Nullstellenberechnung durch Faktorenzerlegung

27.05.2010, 16:09

captainhogan

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Nullstellenberechnung durch Faktorenzerlegung

Hi ,
komme bei Mathe nicht weiter.
Man hat Funktionen und soll sie faktorisieren , um die Nullstellen und den Scheitelpunkt abzulesen.

Mein Ansatz:

y(x) = -3x²+6x = -1,5x(2x-4,5)

Bei der faktorisierten Form hat man normalerweise 2 Klammern und kann die Nullstellen ablesen, indem man die Vorzeichen umdreht.
y(x)= 2(x-3) (x+1) Also S ( 3|-1)
Oben bin ich irgendwie verwirrt , wäre nett wenn mir jemand erklären könnte , wie man den Scheitelpunkt und die Nullstellen aus solchen Funktion berechnet z.b.
f(x) = x²-4x+4

Danke schonmal!

27.05.2010, 16:16

AD

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Mit der Null hatten schon die Leute im Altertum Probleme, anscheinend gilt das vereinzelt bis heute. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} y(x) = -1{,}5(x-0)(2x-4{,}5) \end{eqnarray*}$

P.S.: Den Rechenfehler habe ich mal dringelassen, aber es ist keineswegs $\begin{eqnarray*} 6 = 1{,}5 \cdot 4{,}5 \end{eqnarray*}$ ...

27.05.2010, 16:18

lgrizu

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RE: Nullstellenberechnung durch Faktorenzerlegung

Zitat:

Original von captainhogan

y(x) = -3x²+6x = -1,5x(2x-4,5)

hier ist schon mal was schief gegangen, wenn ich $\begin{eqnarray*} -1,5x(2x-4,5) \end{eqnarray*}$ ausmultipliziere erhalte ich $\begin{eqnarray*} -3x^2+6,75x \end{eqnarray*}$ .

wie sieht denn mal ganz allgemein die scheitelpunktsform aus?
wie lautet der satz vom nullprodukt?

was kannst du hierauf anwenden?

27.05.2010, 16:19

captainhogan

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Ah , man muss es doch in 2 Klammern bringen smile

smile

Ja , das Problem gibt es noch , weil Lehrer heutzutage immer öfter die "Lern es zuhause selbst" Methode anwenden Big Laugh

Big Laugh

Aber wie ist es hier mit dem Scheitelpunkt: x²+bx+c

27.05.2010, 16:24

Hektrio

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RE: Nullstellenberechnung durch Faktorenzerlegung
Benutze doch die pq-Formel, um das absolute Glied zu erhalten.

Bei kommt da raus: $\begin{eqnarray*} x_1=2; x_2=0 \end{eqnarray*}$

Und jetzt benutzt du den Satz Vietas: $\begin{eqnarray*} (x-x_1)\cdot(x-x_2)=(x-2)\cdot(x-0) \end{eqnarray*}$

Und das wiederum ist dasselbe wie $\begin{eqnarray*} y=x^2-2x=-3x²+6x \end{eqnarray*}$

Edit: Viiiiel zu spät.

27.05.2010, 16:27

captainhogan

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Den Satz von Vieta und die pq-Formel hatten wir noch nicht , bin übrigens in der 8.Klasse

Die Scheitelpunktform müsste a(x-b)²+c sein , da müsste man doch mit der quadratischen Ergänzung hinkommen. Mal sehen ob ich das damit hinkriege , das haben wir mit einem a davor nur einmal nebenbei 5min erklärt bekommen unglücklich

unglücklich

Zur Aufgabe : -1,5 ( x-0) ( 2x-4,5)
Nullstellen : x1 : 0 , x2: 4,5
Scheitelpunkt ( 2,25 | 0 )

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27.05.2010, 16:46

captainhogan

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Naja , ich hoffe , dass wir das morgen gründlich besprechen.
Aber das wäre sehr wichtig:

Scheitelpunkt von f(x) = x²+bx+c
Also wenn ihr mir bei dieser helfen würdet - spitze <3

27.05.2010, 16:51

Hektrio

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Was genau willst du wissen? Du hast ja einfach nur die Funktion angegeben, aber nicht die Aufgabe, was an ihr von Interesse ist???

