang nicht wieder nur für eine Transformation in die Einheitsbasis?

Wieso kann man auch allgemein sagen, dass [latex]Sv_i = v'_i[/latex] und wieso komme ich auf [latex]TT' v'_i = v_i[/latex] statt [latex]T'T v'_i = v_i[/latex]?

Gruß
David
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe das nur für die EB erklärt. Sie ist doch auch Gedanklich das Model, mit dem man umgerechnet hat (-> Fischer). In einer Praktischen Aufgabe sind dann 2 Basen als Vektoren bzgl. der EB angegeben. Du sollst den Basiswechsel zwischen B1 und B2 beschreiben. Da musst du ja Gedanklich umrechnen.

Anders ist es, wenn 2 Basen gegeben sind, und die zweite in Abhängigkeit der ersten. Dann kannst du wie mit der EB verfahren (siehe Artikel).

Bitte fasse nocheinmal (kannst dich ja kopieren) zusammen, von wo nach wo T, T' und S bei dir abbilden. Danke.
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

[latex]T[/latex]: von [latex]B[/latex] in die Einheitsbasis
[latex]T'[/latex]: von der Einheitsbasis in [latex]B'[/latex]
[latex]S[/latex]: von [latex]B[/latex] nach [latex]B'[/latex]

Danke. smile

Gruß
David
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann musst du rausbekommen

[l]S=T'T[/l]

Dann schreibst du:
Zitat:

Seien weiter [latex]B = \left\{v_1, ..., v_n\right\}[/latex] und [latex]B' = \left\{v'_1, ..., v'_n\right\}[/latex] Basen von [latex]V[/latex].
Offensichtlich gilt auch [latex]Te_i = v_i[/latex].


Es ist aber anders. Es ist [latex]Tv_i = e_i[/latex]. Du hast selbst gesagt, T bildet von B nach E ab.
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es von B nach E abbildet gilt ja grade diese Gleichung, weil ein Vektor v_i aus B bzgl der Basis B die Form e_i hat und bzgl der Basis E die Form v_i. Also muss Se_i = v_i sein.
Kleiner Denkfehler?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso denn nun S? Wir waren doch gerade noch bei dem T... verwirrt Input ist immer aus der Darstellung von der du kommt. Also Wenn du von B nach E abbilden willst, kommt der Vektor bgzgl. B rein und als Vektor bzgl. E raus.

Also so.

[l]T: B\to E\\ ~T()_B = ()_E[/l]

Zu meiner ausführlichen Rechnung

Zitat:
Die Crux ist, sobald du Koordinatenvektoren schreibst, musst du schon eine Basis eingeführt haben. Das wird im Hintergrund die Standardeinheitsbasis sein.

Nun ist dir eine zweite Basis gebenen, in Koordinaten bzgl. der Standardbasis. D.h., du hast eine LK von jedem Basisvektor der neuen Basis bzgl. Der alten Basis.

[latex]b_1=c_{11}e_1 + c_{12}e_2+ c_{13}e_3[/latex]

[latex]b_2=c_{21}e_1 + c_{22}e_2+ c_{23}e_3[/latex]

[latex]b_3=c_{31}e_1 + c_{32}e_2+ c_{33}e_3[/latex]

[das entspricht dem w = v+ ... Schritt im Artikel]

nun gebe ich dir einen Vektor bzgl. der Standardbasis vor.

[latex]d=d_1e_1 +d_2e_2+ d_3e_3[/latex]

Wie lauten seine Koordinaten bzgl B? Dazu müssen wir die Summe ja anders hinschreiben

[latex]d=s_1(c_{11}e_1 + c_{12}e_2+ c_{13}e_3) + s_2 (c_{21}e_1 + c_{22}e_2+ c_{23}e_3) + s_3(c_{31}e_1 + c_{32}e_2+ c_{33}e_3)[/latex]

Es muss dann am Ende gelten

[latex]d_1=s_1c_{11} + s_2c_{21} + s_3c_{31}[/latex]

[latex]d_2=s_1c_{12} + s_2c_{22} + s_3c_{32}[/latex]

[latex]d_3=s_1c_{13} + s_2c_{23} + s_3c_{33}[/latex]

Oder eben

[latex]\begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}c_{11} & c_{21} & c_{31} \\c_{12} & c_{22} & c_{32} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}s_1 \\s_2 \\s_3 \end{pmatrix}[/latex]


Dabei bildet die Matrix [l]\begin{pmatrix}c_{11} & c_{21} & c_{31} \\c_{12} & c_{22} & c_{32} \\ c_{13} & c_{23} & c_{33} \end{pmatrix}[/l] von B nach E ab. Du steckst die S-Koordinaten rein, und bekommst die D-Koordinaten raus.

