Mengen

30.10.2006, 20:43

chris85

Mengen

Hallo,kann sich das jemand von euch mal anschauen und mir sagen ob das richtig ist oder wie es richtig ist?wäre super!

zu meiner Schreibweise, ich weiß nicht wie man das Symbol für Teilmenge hier schreiben kann, ich schreib dann einfach immer c bzw כ und für Element schreibe ich E !

Beweisen Sie die folgenden Rehenregeln:
Sei f: M --> N eine Abbildung und A c M und C,D c N . Dann gilt:

(a) f(M \ A) כ f(M) \ f(A)
(b) f^-1 (C vereinigt D) = f^-1(C) vereinigt f^-1(D)

Geben Sie ein Beispiel an,das zeigt,dass in (a) nicht Gleichheit zu gelten braucht,d.h.,geben sie Mengen M und N, eine Abbildung f: M-->N und eine Teilmenge A c M an,so dass f(M \ A) un= f(M) \ f(A) ist.

-----------------------------
Meine Lösung bis jetzt:

-Beweis der Rechenregeln:

(a)

f(M\A) כ f(M)\f(A)
(x E M und x nicht E A) --> (x E (M\A))
--> (x E f(M)) und (x nicht E f(A) --> f(M\A) כ f(M) \ f(A)

(x E M und x nicht E A) --> (x E f(M) \ f(A))
--> x E f(M\A) כ f(M\A)

(b)

f^-1 (C vereinigt D) = f^-1 (C) vereinigt f^-1 (D)

(x E C und x E D) --> (x E f^-1 (C vereinigt D) --> (x E f^-1 (C)
und x E f^-1 (D)) --> x E N

(x E C) --> (x E f^-1 (C) --> x E (C vereinigt D) --> x E f^-1 (C vereinigt D) --> x E N

(x E D) --> x E f^-1 (D) --> x E (C vereinigt D) --> x E f^-1 (C vereinigt D) --> x E N

Was meint ihr dazu?
Falls was falsch ist könnt ihr mir gerne eure Verbesserungsvorschläge oder die richtige Lösung posten! Danke

Für die Frage : Geben sie ein Beispiel an, das zeigt, dass nicht Gleichheit zu gelten braucht.... habe ich aber keinen Ansatz! Bitte helft mir!!!!

30.10.2006, 20:57

tigerbine

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RE: Mengen
Hiermeit mal editieren?

http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

31.10.2006, 15:53

chris85

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Irgendwie funktioniert das bei mir nicht! hab da dann immer nur " \subseq " oder so was ähliches stehen,aber ein Symbol steht in meinem text dann leider nicht! ich hoffe du kannst mir trotzdem helfen

31.10.2006, 16:14

irre.flexiv

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Du musst das ganze noch in

code:
1:	[latex] ... [/latex]

Tags reinpacken. So ergibt

code:
1:	[latex] A \subseteq B [/latex]

z.B. $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$

31.10.2006, 17:13

tigerbine

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RE: Mengen
Beweisen Sie die folgenden Rehenregeln:

Sei $\begin{eqnarray*} f: M \to N \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray*} A \subset M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C,D \subset N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

(a) $\begin{eqnarray*} f(M \setminus A) \subseteq f(M) \setminus f(A) \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} f^{-1} (C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \end{eqnarray*}$

Geben Sie ein Beispiel an, das zeigt, dass in (a) nicht Gleichheit zu gelten braucht, d.h.,

geben sie Mengen M und N, eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f: M \to N \end{eqnarray*}$ und eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A \subset M \end{eqnarray*}$ an,so dass $\begin{eqnarray*} f(M \setminus A) \subset f(M) \setminus f(A) \end{eqnarray*}$ ist.

________________________________________

Deine Lösung änderst Du bitte selber ab. Wenn man sich die Zeit zum Helfen nimmt, sollte man sie nicht zum dechiffrieren verbrauchen müssen. Ich hoffe, ich habe den Code korrekt entschlüsselt.

GRuß

31.10.2006, 17:22

chris85

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Habs jetzt glaub geschafft! Wäre super wenn ihr es euch jetzt mal anschauen könntet!