27.05.2010, 16:53

captainhogan

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Hab ich eigentlich dazugeschrieben : Scheitelpunkt von f(x) = x²+bx+c
Vllt :

x²+bx+b-b+c
= ( x+ $\begin{eqnarray*} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ )²-b+c

Hab versucht die Funktion mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform zu bringen , um S abzulesen , aber S ( - $\begin{eqnarray*} \sqrt{b} \end{eqnarray*}$ | ka ) ist komisch hmm

27.05.2010, 17:08

Kääsee

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Ok, Hektrio ist weg und von den anderen meldet sich wohl auch keiner mehr...

Erstmal:

Zitat:

Zur Aufgabe : -1,5 ( x-0) ( 2x-4,5)

Das ist immernoch falsch.
Siehe Post von Arthur Dent und Igrizu.
Vielmehr würde ich -3x ausklammern:
edit: nur x ausklammern ist natürlich noch leichter: x(6-3x)=0

0=-3x(x-2)

und dann (wie es Igrizu schon angesprochen hat) benutzen, dass ein Produkt dann 0 wird, wenn einer der Faktoren 0 ist.

Zitat:

x²+bx+b-b+c

hier wolltest du wohl eine quadratische Ergänzung machen. Es wäre allerdings

$\begin{eqnarray*} f(x)=x²+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c \end{eqnarray*}$

27.05.2010, 17:13

Hektrio

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Stimmt genau. Du hättest auch einfach auf die erste Seite von wikipedia schauen müssen: **klickMichAn**

Das Internet ist voller Informationen. Man muss nur ein paar mal mehr auf die linke Maustaste klicken und dann findet man, was man braucht. Lehrer

Lehrer

Nichtsdestotrotz, wenn du einen Pluspunkt bei deinem (für dich) qualitativ nicht hochgradigen Lehrer haben willst, erzähle ihm lieber etwas von der pq-Formel und dem Satz von Vieta. Das wird meistens nach der quadratischen Ergänzung im Unterricht behandelt. 5x Lehrer

Lehrer

27.05.2010, 17:16

Kääsee

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Oh, sry Hektrio, ich dachte du wärst weg und plötzlich bist du wieder da^^ tut mir echt Leid, ich wollte nur, dass captainhogan hier nicht verrottet Big Laugh

Big Laugh

27.05.2010, 17:19

Hektrio

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Nein, das ist doch keine Entschuldigung wert, liebe Kääsee.

Ich war gerade nur kurz essen (ich bin ja auch nur ein Mensch) und habe deswegen das Board kruzfristig verlassen.

Ganz im Gegenteil, danke, dass du dich darum gekümmert hast und eine ausführliche Erklärung liefertest. Wink

Wink

Freude

smile

VlG Hektrio

P.S.: captainhogan, sind deine Fragen nun beantwortet?

27.05.2010, 17:21

captainhogan

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Ok danke euch beiden smile

smile

Was kommt nach dem?
$\begin{eqnarray*} f(x)=x%B2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c \end{eqnarray*}$

Das hab ich ja , wie Käse schon sagte , falsch gemacht.
Aber wie müsste das Endergebnis lauten?

27.05.2010, 17:22

Hektrio

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Könntest du es mit arabischen Zahlen nochmals aufschreiben, und zwar in LaTex?

27.05.2010, 17:35

Kääsee

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ok, Hektrio ist wohl mal wieder beschäftigt...^^
@captainhogan: Fasse doch mal den ersten Teil zu der binomischen Formel zusammen smile

smile

27.05.2010, 17:47

captainhogan

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f(x) = x²+bx+c
Das zu einer binomischen Formel?
Geht das überhaupt? Klingt blöd , aber ich kriege nach vielen Stunden Mathe nichts mehr hin unglücklich

unglücklich

27.05.2010, 17:55

Hektrio

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Wie es aussieht, ist Kääsee grade nicht in Reichweite, also mach ich mal weiter^^

Doch nicht dazu. Du hast doch selbst $\begin{eqnarray*} x^2+bx+(\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c \end{eqnarray*}$ angegeben.