Will man E nach B, muss man invertieren.
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab in meinem letzten Beitrag S und T verwechselt. Wir wollen von B nach E.

Zitat:

Wenn T von B nach E abbildet gilt ja grade diese Gleichung, weil ein Vektor v_i aus B bzgl der Basis B die Form e_i hat und bzgl der Basis E die Form v_i. Also muss Te_i = v_i sein... Wenn wir die Darstellung bzgl B einsetzen erhalten wir die Darstellung bzgl E.



Von Basis B nach Basis E abbilden heißt ja nicht, dass ein Element von B auf ein Element von E abgebildet wird, sondern dass die Darstellung eines Vektors bzgl B auf die Darstellung desselben Vektors bzgl E abgebildet wird.

Gruß
David
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, schon. Aber wo ist da das Problem? verwirrt Das meinte ich doch mit Tv=e.... Ich kann deinen Widerspruch noch nicht rekonstruieren. Bitte mal mit Formen aufschreiben, wie du auf die falsche Matrizenreihenfolge kommst.
nore Auf diesen Beitrag antworten »

[latex]T[/latex] macht aus der Darstellung eines Vektors bzgl [latex]B= (v_1, ..., v_n)[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]E= (e_1, ..., e_n)[/latex]. Und es gilt: [latex]Te_i = v_i[/latex].

[latex]T'[/latex] macht aus der Darstellung eines Vektors bzgl [latex]E= (e_1, ..., e_n)[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]B' = (v'_1, ..., v'_n)[/latex]. Und es gilt [latex]T'v'_i = e_i[/latex].

Um aus der Darstellung eines Vektors bzgl der Basis [latex]B[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]B'[/latex] zu machen, führe ich also zunächst T aus und dann T'.

[latex]S = T'T[/latex] macht aus der Darstellung eines Vektors bzgl [latex]B= (v_1, ..., v_n)[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]B' = (v'_1, ..., v'_n)[/latex]. Und es sollte gelten [latex]Sv'_i = v_i[/latex]. Zumindest erwarten wir das aus den bisherigen Beobachtungen (gelten diese vielleicht aber nur, wenn die Einheitsbasis im Spiel ist?).

Stattdessen erhalten wir aber aus den oberen beiden Formeln: [latex]TT'v'_i = v_i[/latex]


Gruß
David
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist[latex] e_i[/latex]? nach deiner Def von T muss das ein Vektor mit Koordinaten bzgl. B sein. Irgendwie bringst du da was durcheinander

Zitat:
[latex]T[/latex] macht aus der Darstellung eines Vektors bzgl [latex]B= (v_1, ..., v_n)[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]E= (e_1, ..., e_n)[/latex]. Und es gilt: [latex]Te_i = v_i[/latex].


Wie kommst du auf dieses und es gilt? Das ist falsch. [latex]Te_i = v_i[/latex] bedeutet, dass ich einen Basisvektor von E reinstecke (In welchen Koordinaten btw?) und einen Basisvektor von B rausbekomme.

Generell stecken wir in die Abbildung T einen Koodinatenvektor rein. Und wenn T von B nach E abbildet: ()_B rein, ()_E raus. Da steckt imho dein Denkfehler drin und warum du die Matrizen falschherum rausbekommst.
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nore
... weil ein Vektor [latex]v_i[/latex] aus B bzgl der Basis B die Form [latex]e_i[/latex] (die Form, die e_i bzgl E hat) hat und bzgl der Basis E die Form v_i. Also muss Se_i = v_i sein...