Sei f: M $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ N , A $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ M und C,D $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ N
Dann gilt: (a) f(M \ A) $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ f(M) \ f(A)

Beweisen Sie folgende Rechenregeln:

(a) f(M \ A) \subseteq[/latex] f(M) \ f(A)
x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f(M) und (x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ f(A) $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f(M \ A)
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f(M) und x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ f(A)
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ f(M) \ f(A) $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ f(M \ A)

x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ M und x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ A $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f(M) \ f(A)
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f(M) und x $\begin{eqnarray*} \notin \end{eqnarray*}$ f(A)
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ f(M) $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ f(M \ A)

oder: ???

f(M \ A) $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ f(M) \ f(A)

f(M \ A) $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ f(M)
f(M \ A) $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ f(A)

$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ f(M \ A) $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ f(A) \ f(B)

(b) f^-1 (C $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ D) = f^-1 (C) $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ (D)

x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C und x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ D $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f^-1 (C $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ D)
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f^-1 (C) und x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f^-1 (D) \rightarrow[/latex] x \in[/latex] N

x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ C $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f^-1 (C) $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (C \cup[/latex] D)
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f^-1 (C \cup[/latex] D) $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N

x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ D $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f^-1 (D) $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (C $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ D)
$\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ f^-1 (C $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ D) $\begin{eqnarray*} \rightarrow x [latex]\in N \end{eqnarray*}$

31.10.2006, 17:23

tigerbine

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Latex klammern vergessen Wink

Da müssen welche um jeden Befehl! zitiere mal meinen Text, dann siehst Du wie ich es meine

31.10.2006, 17:53

chris85

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Habs jetzt hinbekommen mit dem LaTex! Könnt ihr mir jetzt helfen???
Bitte

31.10.2006, 18:27

tigerbine

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Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:

Sei $\begin{eqnarray*} f: M \to N \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray*} A \subset M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C,D \subset N \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

(a) $\begin{eqnarray*} f(M \setminus A) \subseteq f(M) \setminus f(A) \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} f^{-1} (C \cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) \end{eqnarray*}$

Ansatz von Chris: versteh ich leider nicht traurig

31.10.2006, 18:28

tigerbine

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deine erste Beweiszeile von a) mit den Klammern versteh ich schon nicht. Habe versucht mir ein Beispiel auszudenken, aber dabei muss ich einen Fehler machen, denn

Sei M = {a,b,c,d} und A = {a,b,c} und weiter N = {1}.

Dann ist f(M) = {1} und f(A) = {1}. Dann ist f(M) \ f(A) = {} (leere Menge) und f(M\A) = f(d) = {1}.

Es ist aber $\begin{eqnarray*} \{1\} \subseteq \{\} \end{eqnarray*}$ doch falsch.

31.10.2006, 20:52

master mo

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Also irgendwie komm ich mit deinen Bezeichnungen überhaupt nicht klar, was willst du mit $\begin{eqnarray*} x \in M \wedge x\notin A \rightarrow x \in f(M) \setminus f(A) \end{eqnarray*}$ ausdrücken?!?!

x kann nicht gleichzeitig Element von M und von f(M) sein !!

Und was willst du mit dem "Pfeil" ausdrücken? Eine Abbildung?
Wenn dann: $\begin{eqnarray*} x \mapsto x \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} x \rightarrow x \end{eqnarray*}$

31.10.2006, 20:59

tigerbine

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Ich denke er meint einen Folgepfeil, weiß aber n icht dass der in tex einen Großbuchstaben hat. Siehs du den Fehler in meinem Beispiel?

31.10.2006, 21:20

master mo

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Was mir gerade erst auffällt. Es müsste eigentlich heissen :

$\begin{eqnarray*} f(M\setminus A) \supseteq f(M) \setminus f(A) \end{eqnarray*}$

dann haut auch das Beispiel hin.

31.10.2006, 22:49

tigerbine

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Das war auch meine Vermutung. Das kann jetzt aber "nur" der chris bestätigen.

01.11.2006, 18:28

chris85

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Ja klar Leute,natürlich muss es so heißen!!! Sorry hab mich da wohl irgendwie vertan, bei dem ganzen hin und her mit dem LaTex Augenzwinkern

Aber vielen Dank für die Hilfe!

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