Und davon sollst du jetzt sie binF machen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.05.2010, 17:58

Kääsee

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Du machst doch die quadratische Ergänzung, um eine binomische Formel zu bekommen!
$\begin{eqnarray*} x%B2+bx \end{eqnarray*}$
ergänzt du um den letzten Teil, der noch zur binomischen Formel fehlt, also bis hierhin:
$\begin{eqnarray*} x%B2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$
danach ziehst du diesen letzten Teil gleich wieder ab, um die Gleichung nicht zu verändern.
Kannst du jetzt diese binomische Formel zusammenfassen?

27.05.2010, 18:07

captainhogan

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Ne , ich glaub nicht traurig

traurig

Steh grad auf dem Schlauch
Also x²+bx

1. Bi : ( a+b)² = a²+ 2ab+b²

(x+b)² = x²+2xb+b² falsch...

(x+0,5b)² = x²+ bx+b² mhmm^^

oder mit dem $\begin{eqnarray*} \left(\frac{b}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ ?

27.05.2010, 18:09

Kääsee

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nicht x²+bx ist die binomische Formel, sondern
$\begin{eqnarray*} x%B2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$

Hast du denn überhaupt schon ne quadratische Ergänzung gemacht? Oder überfordere ich dich jetzt?

@Hektrio: muss off, du kannst wieder weitermachen smile

smile

edit:

Zitat:

(x+0,5b)² = x²+ bx+b²

wenn du das nicht falsch gemacht hättest, wärst du drauf gekommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

(x+0,5b)²=x²+bx+0,25b²

und
$\begin{eqnarray*} 0,25b²=\frac{b²}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)² \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.05.2010, 18:11

captainhogan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt , lol hab die quadratische Ergänzung bei 10 anderen Aufgaben vorhin angwendet ok 1min

Stimmt , klar 0,5² = 0,25 geschockt

geschockt

Das heißt , das Endergbnis ist : (x+0,5b)² oder?

27.05.2010, 18:16

Hektrio

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Und wie lautet nun die binF? Ich dachte, du wolltest sie ausrechnen und nicht 0,25² verwirrt

verwirrt

@ Kääsee: Sag mir nur, wann du wieder einspringen kannst.

27.05.2010, 18:18

Hektrio

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Exakt.

Freude

27.05.2010, 18:21

captainhogan

Auf diesen Beitrag antworten »

@Hektrio : Ich weiß selbst nicht , was ich ausrechnen wollte . Hauptsache etwas , damit man die Scheitelpunkte hat Big Laugh

Big Laugh

Und bei einer binF kann man das Vorzeichen umdrehen und hat x, also x=-0,5
y= 0,25 wenn man x in die binF einsetzt hm

27.05.2010, 18:27

captainhogan

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f (x) = x²+bx+c

= $\begin{eqnarray*} f(x)=x%B2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x+0,5b)² \end{eqnarray*}$

Wär das so richtig oder fehlt was?

27.05.2010, 18:46

captainhogan

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Wie ist der Scheitelpunkt?
Bitte helf mir noch einmal , letzte Frage smile

smile

S ( -0,5b | ? )

Was ist mit dem c in dem Post oben?

27.05.2010, 19:09

captainhogan

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S ( -0,5 | 0) oder

27.05.2010, 19:15

lgrizu

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okay, kääsee off und hektrio auch.

Zitat:

Original von captainhogan
f (x) = x²+bx+c

= $\begin{eqnarray*} f(x)=x%B2+bx+\left(\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} (x+0,5b)² \end{eqnarray*}$

Wär das so richtig oder fehlt was?

da fehlt was, nämlich $\begin{eqnarray*} (-\frac{b}{2})^2+c \end{eqnarray*}$

sonst wär es auch zu einfach Augenzwinkern

Augenzwinkern

es ist also

$\begin{eqnarray*} x^2+bx+c=x^2+bx+ ( \frac{b}{2} )^2- ( \frac{b}{2} )^2+c=( x+ \frac{b}{2} )^2-( \frac{b}{2} )^2+c \end{eqnarray*}$

der scheitelpunkt ist dann

$\begin{eqnarray*} (-\frac{b}{2};-(\frac{b}{2})^2+c) \end{eqnarray*}$

28.05.2010, 13:53

captainhogan

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Super , habe nun alles verstanden smile

smile

Danke an alle

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