Ich machs mal an einem Beispiel:

Sei [latex]B=\{v_1, v_2\}[/latex] mit [latex]v_i = \begin{pmatrix} a_i\\b_i \end{pmatrix}_E [/latex].
Die Matrix [latex]T[/latex] sei so gewählt, dass sie einen Basiswechsel von [latex]B[/latex] nach [latex]E[/latex] beschreibt. Das heißt, multiplizieren wir eine Darstellung eines Vektors bezüglich [latex]B[/latex] mit dieser Matrix erhalten wir die Darstellung desselben Vektors bzgl [latex]E[/latex]. Dann muss die Matrix folgende Form haben:

[latex]T =\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2 \end{pmatrix}[/latex]

Nun:


[latex]v_1 = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B [/latex]
[latex]v_1 = \begin{pmatrix} a_1\\b_1 \end{pmatrix}_E [/latex]

Hieraus (oder durch Ausprobieren) ergibt sich:

[latex]T \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} a_1\\b_1 \end{pmatrix}[/latex]

Betrachtet man jetzt [latex]e_i[/latex] nicht mehr als den Basisvektor [latex]e_i[/latex], sondern allgemein als Vektor [latex] \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}[/latex], so ergibt sich daraus [latex]Te_i = v_i[/latex].


Ich hoffe, ich konnte klarmachen, was ich meine.

Gruß
David


PS: Ein Vektor im [latex]R^n[/latex] ist ja nunmal erstmal ohne Basis nichts anderes als ein n-Tupel. Das dies gleichzeitig die Basisdarstellung des Vektors zu [latex]E[/latex] ist und jede Basisdarstellung zu einer Basis [latex]B[/latex] wieder ein n-Tupel ist, das man genauso behandeln kann, ändert daran ja nichts. Deshalb ist auch zunächst [latex]e_i [/latex] nichts anderes als ein n-Tupel, dessen i-te Komponente 1 und alle anderen Komponenten 0 sind.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von nore

Ich machs mal an einem Beispiel:

Sei [latex]B=\{v_1, v_2\}[/latex] mit [latex]v_i = \begin{pmatrix} a_i\\b_i \end{pmatrix}_E [/latex].



Das heißt erstmal nur, dass die Basisvektoren von B die Gestalt bzgl. E wie folgt haben. Schreiben wir es für diesen einfachen Fall doch aus.

[l] v_1 = \begin{pmatrix} a_1\\b_1\end{pmatrix}_E  = a_1 \cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_E + b_1 \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}_E[/l]

[l] v_2 = \begin{pmatrix} a_2\\b_2\end{pmatrix}_E  = a_2 \cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}_E + b_2 \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}_E[/l]

Zitat:
Die Matrix [latex]T[/latex] sei so gewählt, dass sie einen Basiswechsel von [latex]B[/latex] nach [latex]E[/latex] beschreibt.


Dass heißt, du steckt die Koordinaten bzgl. B rein, und es kommen die bzgl. E raus. Leicht einzusehen, dass dann T lautet

[l]T=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2\end{pmatrix}[/l]

Das entspricht auch genau dem, was ich weiter oben unter [latex]T: B\to E\\ ~T()_B = ()_E[/latex] gepostet habe.

Zitat:

Nun:

[latex]v_1 = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B [/latex]
[latex]v_1 = \begin{pmatrix} a_1\\b_1 \end{pmatrix}_E [/latex]


Korrekt.

Zitat:

Hieraus (oder durch Ausprobieren) ergibt sich:

[latex]T \cdot \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} a_1\\b_1 \end{pmatrix}[/latex]

Betrachtet man jetzt [latex]e_i[/latex] nicht mehr als den Basisvektor [latex]e_i[/latex], sondern allgemein als Vektor [latex] \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}[/latex], so ergibt sich daraus [latex]Te_i = v_i[/latex].


Das ist doch mehr als unglücklich in der Notation, e_i doppelt zu belegen. unglücklich Es gibt keinen Koordinatenvektor ohne zugehörige Basis. Dass wir i.A. nicht in den Index schreiben bedeutet, dass wir eben immer die SB E meinen. Und gerade bei diesem Thema darfst du doch nicht einfach den Index weglassen, wo es sich im Grunde doch genau um diesen dreht.

Die Gleichung lautet korrekt aufgeschrieben (man kann sich noch streiten - definieren - was oben und was unten im Index steht)

[l]\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2\end{pmatrix}_E^B\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix}_E [/l]


Kommen wir nun zu deinem angeblichen Widerspruch.

Zitat:

[latex]T[/latex] macht aus der Darstellung eines Vektors bzgl [latex]B= (v_1, ..., v_n)[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]E= (e_1, ..., e_n)[/latex]. Und es gilt: [latex]Te_i = v_i[/latex].

[latex]T'[/latex] macht aus der Darstellung eines Vektors bzgl [latex]E= (e_1, ..., e_n)[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]B' = (v'_1, ..., v'_n)[/latex]. Und es gilt [latex]T'v'_i = e_i[/latex].

Um aus der Darstellung eines Vektors bzgl der Basis [latex]B[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]B'[/latex] zu machen, führe ich also zunächst T aus und dann T'.

[latex]S = T'T[/latex] macht aus der Darstellung eines Vektors bzgl [latex]B= (v_1, ..., v_n)[/latex] die Darstellung des Vektors bzgl [latex]B' = (v'_1, ..., v'_n)[/latex]. Und es sollte gelten [latex]Sv'_i = v_i[/latex]. Zumindest erwarten wir das aus den bisherigen Beobachtungen (gelten diese vielleicht aber nur, wenn die Einheitsbasis im Spiel ist?).

Stattdessen erhalten wir aber aus den oberen beiden Formeln: [latex]TT'v'_i = v_i[/latex]


Lassen wir nun mal deine Notation weg und konzentrieren uns nur auf deine Aussagen von wo nach wo die Matrizen abbilden.

[latex]T:~B \to E,~T':~E \to B'[/latex]

Dann ist klar, dass die für die Matrix

[l]S:~B \to B'[/l]

gelten muss

[l]S= T'T[/l]

da zuerst die rechte Matrix angewandt wird. Deine Rechnung hinkt einfach an der Tatsache, dass du e-i doppelt belegt hast.

[latex]Te_i = v_i[/latex]

[latex]T'v'_i = e_i[/latex]

Die Frage ist nun eher, wie kommst du mit diesen beiden Formeln auf

[latex]TT'v'_i = v_i[/latex]

Wohl so, indem du einfach eingesetzt hast.

[latex]Te_i =T(T'v'_i) =TT'v'_i= v_i[/latex]

Aber da hast du Äpfel durch birnen ersetzt. Schreiben wir es mal in "besserer" Notation.

[latex]T()_B= ()_E[/latex]

[latex]T'()_E = ()_{B'}[/latex]

Nun ist klar, dass das Bindeglied der beiden Gleichungen ein anderes ist.


[latex]T()_B= ()_E[/latex]

[latex]T'()_E =T'T()_B =  ()_{B'}[/latex]

Ich hoffe es ist nun klar, das du einen "Einheitsvektor aus B' einfach als einen Einheitsvektor von B eingesetzt hast. Was falsch ist.
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Hi tigerbine,

anscheinend sollten wir ersteinmal ein paar Begrifflichkeiten klären.

Die Aussage "Es gibt keinen Koordinatenvektor ohne zugehörige Basis." halte ich für falsch (wobei ich mir nicht sicher bin, wie die Definition eines Koordinatenvektors ist). Siehe
Zitat:
Ein Vektor im [latex]R^n[/latex] ist ja nunmal erstmal ohne Basis nichts anderes als ein n-Tupel. Das dies gleichzeitig die Basisdarstellung des Vektors zu [latex]E[/latex] ist und jede Basisdarstellung zu einer Basis [latex]B[/latex] wieder ein n-Tupel ist, das man genauso behandeln kann, ändert daran ja nichts. Deshalb ist auch zunächst [latex]e_i [/latex] nichts anderes als ein n-Tupel, dessen i-te Komponente 1 und alle anderen Komponenten 0 sind.

aus meinem letzten Beitrag. Ich würde sagen, man sollte formal unterscheiden, ob man eine Koordinatendarstellung bezüglich einer Basis wählt oder einfach nur ein n-Tupel als Element aus R^n

Wobei natürlich gilt:
[latex]\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_E = 1 \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}*0\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}[/latex]


Also sehe ich das richtig, wenn [latex]B= \{v_1,v_2\}[/latex], dann [latex]\begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix}_B = av_1 +bv_2[/latex] ? So habe ich das bisher nämlich verstanden.

Zitat:

[l]\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2\end{pmatrix}_E^B\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix}_E [/l]

ist damit offensichtlich falsch, da meistens gilt:

[l]\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2\end{pmatrix}_E^B\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B\neq\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix}_E [/l]

Man muss hier auch sehen, dass eine Matrix keine Abbildung ist. Die Matrix interessiert es nicht, von welcher Basis in welche sie "abbildet", es gibt lediglich eine Matrix-Vektor-Multiplikation, die mit unseren ursprünglichen als n-Tupel definierten Vektoren arbeitet und nicht mit Koordinatendarstellungen gewisser Vektoren. Richtig?

Damit gilt nur

[l]\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix} [/l]

oder höchstens noch:

[l]\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix}_B [/l]
bzw
[l]\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_E = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix}_E [/l]


Ist irgendetwas an diesen Begriffen falsch oder unschlüssig? Wenn nicht, ergibt das, was ich sage durchaus Sinn. smile

Gruß
David
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wobei ich mir nicht sicher bin, wie die Definition eines Koordinatenvektors ist


Warum schlägst du sie dann nicht nach, anstatt selbst Theorien aufzustellen?

Ein Vektorraum besteht aus Vektoren. Seinen Elementen. Denen kannst du Buchstaben geben wie du magst. Sobald du ein Element eines VR aber als (*,*,*) solchen Vektor schreiben willst, brauchst du ein Koordinatensystem, d.h. den VR muss mit einer Basis ausgestattet sein. Punkt.

Deine Ansicht mit den Tupeln ist falsch.

Zitat:
Man muss hier auch sehen, dass eine Matrix keine Abbildung ist. Die Matrix interessiert es nicht, von welcher Basis in welche sie "abbildet", es gibt lediglich eine Matrix-Vektor-Multiplikation, die mit unseren ursprünglichen als n-Tupel definierten Vektoren arbeitet und nicht mit Koordinatendarstellungen gewisser Vektoren. Richtig?


Nein, falsch. Genau das ist es, was die Matrix interessiert. Von wo nach wo. Darum dreht sich hier das ganze Thema mit den Basiswechseln. Und die Matrix steht hier immer für eine Lineare Abbildung.

Es fällt einem sonst nur nie auf, weil wenn nichts dasteht, im Hinterkopf immer die Standardbasen gemeint sind. Natürlich kann ich einfach Matrix mal Vektor ausrechnen. Nur, ich werde das Ergebnis dann nie zu deuten wissen.

Zitat:

[latex]\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\b_1 & b_2\end{pmatrix}_E^B\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B\neq\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B = \begin{pmatrix}a_1\\b_1 \end{pmatrix}_E [/latex]


Du hörst mir einfach nicht zu. Was soll ich sonst noch dazu sagen. Die Matrix T rechnet ein und denselben Vektor als Element des VRs gesehen um bzgl. seiner Koordianten bzgl. verschiedener Basen. T ist doch nicht beliebig gewählt worden.

Und hier haben wir das doch genauso gewählt. Was soll dann eine "aber i.A. nicht Aussage". Du hast v1 (als Element des VR) selbst so bzgl. der Basen dargestellt.

Zitat:

[latex]v_1 = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}_B [/latex]
[latex]v_1 = \begin{pmatrix} a_1\\b_1 \end{pmatrix}_E [/latex]
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Tigerbine,

danke für deine Mühen. smile Ich beende das Gespräch hier. Ich habe das Gefühl, dass wir uns im Kreis drehen und möchte mich nicht mit dir streiten.

Gruß
David
tiger_off Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte. Ich suche auch keinen Streit. Vielleicht findest du ja doch och Zugang und erkennst, dass Koordinaten nur bzgl. einer Basis Sinn machen. Wink
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Ich werde mir auf jeden Fall nochmal alles durchlesen, was wir bisher geschrieben haben und versuchen es doch zu verstehen. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »